Programmation mathematique pour un probleme a

3e Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation “Conception, Analyse et Gestion des Systèmes Industriels”
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)
PROGRAMMATION MATHEMATIQUE POUR UN PROBLEME A
MACHINES A VITESSES RELATIVES ET USAGES MULTIPLES
E. NERON , A. ELOUNDOU et F. TERCINET
Laboratoire d'Informatique - Equipe OC,
Université de Tours,
E3I - 64 av J. Portalis,
F-37200 Tours
Mél : [email protected]
RESUME : Le problème abordé concerne l'ordonnancement de travaux agricoles dans des champs communautaires.
Un champ est découpé en parcelles de tailles identiques, chaque parcelle devant subir trois opérations : le défrichage,
le labourage et le semis. Nous montrons dans un premier temps que ce problème peut être appréhendé comme un
problème d'ordonnancement à machines à vitesses relatives et à usages multiples. Pour ce problème nous proposons un
modèle mathématique en nombres entiers, pour déterminer un ordonnancement réalisable de durée minimale. Puis
nous présentons un modèle mathématique concernant une extension possible du problème. Enfin deux évaluation par
défaut de la durée minimale de l'exécution des opérations ainsi que trois heuristiques sont proposées. Des résultats
expérimentaux sur des jeux de tests tirés aléatoirement nous aiderons à déterminer les limites de cette approche, en
particulier en la comparant à une méthode exacte de type Procédure par Séparation et Evaluation développée par
ailleurs.
MOTS-CLES : Machines à usages multiples, Vitesses relatives, Modèle mathématique.
1.
INTRODUCTION
Le problème abordé dans cet article est tiré d'un
problème réel d'ordonnancement et d'affectation de
travaux agricoles. Nous insistons ici sur le fait que ce
problème comporte certaines suppositions quant à la
répartition des travaux qui pourraient être discutées.
Cependant, nous avons choisi de traiter le problème tel
qu'il nous a été décrit par A. Eloundou (ingénieur E3I).
Notre démarche consiste à proposer :
•
une formalisation mathématique du problème, et
son
identification
comme
un
problème
d'ordonnancement ;
•
un modèle mathématique pour ce problème initial.
Il est à noter que ce modèle mathématique s'inspire
largement du modèle de Manne (Manne, 1960)
proposé pour le job-shop ;
•
un modèle mathématique pour les problèmes
connexes que sont la minimisation du nombre de
personnes employées et la mise en culture de
plusieurs champs successivement ;
•
deux évaluations par défaut et trois heuristiques
pour le problèmes initial.
•
une comparaison entre la résolution exacte de notre
modèle mathématique et la résolution du problème
par une méthode de type Procédure par Séparation
et Evaluation développé par ailleurs (Néron et
Tercinet, 2000).
Dans le paragraphe 2, nous revenons sur la description
formelle du problème du cultivateur et de ses extensions
possibles. Nous proposons ensuite (cf. Section 3) un
modèle mathématique pour la résolution exacte du
problème initial. Chacune des extensions envisagées sera
l'objet d'une modification du modèle initial. La section 4
est consacrée à la présentation des évaluations par défaut
et des heuristiques mises en place pour le problème
initial. Enfin nous présenterons brièvement (cf. Section
5) quelques résultats expérimentaux nous permettant de
comparer notre modèle à une autre méthode exacte.
2.
DESCRIPTION DU PROBLEME
Le problème auquel nous nous intéressons nous a été
soumis par A. Eloundou, à partir d'un problème réel
d'ordonnancement de travaux agricoles dans des champs
communautaires. Il s'agit de trouver une séquence et une
affectation pour chacune des trois opérations que doivent
subir les parcelles d'un même champs. Ces parcelles sont
à priori identiques. Chacune de ces parcelles doit subir
un défrichage, puis un labourage et enfin être semée.
