Cours RMN de L3 ICA - Universite de Nantes

Université de Nantes
Année scolaire 2009-2010
Cours de RMN
L3 – ICA
Evelyne Baguet
Chapitre I
Bibliographie
I.1
En Français
H. Günther “La spectroscopie RMN” (1994)
D. Canet “La RMN : Concept et méthodes” (1991)
I.2
Ouvrages de base
A. E. Derome “Modern NMR Techniques for Chemistry research” (1987)
M. L. Martin, G. J. Martin et J. J. Depuech “Practical NMR spectroscopy” (1980)
I.3
Ouvrages plus avancés
R. R. Ernst, G. Bodenhausen et A. Wokaun “Principle of Nuclear Magnetic Resonance
in one and two dimensions” (1987)
R. Freeman “A handbook of nuclear magnetic resonance” (1987)
I.4
Ouvrages fondamentaux
C. P. Slichter “Principles of Magnetic resonance ” (1990)
M. Goldman “Quantum Description of High-Resolution NMR in liquids” (1988)
A. Abragam “The principles of Nucle
1
Chapitre II
Présentation de la RMN
II.1
Instrumentation
Ce qui est utilisé à l’heure actuelle, les principaux composants :
– Un aimant
∗ de champ magnétique aussi intense, stable et homogène que possible.
C’est le plus souvent un cryoaimant, obtenu par circulation de courant dans des fils supraconducteurs, sans pertes énergétiques. Les fils employés ne sont supraconducteurs qu’à
très basse température. Ils sont refroidis par de l’hélium liquide et de l’azote liquide, placés
dans deux dewares distincts.
∗ De taille suffisante pour pouvoir contenir l’échantillon, qui peut aller du tube cylindrique
de diamètre 5 mm au corps humain en entier.
– Une sonde
Intermédiaire entre l’aimant et l’échantillon, elle permet notamment de détecter le signal
émis par l’échantillon.
– Un ordinateur
pour lancer l’expérience et analyser le signal.
Le spectromètre de RMN comprend également de nombreux composants électroniques.
II.2
Emploi dans des domaines très variés
II.2.1
Spectroscopie de systèmes en phase liquide
La spectrométrie de RMN est employée principalement pour :
– La caractérisation de produits chimiques, l’étude de leurs propriétés dynamiques
– L’analyse de la composition de liquides biologiques
– La détermination de la structure de macromolécules biologiques (protéines, acides
nucléiques ...)
– Etude in vivo du métabolisme de systèmes vivants :
cellules en perfusion, étude localisée d’un organisme entier, ex. foie.
2
II.2.2
Spectroscopie de systèmes en phase solide
– RMN basse résolution
A cause des interactions entre noyaux en phase solide, les raies obtenues par spectroscopie
de RMN sont particulièrement larges :
En RMN liquide, la largeur des raies peut aller jusqu’à quelques dizaines de hertz, alors
qu’en RMN solide, elle est plutôt de l’ordre de quelques kHz. Les spectres contiennent
peu d’information.
Mais la spectroscopie basse résolution reste toujours employée, pour déterminer la fraction
d’eau dans les aliments, par exemple.
– RMN haute résolution
Des techniques particulières permettent d’annuler certaines des interactions entre noyaux.
On obtient alors des spectres avec des raies quasiment aussi fines qu’en RMN liquide.
II.2.3
Imagerie de RMN
Il existe des applications dans
– le domaine médical, pour l’aide au pronostic chez l’homme (IRM)
– en physico-chimie du solide, pour étudier la porosité de roches par exemple.
II.3
II.3.1
Comparaison de la spectroscopie de RMN avec
les autres spectroscopies
Description simple d’une technique spectroscopique
Considérons un système à deux niveaux d’énergie α et β. L’écart d’énergie entre ces
deux niveaux est
Eβ − Eα = hν
En simplifiant à l’extrême, on peut dire que la fréquence ν de l’onde permettant de changer
d’état énergétique est la grandeur caractéristique de la spectroscopie.
II.3.2
Fréquences mises en jeu
Cf Document 1.
II.3.3
Conséquences
i. La spectroscopie de RMN est la technique la moins perturbante.
ii. C’est aussi une technique peu sensible.
iii. Un système peut rester très longtemps hors équilibre.
