aide mémoire régime périodique

AIDE-MEMOIRE REGIME PERIODIQUE
Grandeur périodique : Une grandeur périodique est une grandeur qui se répète identiquement à elle même et
régulièrement dans le temps.
Période : durée constante notée T, exprimée en seconde (s) qui sépare deux instants consécutifs où la grandeur se
reproduit identiquement à elle même.
A l’oscilloscope : T = base de temps × nbre de divisions.
Fréquence : la fréquence f d’une grandeur périodique, exprimée en Hertz (Hz) est le nombre de périodes par
secondes.
Mathématiquement :
f= 1
T
Valeur moyenne d’une grandeur périodique :
La valeur moyenne d’une grandeur périodique ( notée U , < u >, ou Umoy ) se détermine grâce à la formule :
<u> =
[Aire]
T
=
1
T
[Aire] représente l’aire algébrique comprise entre la
a +T
∫ u(t )dt
courbe et l ‘axe des temps sur un intervalle d’une période.
T : période en secondes (s)
a
Expérimentalement, la valeur moyenne se mesure avec un multimètre numérique en position DC
Valeur efficace d’une grandeur périodique :
La valeur efficace d’une grandeur périodique se détermine grâce à la formule :
Ueff = < u 2 > =
1
T
a +T
∫u
2
(t )dt
« racine carrée de la valeur moyenne du carré de la tension »
a
Ex. :
signal sinusoïdal :
Ueff = U max
2
signal rectangulaire :
signal triangle :
ou
Ueff = Umax
Ueff = U max
3
Expérimentalement, la valeur moyenne se mesure avec un multimètre numérique TRMS (true root mean square)
en position (AC + DC)
Propriété d’un signal périodique :
Une tension non alternative périodique u est une la somme d’une composante alternative ua et d’une composante
continue U :
On note :
Ueff la valeur efficace du signal non alternatif périodique
Ua la valeur efficace de la composante alternative
Umoy la valeur de la composante continue
Il existe une relation entre ces grandeurs :
Ueff =
U moy + U a
2
2
R. Martinez
Grandeur alternative :
Une grandeur alternative est une grandeur périodique de valeur moyenne nulle.
Décomposition d’un signal périodique :
Toute grandeur périodique de fréquence f peut se décomposer en la somme :
- d’un terme constant égal à la valeur moyenne du signal
- d’une composante sinusoïdale de fréquence f appelée le fondamental (ou harmonique de rang 1)
- de composantes sinusoïdales de fréquences multiples de f ( 2f, 3f, 4f, …, nf ) appelées harmoniques de
rang 2, 3, 4, …., n
u(t) =<u> + U1maxsin(2π.f.t + φ1) + U2maxsin(2π.2f.t + φ2) + U3maxsin(2π.3f.t + φ3)+ U4maxsin(2π.4f.t + φ4)+…
Représentation temporelle d’un signal périodique
La représentation temporelle est la représentation couramment utilisée, c’est celle de l’oscilloscope.
Elle nous renseigne sur la forme du signal, son amplitude, sa fréquence.
Ex. : créneaux de rapport cyclique variable de fréquence f = 1 kHz
u(t)
1
0
t (ms)
Rem. : Cette représentation ne nous renseigne pas sur la composition fréquentielle du signal.
Représentation fréquentielle (ou spectre d’amplitude d’un signal périodique)
Elle est donnée par un analyseur de spectre et certains oscilloscopes.
Elle nous renseigne sur la composition du signal.
Ex. : créneaux de rapport cyclique variable de fréquence f = 1 kHz
Un (V)
La valeur efficace peut se calculer à partir de la
valeur moy. et des valeurs efficaces des
harmoniques :
∞
0
1
f (kHz)
Ueff 2 = < u > 2 +∑ U nEff 2
n =1
2
= Umoy + U1 2 + U2 2 + U3 2 + U4 2 + …
harmoniques
Valeur
moyenne
fondamental
Rem. : Cette représentation ne nous renseigne pas sur la forme du signal.
Taux de distorsion harmonique : il sert à chiffrer la déformation d’un signal qui devrait être sinusoïdal
Compris entre 0 et l’infini, c’est le rapport de la valeur efficace du signal privé de sa composante continue et de
son fondamental sur la valeur efficace du fondamental :
∞
∑U
d=
n=2
2
nEff
U 1Eff
Rem. : on définit aussi le taux de distorsion de l’harmonique n par :
=
dn =
2
U 22Eff + U 32Eff + ..... + U nEff
+ ...
U 1Eff
U nEff
U 1Eff
R. Martinez
Série de Fourier :
Tout signal périodique u(t) de fréquence f peut s’écrire :
∞
∑ an cos(nωt )
u(t) = <u(t)> +
∞
∑b
+
n =1
n =1
n
an =
sin(nωt )
2
T
a +T
∫ u (t ) cos(nωt )
dt
a
avec
2
bn =
T
a +T
∫ u (t ) sin(nωt )
dt
a
Remarques :
-
pour un signal pair u(t) = u(-t) , les bn = 0
pour un signal impair u(t) = - u(-t) , les an = 0
Série de Fourier des principaux signaux :
∞
2E
(1 − cos nπ ) sin (nωt )
n =1 nπ
4E
1
1
(sin ωt + sin 3ωt + sin 5ωt + ...)
=
3
5
π
u(t) =
u(t)
E
∑
t
sin(nαπ )
cos(nωt )
nαπ
n =1
sin(2απ )
 sin(απ )

= αE + 2αE 
cos(ωt ) +
cos(2ωt ) + ... 
2απ
 απ

u(t) = αE + 2αE
u(t)
E
∞
∑
Ex. pour α = 4/15
αT
T
t
R. Martinez
π 

)
∞  sin( n
2  cos(nωt )
u(t) = − E ∑ 
π 
n =1 
 n

2 

4 E ∞ cos[(2 p + 1)ωt ]
u(t) = − 2 ∑
π p =0 (2 p + 1)2
2
u(t)
E
t
u(t)
t
u(t)
t
R. Martinez
t
t
R. Martinez