Nous considérons, qu'une seule personne effectue une
opération sur une parcelle, que cette personne sera en
charge de la totalité de l'opération et que cette opération
ne devra pas être interrompue. De plus les ressources
sont de deux types, i.e., des hommes et des femmes, et
disponibles en nombres limités. Pour diverses raisons
nous considérons que les opérations de défrichage ne
peuvent être effectuées que par les hommes, nous
considérons également que les opérations de semis sont
entièrement exécutées par les femmes, seul le labourage
peut être exécuté sans distinction par un homme ou par
une femme. A chaque personne est associée une vitesse
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pour chaque type de tâche, i.e, le défrichage, le
labourage et le semis. Aucune supposition sur les
vitesses respectives des personnes n'est prise en compte.
Nous présentons ci-dessous de manière formelle, les
données de notre problème :
•
{Ji, i∈[1..n]} : l'ensemble des travaux, i.e,
l'ensemble des parcelles ;
•
Oi,j : l'opération j∈[1..3] du travail i∈[1..n] ;
•
nH : le nombre d'hommes ;
•
nF : le nombre de femmes ;
•
pj : la durée de l'opération Oi,j, ∀ i∈[1..n] ;
•
Vl,j : la vitesse de la ressource l lorsqu'elle exécute
l'opération Oi,j, ∀ i∈[1..n], ∀ l∈[1..nH+nF].
Défrichage
Labourage
Semis
i-ème
parcelle
Hommes
Femmes
Avec des vitesses propres
pour chacun des deux étages
Avec des vitesses propres
pour chacun des deux étages
Figure 1. Exemple à 4 travaux
Défrichage
Labourage
Semi
Homme 1:
t
Vitesse : Défr. = 1; Lab = 1
Homme 2:
Vitesse : Défr. = 2 ; Lab = 1
Femme 1:
Vitesse : Lab. = 2 ; Semi = 1
Figure2. Exemple de solution (2 hommes, 1, femme)
Ce problème a priori simple est fortement lié à un
problème abordé par Dessouky et al. (Dessouky et al,
1998) et Verma et Dessouky (Verma et Dessouky, 1999)
: le Flowshop Hybride à trois étages dont les pools de
machines à chaque étage sont composés de machines à
vitesses relatives, et dont les opérations d'un même étage
ont toutes la même durée. Les auteurs ont démontré que
ce problème est NP-difficile au sens fort, puis après
avoir présenté des heuristiques basées principalement sur
la règle Earliest Completion Time, ils proposent une
méthode exacte de résolution de type Procédure par
Séparation et Evaluation. Notons que notre problème
bien que très proche du FH3(Qm)|pi,j= pj|Cmax, semble
sensiblement plus dur à résoudre puisque les ressources
sont utilisées à plusieurs étages. Dès lors, la relaxation
du problème à l'un de ses étages en vue d'obtenir un
problème à machines à vitesses relatives sera de moins
bonne qualité. En effet dans notre cas il se peut que les
ressources soit partiellement indisponibles en fonction
des opérations des autres étages qui leur auront été
affectées.
Pour modéliser notre problème nous avons utilisé la
notion de machines à usages multiples, présentée en
particulier par Jurish (Jurish, 1992) et Brucker (Brucker,
1998). Leurs travaux ont pour une large part portés sur
des problèmes d'atelier comportant des machines à usage
multiples. Les auteurs considèrent qu'à un même étage
plusieurs types de machines sont disponibles pour
effectuer les opérations. Ils ne prennent pas en compte le
cas où ces machines peuvent intervenir à plusieurs
étages. De fait pour définir notre problème la notion
d'étage même, correspondant à un sous-ensemble de
machines propres, nous semble peu adaptée. Nous avons
choisi de modéliser ce problème comme un problème à
machines à usages multiples et à vitesses relatives, dont
les opérations de durée identique à un même ``étage'',
sont reliées par des contraintes de précédence de type
chaîne.
QMPM | chains, pi,j = pj |Cmax
Ce problème initial peut être complété par :
•
des contraintes liant les opérations à effectuer sur
une même parcelle. Les opérations de labourage ne
peuvent pas commencer trop longtemps après la fin
du défrichage sous peine de voir une partie du
défrichage remis en cause. La même contrainte
peut être définie entre le labourage et le semis. Ces
contraintes dites de "non repousse'' peuvent être
modélisées sous la forme de time-lags maximaux
entre les opérations successives d'un même job ;
•
outre la minimisation du temps de travail, nous
pouvons être intéressés une fois le Cmax fixé par la
minimisation du nombre de personnes employées ;
•
nous envisageons également le cas où plusieurs
champs doivent être mis en culture successivement
par la même équipe de personnes.