3
Chapitre III
Principe de la spectroscopie de
RMN par transformée de Fourier
III.1
Le spin - ses propriétés
III.1.1
Le spin
Un électron gravitant autour d’un noyau peut être schématisé, de façon classique,
comme une boucle de courant. En présence d’un champ magnétique statique B0 , cette
boucle se trouvera dans un état énergétique différent, selon le sens de déplacement de
l’électron.
De la même manière, la mécanique quantique dit que l’énergie de l’électron isolé est
quantifiée et peut prendre un nombre discret de valeurs. On dit que l’électron a un spin. Le
noyau d’un atome peut lui aussi avoir un spin. Il est composé de particules élémentaires,
protons et neutrons. Leur nombre va déterminer la valeur du spin nucléaire.
Exemples :1 H proton spin 1/2
2
H deutérium spin 1
12
C carbone 12 spin 0
13
C carbone 13 spin 1/2
14
N azote 14 spin 1
15
N azote 15 spin 1/2
16
O oxygène spin 0
17
O oxygène 17 spin 5/2
Attention ! ! Un nombre de spin est toujours soit entier, soit demi-entier.
Rq : Il existe quelques règles pour avoir une idée de la valeur du spin d’un noyau.
A impair I demi-entier
A et Z pair I = 0
A pair et Z impair I entier.
Question : Quelle est la valeur du spin nucléaire de l’oxygène 18 ?
4
III.1.2
Dégénérescence des niveaux d’énergie
Un noyau de spin I non nul se comporte comme un petit aimant pouvant prendre
différentes orientations. En présence d’un champ magnétique statique B0 le long de l’axe z,
la valeur de son moment magnétique selon ce même axe peut prendre les valeurs suivantes :
µz = γ~mI
mI = −I, −I + 1 . . . I.
avec
L’énergie correspondante est :
→
−
−
E = −→
µ .B 0
et peut donc prendre les valeurs suivantes :
EmI = −γ~mI B0
III.1.3
avec
mI = −I, −I + 1 . . . I
Apparition d’une aimantation macroscopique
Soit un ensemble de noyaux identiques de spin I dans un champ magnétique statique
B0 . La répartition des noyaux entre les différents niveaux énergétiques n’est pas uniforme
mais obéit à la loi de Boltzman :
−EmI
exp
kT
P(mI ) = j=I
X
−Emj
exp
kT
j=−I
Il y a plus de noyaux dans l’état de plus basse énergie. Il y a donc apparition d’une
−
→
aimantation macroscopique M , orientée parallèlement à l’axe du champ B0 . Le module
de l’aimantation macroscopique vaut :
j=I
X
γ
Mz =
~N P(mj )mj
2
j=−I
où N est le nombre total de noyaux de spin I dans l’échantillon.
Exercice : Le proton a un spin 1/2. Déterminer le rapport des populations α (I =
et β (I = − 12 ) ainsi que le rapport aimantation macroscopique/champ magnétique
(susceptibilité magnétique). On fera l’approximation des hautes températures (∆E kT ).
Solution :
P(− 12 )
Nβ
∆E
γ~B0
γ~B0
= exp −
'1−
=
= exp −
1
Nα
kT
kT
kT
P( 2 )
1
)
2
Nα + Nβ = N
N
γ~B0
N
γ~B0
1+
et Nβ '
1−
Donc, Nα '
2
2kT
2
2kT
5
Mz = µα Nα + µβ Nβ
1
γ~B0
γ~B0
Mz =
γ~N 1 +
−1+
4
2kT
2kT
2
(γ~) B0
= N
4kT
A.N. :
h = 6,626×10− 34 J.s
k = 1,38 J.K −1
γ = 2,69 ×108
N = 6, 022 ×10−23
Calculer Nα /Nβ à un champ de 1 T et à 1 K. L’approximation des hautes températures
est-elle justifiée ? On pourra aussi calculer la susceptibilité magnétique de l’hydrogène
(rapport aimantation/ champ magnétique) par mole d’hydrogène.
III.2
Le phénomène de résonance
III.2.1
Représentation à l’aide des niveaux d’énergie
Considérons des noyaux identiques, de spin 1/2. En présence d’un champ magnétique
statique B0 , ils peuvent occuper 2 états énergétiques. Appliquons un champ électromagnétique, de fréquence ν variable. Pour hν = ∆E l’onde électromagnétique de fréquence
ν sera absorbée, alors que pour les autres fréquences, elle n’interagira pas avec les noyaux.