Il est intéressant de noter que le problème initial rentre
dans le cadre théorique proposé par Dauzère-Pérès et al.,
(Dauzère-Pérès et al., 1998), pour la résolution de
problème d'atelier à ressource flexible. Pour cette
formulation les auteurs proposent une formulation basée
sur un graphe disjonctif. Ils proposent une méthode de
recherche locale de type taboue., dont les résultats
expérimentaux prouvent qu'elle est globalement
performante sur ce type de problème.
Notre intérêt pour la résolution exacte de ce problème se
justifie par de la taille des instances que nous aurons à
traiter. En effet, d'un point de vue pratique, le nombre de
personnes impliquées (de l'ordre de 5 personnes) dans la
culture d'un champs ainsi que le nombre de parcelles
issues du découpage d'un champ (de 8 à 10 parcelles),
nous laissent espérer la possibilité de résoudre
exactement le problème soit par des techniques de
programmation mathématique classiques (cf. Section 3),
soit par une méthode exacte de type Procédure par
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)
Séparation et Evaluation proposée par ailleurs (Néron et
Tercinet, 2000)
•
une opération n'est exécutée que sur une seule
ressource parmi celles possibles :
N
Suite à cette présentation du problème, nous exposons
les modèles mathématiques utilisés.
3.
Formulation pour le problème initial
Nous utilisons ici une forme légèrement modifiée des
données initiales, permettant d'exprimer simplement la
restriction concernant les affectations du défrichage au
premier type de ressource, i.e. les hommes et
l'affectation du semis uniquement sur les ressources de
second type, i.e, les femmes. De plus nous utilisons ici
directement la durée d'une opération qui est connue a
priori pour une affectation donnée.
•
pj : la durée de l'opération Oi,j, ∀ i∈[1..n] ;
•
Mj : le sous-ensemble de ressources pouvant
exécuter Oi,j, ∀ i∈[1..n] ;
•
Vl,j : la vitesse de la ressource l, ∀ l∈[1..nbH+nbF]
pour exécuter Oi,j, ∀ i∈[1..n] ;
•
pi,j,l : la durée de l'opération Oi,j, ∀ i∈[1..n] si elle
est exécutée par la ressource l, ∀ l∈ [1..nbH+nbF]
: pi,j,l = pj / Vl,j. Notons que l'utilisation de pi,j,l,
permet d'étendre ce modèle au cas où les parcelles
ne sont plus toutes identiques : la définition de pi,j,l
sera différente mais son rôle dans les contraintes
exprimées ci-dessous sera le même.
Les variables de notre programme linéaire sont de trois
types :
•
des variables bivalentes d'affectation xi,j,l : ∀
i∈[1..n], ∀ j∈[1..3], ∀ l∈[1.. nH + nF], xi,j,l = 1
si Oi,j est exécutée par la personne l ;
•
des variables bivalentes de précédence yac,,bd : ∀ a,c
∈ [1..n], ∀ b,d ∈ [1..3] yac,,bd = 1 si Oa,b est exécutée
•
avant Oc,d ;
des variables réelles de date début ti,j : ∀ i∈[1..n],
∀ j∈[1..3], ti,j est la date de début de l'opération
Oi,j. Notons que dans le cas général ces dates de
début peuvent être rationnelles si les durées
initiales et les vitesses sont entières. Dans ce cas,
sans perte de généralité, nous pouvons nous
ramener à des durées d'exécution des opérations
entières.
Nous définissons maintenant les contraintes de notre
modèle mathématique :
∀i ∈ [1..n],
∀j ∈ [1..3]
(1)
l∈M j
•
FORMULATION MATHEMATIQUE
Nous présentons dans un premier temps le modèle
associé au problème tel qu'il vient d'être exposé
(paragraphe 3.1). Dans un second temps nous proposons
un modèle pour chacune de ses extensions (paragraphe
3.2). Signalons dès à présent que nos résultats
expérimentaux portent principalement sur la résolution
du problème initial.
3.1
∑ xi, j,l = 1,
une opération ne peut pas être effectuée par une
ressource "interdite". Notons que si les xi,j,l ne sont
définis que pour l∈Mj, cette contrainte n'a lors plus
lieu d'être :
N
∑ xi, j,l = 0,
∀i ∈ [1..n],
∀j ∈ [1..3]
(2)
l∉M j
•
une opération ne peut débuter que si son
prédécesseur est terminé :
ta,b +1 ≥ ta,b + ∑ xa,b,l × pa,b,l, ∀a ∈ [1..n], b ∈ [1..2] (3)
l∈M b
•
une ressource ne peut exécuter qu'une seule
opération à la fois : Soit HV une constante
arbitrairement grande


ta,b ≥ tc, d + pc, d,l − HV × yca,,db − HV ×  ∑ xa,b, l' + ∑ xc, d,l' 
l'∈M b, l' ≠ l
 l'∈M b,l'≠ l

∀a ∈ [1..n], ∀b ∈ [1..2]
(4)


tc,d ≥ ta,b + pa,b,l − HV × ( yca,,db −1)− HV ×  ∑ xa,b,l' + ∑ xc,d,l' 
l'∈Mb,l'≠l
 l'∈Mb,l'≠l

∀a ∈ [1..n], ∀b ∈ [1..2]
(5)
•
une opération ne peut se succéder :
yaa,,bb = 0,
∀a ∈ [1..n], ∀b ∈ [1..3]
(6)
•
tout couple d'opérations est "ordonné" :
yac,,bd + yca,,db = 1,
∀a, c ∈ [1..n], ∀b, d ∈ [1..3] (7)
•
Notre fonction objectif consiste en la minimisation
de la date de fin de la dernière opération effectuée :
(8)
Min Cmax t.q. Cmax ≥ ti,3 + ∑ xi,3, l × pi,3,l
l ∈M 3
3.2
Extensions possibles
L'extension la plus simple du problème consiste à
prendre en compte les contraintes de "non repousse" :
après le défrichage, la parcelle doit être mise en
labourage "assez rapidement". Cette contrainte
s'applique également entre le labourage et le semis. Le
temps autorisé au maximum entre le défrichage et le
labourage d'une même parcelle nous est donné (δ1,2),
ainsi que le temps autorisé au maximum entre le
labourage et le semis d'une même parcelle (δ2,3)
ta,b +1 ≤ ta,b + ∑ xa,b,l × pa,b,l + δ b,b +1,
l∈M b
(9)
∀a ∈ [1..n], ∀b ∈ [1..2]
Ce modèle peut également être étendu à la résolution
d'un problème connexe de minimisation du nombre de
ressources utilisées. Nous considérons ici que la durée
allouée pour la mise en culture d'un champ est fixée :
Cmax*. Nous cherchons dans ce cas à minimiser le
nombre de personnes travaillant à la mise en culture du
champ tout en respectant la durée imposée. Des poids sur
les ressources utilisées symbolisant la préférence du
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)
décideur à laisser une personne au repos par rapport à
une autre, peuvent être introduits.
Les données à ajouter pour la résolution de ce nouveau
problème sont :
•
Cmax* : la date de fin au plus tard imposée,
•
wl le poids associé à la ressource l, ∀l∈[1..nH
+nF]
Les variables du programme initial sont gardées. Une
variable bivalente supplémentaire est utilisée : zl, ∀
l∈[1..nH+nF] vaut 1 si la ressource l a au moins une
tâche à effectuer. Les contraintes (1) à (7) sont
conservées. Deux nouvelles contraintes doivent être
ajoutées. La première (équation 10) est relative au
variables zl, pour que celles-ci valent 1 si au moins une
opération est effectuée par la ressource l. La seconde
(équation 11) force les opérations à finir avant la date de
fin au plus tard imposée.