Si on trace le spectre d’absorbtion en fonction de la fréquence, on va observer une raie
d’absorption, ou raie de résonance, qui va permettre de connaitre ∆E, et de caractériser
le noyau.
Il est possible que tous les noyaux ne soient pas strictement identiques (par exemple,
des protons dans des environnements chimiques différents). Alors, chacun des noyaux
légèrement différent aura des niveaux énergétiques différents et aura une fréquence de
résonance différente. On observera des raies de résonance différente pour chaque type de
noyau.
III.2.2
Description classique du phénomène de résonance
– Effet d’un champ magnétique statique sur une aimantation macroscopique
Positions d’équilibre de l’aimantation
∗ parallèle
∗ antiparallèle
(une seule des positions étant stable). Lorsque l’aimantation est placée hors équilibre, elle
précesse autour du champ magnétique statique à la pulsation de Larmor :
→
−
→ = −γ −
ω
B0
0
6
– Effet conjoint d’un champ magnétique tournant
−
→
→
→ et d’intensité très faible vis à vis de −
Soit un champ B1 tournant à la pulsation −
ω
B0 .
0
→
→, −
Il est possible de démontrer que dans le référentiel tournant à vitesse angulaire −
ω
0 M
−
→
se comporte comme si le système était seulement soumis au champ B1 . Quelle que soit
−
→
l’intensité de B1 , M peut être placé hors résonance, et même inversé.
−
→
−
→
Ceci peut être compris intuitivement en considérant que M et B1 sont en phase. Une
faible mise hors équilibre par le champ tournant ne va pas être replacée à l’équilibre par
le champ statique.
III.2.3
Limite des deux descriptions du phénomène de résonance
La description par niveaux d’énergie ne permet pas de prévoir le comportement de
l’aimantation macroscopique en dehors de l’axe z.
La vision classique ne permet pas de décrire toutes les interactions entre spins.
Il existe un formalisme plus général, c’est la mécanique quantique appliquée à un système
statistique de spins. L’opérateur densité donne la population des différents niveaux d’énergie. On peut également calculer l’aimantation macroscopique selon tous les axes, et bien
d’autres choses encore. . .. Mais ce formalisme peut devenir très rapidement compliqué et
éloigné du phénomène à étudier. C’est pourquoi il est toujours utile de garder en tête les
deux modèles simples présentés précédemment.
III.2.4
Quelques ordres de grandeur de la RMN
La fréquence de résonance dépend de :
i) γ : le rapport gyromagnétique, dont la valeur est caractéristique de l’isotope considéré
ii) B0 : Le champ magnétique appliqué
et plus précisément du champ perçu au niveau du noyau, qui est légèrement différent de
B0 et dépend de l’environnement local du noyau.
⇒ ω, pour un noyau donné, est légèrement différent de γB0 ,
ν, pour un noyau donné, est légèrement différent de γB0 /2π.
A B0 = 9,4 T :
ν0 (1 H)
ν0 (13 C)
ν0 (17 O)
ν0 (31 P)
ν0 (19 F)
ν0 (2 H)
=
=
=
=
=
=
400 MHz
101 MHz
54 MHz
162 MHz
360 MHz
62 MHz
Les fréquences de résonance des différents noyaux sont très différentes.
Par contre, pour un noyau donné, les fluctuations de ν à cause de l’environnement chimique
sont très faibles.
7
A l’heure actuelle, il n’est possible d’étudier par RMN que le signal proche d’une
fréquence donnée.
ON doit régler la sonde pour qu’elle soit sensible au signal correspondant à cette fréquence.
⇒ On ne peut détecter qu’un type de noyau par expérience RMN.
III.2.5
Le phénomène de relaxation
L’aimantation qui a été placée hors équilibre doit y retourner après un temps plus ou
moins long.
Deux phénomènes vont se produire :
∗ Mx et My → 0 (l’aimantation va tendre vers la position le long de l’axe z et ne présentera plus de mouvement de précession)
∗ Mz → M0 (répartition des niveaux d’énergie selon la loi de Boltzman).