zl ≥ xi, j,l , ∀i ∈ [1..n], ∀j ∈ [1..3], ∀l ∈ [1..nH + nF] (10)
Cmax* ≥ ti,3 +
∑ xi,3,l × pi,3,l
(11)
l ∈M 3
La nouvelle fonction objectif est :


min  ∑ wl × zl 
 l∈[1..nH + nF]

(12)
La dernière extension que nous présentons concerne la
résolution d'un problème où K champs doivent être mis
en culture successivement, par la même équipe de
personnes. Sous l'hypothèse assez forte, mais réaliste,
qu'une personne une fois affectée au champs k+1 n'est
plus disponible pour le champs k alors ce problème peut
être réduit à des résolutions successives du modèle
initial, en introduisant pour chaque personne une date de
disponibilité, notée Rl. Cette date correspond à l'instant à
partir duquel la personne peut intervenir dans le champ
considéré. Des temps de transport d'un champs à l'autre
éventuellement dépendants des personnes peuvent alors
être pris en considération (βk,l, ∀ l∈[1..nH+nF],
∀k∈[1..K-1]). La contrainte (13) doit être ajoutée au
problème initial (1 à 8).
ti,1 ≥ ∑ xi,1,l × Rl , ∀i ∈ [1..n]
(13)
l∈M 1
La démarche pour résoudre les k champs en séquence est
succinctement présentée ci-dessous. Ci,j est la date de fin
de Oi,j :
1. Rl ←0 ∀ l∈[1..nH+nF], k ←0
2. k ← k + 1
3. résoudre le problème donné par les équations (1-8)
et (13)
4. Calculer pour chaque ressource l la date de fin de
la dernière tâche qui lui a été affectée. Ajouter à
cette date éventuellement le temps de transport
nécessaire pour aller du champ k au champ k+1.
Poser cette nouvelle date comme date de
disponibilité machine (R l←max(i,j)(Ci,j xi,j,l) + βk,l).
5. si k ≤ K Aller en 2.
Le principal avantage de cette approche réside dans le
fait que les champs étant traités en séquence, le
programme linéaire permettant la résolution d'un champ
est quasiment identique à celui présenté précédemment.
Le temps de recherche d'une solution pour un problème à
plusieurs champs sera alors la somme des temps de
résolution du problème issu de chaque champ.
4.
HEURISTIQUES ET BORNES INFERIEURES
Les méthodes que nous décrivons ici sont utilisées pour
fournir un encadrement de la valeur optimale de la date
de fin de l'ordonnancement. Ces méthodes nous
permettront également (cf. Section 5) d'estimer la
difficulté des instances générées .
4.1 Trois heuristiques pour le QMPM|pi,j=pj|Cmax
Les heuristiques que nous présentons sont des
adaptations de celles utilisées par Dessouky et al
(Dessouky et al, 1999) pour la résolution du Flowshop
Hybride à machines à vitesses relatives. Les deux
premières sont basées sur la règle d'affectation Earliest
Completion Time qui affecte l'opération à ordonnancer
sur la machine permettant de la finir au plus tôt. Deux
variantes sont proposées, la première affecte les
opérations d'un même étage les unes après les autres en
respectant la règle ECT, avant de passer à l'étage suivant
(ECT-Etage).
Dans l'algorithme suivant Rl
désigne la date de
disponibilité de la machine l, celle-ci est mise à jour à
chaque fois qu'une opération est placée sur cette
machine. mi,j désigne la machine sur laquelle est affectée
l'opération Oi,j. ri,j, désigne la date de début au plus tôt de
Oi,j.
Algorithme ECT-Etage
Pour j = 1..3
Pour i = 1..n
m ← argminh∈Mj(max(Rh, ri,j) + pj / Vl,j)
mi,k ← m
ti,j ← max(Rm, ri,k)
Rm ← ti,k + pk / Vm,k
Si j < 3
ri,j+1 ← ti,j + pk / Vm,k
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
La seconde variante utilisant la règle d'affectation ECT
parcourt les opérations travail par travail en les affectant
sur la machine déterminée par le règle ECT (ECTTravail). Par rapport à l'algorithme ECT-Etage seul
l'ordre des deux boucles principales est inversé.
La troisième heuristique utilisée repose sur la règle
Latest Starting Time. Les étages sont parcourus du
dernier au premier, les tâches sont affectées sur la
machine qui permet de les commencer au plus tard. Une
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)
fois toutes les opérations affectées, celles-ci sont
décalées à gauche de telle sorte que l'affectation sur
chacune des machines et l'ordre établi sur les machines
soient respectés.
Comme nous le verrons par la suite (cf. section 5.2) ces
heuristiques "simplistes" permettent dans certains cas
d'obtenir de très bons résultats. Cependant leur
comportement "moyen" reste à établir.
4.2 Deux évaluations par défaut
Cette seconde évaluation par défaut est constructive,
c'est à dire qu'elle est basée sur un algorithme de
placement d'opération, en lieu et place d'une fonction
analytique. Les tâches du premier étage sont
ordonnancées en respectant la règle ECT. Les opérations
donnant la date de fin de l'ordonnancement à cet étage
sont ordonnancées sur le deuxième étage en respectant
leur date de disponibilité sur la machine donnée par
ECT. Il en est de même pour le dernier étage. La figure
ci-dessous (figure 3) illustre cette construction, pour un
problème à 6 travaux et 3 personnes.
Le première évaluation par défaut que nous utilisons est
une adaptation du critère G'(J) (Carlier, 1984), également
appelé Sub-Set Bound, au cas où les machines ont des
vitesses relatives. Cette borne se base sur un problème à
m machines uniformes, qui est construit à partir de la
relaxation du problème initial à chacun de ses centres.
Dans les expressions suivantes qi,j est la durée de latence
associée à l'opération Oi,j. En fait nous supposons
successivement qu'exactement m'<m machines sont
chargées dans ce cas, les m' plus petites dates de
disponibilité (notées ri1,j ,…rim',j ) et les m' plus petites
durées de latence (notées qk1,j ,…qkm',j ) peuvent être
utilisées.
Défrichage
Homme 1:
Vitesse : Défr. = 1;
Homme 2:
Vitesse : Défr. = 2 ;
Labourage
Homme 1:
Vitesse : Lab = 1
Homme 2:
Vitesse : Lab = 1
Femme 1:
LB = max j∈[1..3] LBj
Vitesse : Lab. = 2
LBj = min m'∈[1..m] LBj[m']
Semis
∑ (qk , j + ri , j )× Vh, j + n × pk
LB j[m' ] = h =1..m'
∑ Vh, j
h
Femme 1:
Vitesse : Semi = 1
t
h
Evaluation
par défaut
h =1..m'
Figure 3. Construction de la seconde borne inférieure
Un des inconvénients de cette évaluation par défaut est
qu'elle est calculée à partir des dates de début au plus tôt
et des durées de latence des opérations, qui dans le cas
de machines à vitesses relatives peuvent être estimées en
supposant que les opérations sont exécutées sur la
machine la plus rapide. Nous proposons une seconde
évaluation par défaut pour pallier cet inconvénient, c'està-dire pour estimer plus précisément les durées de
latence des opérations.
5.
RESULTATS EXPERIMENTAUX
Comme nous l'avons précisé précédemment seul le modèle initial a fait l'objet d'une évaluation précise de ses
performances. Les tests présentés ci-dessous (Tableau 1)
ont été effectués sur des jeux de données générés aléatoirement
Mod. Math
Nb parcelles Nb Ressources
Vitesse Nb opt Tps
Heuristiques – LB
Nb opt
PSE
Nb opt Tps
5
3
[1..3]
6
98 s
3
9
130 s
5
5
[1..3]
8
19 s
4
4
0s
8
3
[1..3]
1
340 s
5
5
0s
8
5
[1..3]
2
300 s
3
Tableau 1. Résultats comparés sur 40 jeux de données
3
0s
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)
Le tableau 1 présente les résultats que nous avons
obtenus sur 40 jeux de données. Les trois méthodes
citées sont :
•
le modèle mathématique initial tel qu'il est présenté
Section 3, dont le temps de recherche a été limité à
600s
•
les heuristiques et les bornes inférieures présentées
Section 5,
•
une méthode exacte de type Procédure par
Séparation et Evaluation, reprenant les heuristiques
et les évaluations par défaut décrites, (Néron et
Tercinet, 2000), dont le temps de recherche a été
limité à 600s.