En général, l’aimantation retourne à l’équilibre exponentiellement (phénomène observé
expérimentalement).
Mais comme la relaxation transversale (perpendiculaire au champ B0 ) et la relaxation
longitudinale (parallèle au champ B0 ), correspondent à des phénomènes différents, elles
vont se faire à des vitesses différentes.
−
→
→
−
L’énergie d’une aimantation M placée dans un champ B 0 est :
−
→→
−
E = −M . B 0
⇒ La relaxation transversale se fait sans variation énergétique du système.
A l’inverse, la relaxation longitudinale se fait avec variation énergétique du système. Elle ne
peut se faire que s’il interagit avec l’extérieur, qu’on peut représenter comme un réservoir
(Figure III.1)
En conséquence, la relaxation transversale se fera plus rapidement que la relaxation
longitudinale.
Des temps caractéristiques définissent les vitesses de retour à l’équilibre des aimantations.
T1 : temps de relaxation longitudinale :
M0 − Mz
dMz
=
dt
T1
T2 : temps de relaxation transversale :
Dans le référentiel propre de l’aimantation :
dMx,y
Mx,y
=−
dt
T2
La relation entre ces temps de relaxation et la vitesse de retour à l’équilibre est montrée
Figure III.2.
On a toujours la relation :
T2 ≤ T1
8
Figure III.1 – Les relaxations longitudinale et transversale
Figure III.2 – Retour à l’équilibre des aimantations
III.2.6
Obtention d’un spectre RMN
Deux approches sont possibles :
∗ Pour un noyau donné, il est possible de faire un balayage en fréquence su champ RF. A
chaque fréquence, on détecte s’il y a absorption ou non. On obtient ainsi un spectre.
Problème : Le changement de fréquence de détection doit se faire lentement. Sinon, on
a des artefacts.
⇒ Cette méthode est très longue.
∗ Il est beaucoup plus avantageux d’exciter simultanément tous les noyaux d’un isotope
9
donné, à l’aide d’un champ B1 plus intense mais appliqué pendant une durée très courte.
Quand l’aimantation retourne à l’équilibre, chaque noyau se trouvant dans un environnement différent est caractérisé par une fréquence de précession particulière.
On étudie simultanément l’ensemble des noyaux pour un type d’isotope donné.
On peut obtenir un spectre donnant les différentes fréquences de résonance en effectuant
la transformation de Fourier du signal temporel.
III.3
Quelques propriétés de la Transformation de
Fourier
Soit un signal temporel f (t)
Sa transformée de Fourier s’écrit :
Z
+∞
f (t) exp(−2iπνt)dt
F (ν) =
−∞
(Pour information : exp(iθ) = cos(iθ) + i sin(iθ) possède des propriétés analogues à la
fonction exponentielle réelle).
Transformée de Fourier inverse de F( ν) :
Z
+∞
F (ν) exp(+2iπνt)dν
f (t) =
−∞
III.3.1
Transformée de Fourier de fonctions particulières
a – Fonction de Dirac
C’est une fonction telle que :
δ(t) = 0 pour t 6= 0
δ(0) = +∞
Z
+∞
δ(t)dt = 1
−∞
On peut la schématiser de la façon suivante :
Considérons une fonction rectangulaire centrée en 0, de largeur a, d’intensité
a
a
et t >
2
2
1
a
a
Ra (t) =
pour − ≤ t ≤
a
2
2
Ra (t) = 0 pour t < −
Z
+∞
Ra (t)dt = 1
−∞
10
1
:
a
Lorsque a → 0, Ra (t) → δ(t).
Remarque : On peut définir de la même façon δ(x−x0 ), fonction de Dirac centrée en x0 .
Z
+∞
δ(t) exp(−2iπνt)dt
T.F.(δ(t)) =
−∞
Z
+∞
δ(t) = 0 pour t 6= 0 ⇒ T.F.(δ(t)) =
δ(t) exp(−2iπν × 0)dt = 1
−∞
C’est une fonction constante, indépendante de la fréquence.