Les résultats que nous présentons ont été tous été
obtenus sur un PII500 avec CPLEX 6.0. Les instances
comportent 5 ou 8 travaux et 3 ou 5 personnes. Les
résultats que nous présentons ont été obtenus pour des
vitesses variant entre 1 et 3. Chaque famille comporte 10
instances. Sont reportés dans ce tableau :
•
la taille des jeux de tests (Nb parcelles et Nb
ressources) ;
•
L'intervalle dans lequel les vitesses sont tirées
selon une loi uniforme ;
•
Pour le modèle mathématique : le nombre
d'instances résolues optimalement (sur 10) et le
temps moyen nécessaire à la résolution de ces
instance ;
•
Pour les heuristiques et les bornes inférieures : le
nombre de fois ou le problème est résolu de
manière optimale (max (LB) = min (UB)) ;
•
Pour la PSE : le nombre d'instances résolues
optimalement (sur 10) et le temps moyen
nécessaire à la résolution de ces instances.
Ces résultats ont été obtenus sur un nombre d'instances
limité (40) . Cependant les instances de plus grande taille
n'ont pu être résolues optimalement par l'une ou l'autre
des méthodes. Certaine conclusions préliminaires
peuvent être tirées :
•
seules des instances de petites taille peuvent être
résolues optimalement par nos méthodes en un
temps raisonnable. (maximum 8 travaux)
•
sur les petites instances la PSE semble plus
efficace que le modèle mathématique surtout si le
nombre de ressources à considérer est faible,
•
le fonctionnement de la PSE est largement
conditionné par les résultats des heuristiques,
•
Les heuristiques et les bornes inférieures
permettent de trouver la valeur optimale de
l'ordonnancement dans un nombre de cas
significatifs,
•
Il est intéressant de constater que PSE et modèle
mathématique se complètent : le modèle
mathématique semble plus performant sur les
instances où le nombre de ressources est important
(le problème est alors moins contraint). Pour la
PSE le nombre de fils crées dépend directement du
nombre de ressources du problème (Néron et
Tercinet, 2000), ce qui la rend moins efficace
lorsque le nombre de personnes à considérer
augmente.
Ces résultats pourront être complétés ultérieurement par
une analyse plus fine du comportement de chacune des
méthodes. Nous pouvons même envisager l'utilisation
directe du modèle mathématique au cours de l'exécution
de la PSE, pour permettre le calcul d'une évaluation par
excès lorsqu'un certain nombre de tâches sont placées.
En revanche la structure même du programme linéaire
(Présence des HV) nous laisse penser que sa relaxation
en programme linéaire simple donnera des résultats assez
médiocres en comparaison des évaluations par défauts
que nous avons présentées.
5.
CONCLUSION
Le but de cet article est d'une part de présenter le
problème du cultivateur et ses extensions, et d'autre part
de proposer pour ce problème un modèle mathématique
pour sa résolution exacte.
Dans un premier temps, nous nous sommes attachés à la
description de ce problème d'ordonnancement, issu d'un
problème réel. Nous avons extrait un problème initial,
autour duquel nous avons envisagé quelques extensions.
Par la suite,
nous avons proposé un modèle
mathématique pour le problème initial, et pour certaines
de ses extensions, e.g., la minimisation du nombre de
personnes employées, l'enchaînement en séquence de
plusieurs champs.
Nous avons également proposé des heuristiques simples
et deux évaluations par défaut pour ce problème.
Les premiers résultats expérimentaux que nous avons
obtenus sur des jeux de données tirés aléatoirement, ainsi
que la comparaison avec une autre méthode de résolution
exacte, nous permettent d'évaluer le comportement de
chacune des méthodes : ces méthodes peuvent être utiles
pour des instances de petite taille, d'autre méthodes
devront être utilisées si le nombre de parcelles à
considérer est plus important. Il est cependant intéressant
de constater que les deux méthodes exactes employées
semblent complémentaires lorsque le nombre de
personnes impliquées dans le problème augmente.
REMERCIEMENTS
Nous tenons à remercier les relecteurs pour leur
remarques constructives, et pour les références
bibliographiques qu'ils nous ont fournies.
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France)
REFERENCES
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