Il est également intéressant de connaı̂tre la transformée de Fourier inverse de la fonction
de Dirac :
Z
−1
+∞
T.F. (δ(ν − ν0 )) =
δ(ν − ν0 ) exp(2iπνt)dν
−∞
Z +∞
δ(ν − ν0 ) exp(2iπν0 t)dν = exp(2iπν0 t)
=
−∞
C’est une fonction sinusoı̈dale, de fréquence ν0 .
b – Fonction sinusoı̈dale
f (t) = exp(2iπν0 t)
F (ν) = T.F. {exp(2iπν0 t)}
Z
Z +∞
exp(2iπν0 t) exp(−2iπνt)dt =
=
+∞
exp {2iπ(ν − ν0 )t} dt
−∞
−∞
F (ν) = 0 si ν0 6= ν
= ∞ si ν0 = ν
⇒ F (ν) = δ(ν − ν0 ). C’est la fonction de Dirac centrée en ν0 .
c – Impulsion de durée finie
On modélise une impulsion de durée finie par une fonction rectangulaire Π(t) telle que :
τ
τ
Π(t) = 0 pour t < − et t >
2
2
τ
τ
Π(t) = 1 pour − ≤ t ≤
2
2
11
Z
+ τ2
T.F. (Π(t)) =
exp(−2iπνt)dt
− τ2
τ
τ i
1 h
exp −2iπν
− exp 2iπν
−2iπν
2
2
sin(πντ )
= τ
= τ sinc (πντ )
(πντ )
=
La transformée de Fourier est proportionnelle à la fonction sinus cardinal (Fig. III.3).
Figure III.3 – Transformée de Fourier d’une impulsion de durée finie
d – Fonction exponentielle
décroissante
t
Soit f (t) = A exp −
pour t ≥ 0.
T2
Z +∞
t
exp −
exp(−2iπνt)dt
T.F.(f (t)) =
T2
0
AT2
=
1 + 4π 2 ν 2 T22
C’est une fonction Lorentzienne.
e – Fonction sinusoı̈dale décroissante
C’est le produit d’une fonction sinusoı̈dale par une fonction décroissante (par exemple,
une fonction exponentielle décroissante).
La transformée de Fourier d’une fonction décroissante est un pic centré à fréquence nulle,
d’autant plus large que la fonction temporelle décroı̂t rapidement.
La transformée de Fourier d’une fonction sinusoı̈dale à fréquence ν0 décroissante va être
un pic centré à fréquence ν0 .
III.3.2
Quelques propriétés mathématiques de la transformation
de Fourier
a – Quelques propriétés fondamentales
12
Figure III.4 – Transformée de Fourier d’une fonction exponentielle décroissante
!
T.F.
X
si (t)
=
X
i
T.F. (si (t))
i
Exemple : Soient les fonctions temporelles a(t), b(t) et c(t) :
Z +∞
T.F. {a(t) + b(t) + c(t)} =
{a(t) + b(t) + c(t)} exp(−2iπνt)dt
−∞
= T.F. {a(t)} + T.F. {b(t)} + T.F. {c(t)}
De même, soit α un nombre, réel ou imaginaire, on peut montrer que :
T.F. {αf (t)} = αT.F. {f (t)}
b – Relation entre signal à l’origine et aire d’un pic
Soit s(t) une fonction du temps quelconque et s(0), son intensité à l’instant t = 0, soit
F (ν) sa transformée de Fourier, que vaut l’aire délimitée par la courbe F (ν) ?
Que vaut l’aire délimitée par la courbe F (ν) ?
Z +∞
Z +∞ Z +∞
F (ν)dν =
exp(−2iπνt)s(t)dt dν
−∞
−∞
−∞
Z +∞ Z +∞
=
exp(−2iπνt)s(t)dν dt
−∞
−∞
Z +∞
Z +∞
=
s(t)
exp(−2iπνt)dν dt
−∞
−∞
On reconnaı̂t entre crochets la fonction de Dirac.
Z +∞
Z +∞
⇒
F (ν)dν =
s(t)δ(t)dt = s(0)
−∞
−∞
L’aire du pic est égale à s(0).
13
III.4
Application : la spectroscopie de RMN par transformée de Fourier
i. On applique un champ RF pendant une très courte durée, à l’instant t = 0.
En première approximation, cela correspond à une impulsion de type fonction de
Dirac. Cela revient à appliquer toute une gamme de fréquences simultanément.
Donc, tous les noyaux sont également excités.
En fait, l’impulsion a une durée finie, il y a donc une excitation fréquentielle de type
sinus cardinal.
On s’arrange (en choisissant la durée d’impulsion suffisamment courte) pour que
tous les noyaux du même isotope soient tous excités de la même façon.
ii. On détecte le signal temporel des aimantations retournant à l’équilibre.
ni ) noyaux de fréquence propre νi émettent un signal (aimanttaion transversale) qui
est détecté avant le retour à l’éuilibre des aimanttaions.
iii. On effectue la transformée de Fourier du signal globalement détecté.
Le spectre ainsi obtenu est la somme de i raies, d’aires proportionnelles à ni et
centrées en νi .
14
Chapitre IV
Les paramètres de la RMN haute
résolution
IV.1
Le déplacement chimique
IV.1.1
Définition
La fréquence de résonance des différents types de noyaux est déterminée en comparaison d’une fréquence fixée (fréquence de résonance d’une espèce chimique donnée).
Elle est appelée déplacement chimique (chemical shift).
Il est possible d’exprimer le déplacement chimique :
– en Hz
– en ppm : part par million.
δ(ppm) =
IV.1.2
ν − ν0
× 106 ppm
ν0
ν0 : fréquence de référence
Origine
Les noyaux, à cause de leur environnement électronique, ne vont pas percevoir le
champ B0 , mais un champ écranté B0 (1 − σ)
σ : appelé constante d’écran, dépend du type de noyau σ << 1 C’est une grandeur sans
unité, qui ne dépend pas de B0 .
Rappel : Les électrons, en présence de B0 , ont tendance à décrire des boucles de
courant, de sorte à créer un champ induit s’opposant à B0 .
15
IV.1.3
Intéret de l’expression du déplacement chimique en ppm
La fréquence de résonance du noyau i s’écrit :
νi = 2πγB0 (1 − σi )
νi − ν0 = 2πγB0 (1 − σi ) − 2πγB0 (1 − σréf )
' 2πγB0 (σréf − σi )
νi − ν0 estproportionnel à B0
νi − ν0
δ(ppm) =
' σréf − σi indépendant de B0
ν0
Si on veut caractériser un produit sur différents spectromètres, le déplacement chimique
exprimé en ppm sera toujours identique, mais pas celui exprimé en Hz.
C’est pourquoi on exprime généralement les déplacements chimiques en ppm.
IV.1.4
Représentation du déplacement chimique sur un spectre
Pour des raisons historiques, on représente toujours, de la gauche vers la droite, les
déplacements chimiques décroissants.
Les déplacements chimiques élevés correspondent à des champs élevés. σ est peu important. Cela correspond au déblindage.
A l’inverse les déplacements chimiques faibles correspondent à des champs faibles. σ
est important. L’effet d’écran est important. Cela correspond au blindage.
IV.2
L’intensité du signal
L’aire de chaque pic de résonance est proportionnelle au nombre de noyaux qui résonnent à une fréquence donnée.
Applications :
→ Mesures absolues = détermination de la quantité de noyaux (en résonance) par
rapport à une référence. Mesures de concentration
→ Mesures relatives = Pour une molécule donnée, comparaison du nombre de noyaux
résonnant pour chaque groupement chimique différentiable (→ Détermination de la
formule développée).
Exemple : Mélange benzène et méthane.
La mesure se fait à l’aide d’un intégrateur. En général, les pics sont de forme lorent1
zienne : hauteur : A × T2 largeur à mi-hauteur :
πT2
IV.3
Les temps de relaxation
La connaissance des temps de relaxation est importante pour choisir les paramètres
expérimentaux lors de l’acquisition de spectres RMN.
Elle donne également une information sur la mobilité des molécules et leurs interactions
éventuelles.
16
Mais l’interprétation est rendue difficile par les nombreuses causes qui peuvent perturber la valeur expérimentale des temps de relaxation. La valeur des temps de relaxation est
peu utile pour l’interprétation des spectres. En théorie, la margeur à mi-hauteur des raies
1
est
. En pratique, ce n’est pas toujours le cas. A cause du champ B0 pas complètement
πT2
homogène, les raies sont plus larges.
IV.4
Le couplage spin-spin
IV.5
Comparaison avec les paramètres de la RMN
haute résolution
17