1 Le stick-slip Mod`ele du balai 1°) Les conditions d

1
Le stick-slip
Modèle du balai
1°) Les conditions d’équilibre imposent R1 + R2 = P (résultante nulle) et x1 R1 = x2 R2 (nullité du
moment pris par rapport à G). Il en résulte les relations :
R1 =
x2
P
x1 + x2
R2 =
x1
P
x1 + x2
2°) Etat initial x1 = x01 , x2 = x02 avec x02 > x01 donc R1 > R2 . Les résistances limites au glissement
doigt-manche seront donc :
T1 = µS R1
T2 = µS R2
T1 > T2
Lors du rapprochement des doigts, le glissement interviendra au niveau du doigt D2 qui présente la
résistance limite au glissement la plus faible.
3°) Lors du glissement du doigt D2 le coefficient de frottement prend sa valeur dynamique µD et la
résistance au glissement du doigt D2 devient T2 = µD R2 .
4°) Mais, si la distance x1 = x01 reste constante, la distance x2 diminue depuis x02 jusqu’à une valeur
R2
= xx21 , x2 diminuant à x1 = x01 Cte, R2 décroı̂t moins vite que R1 . Il en
x12 < x02 . En effet, comme R
1
va de même de T2 par rapport à T1 . Le glissement du doigt D2 s’arrêtera donc lorsque T2 = T1 , soit
encore µD R2 = µS R1 , c’est-à-dire au point x12 tel que :
µD
x01
x12
=
µ
S 0
x01 + x12
x1 + x12
x1
µD
= 20
µS
x1
Au point d’arrêt, on obtient la relation qui permet de déterminer simplement le rapport des coefficients
de frottement dynamique et statique.
5°) A ce moment, la friction statique se remobilise et T2 = µD R2 > T1 = µD R1 = µS R2 . Cette fois,
la résistance au glissement du doigt D2 devient supérieure à celle du doigt D1 et ce dernier se met
à glisser le long du manche. Le raisonnement précédent s’applique en tout point, mais cette fois x1
x1
décroı̂t à x2 = x12 constant jusqu’au point x11 tel que µµDS = x21 . Puis le cycle recommence avec un
1
nouveau glissement du doigt D1 .
On obtient donc une succession d’alternance de glissement avec des points d’arrêt vérifiant :
xi2 =
µD i−1
x
µS 1
xi1 =
µD i
x
µS 2
⇒
xi2 =
µ2D i−1
x
µ2S 2
xi1 =
µ2D i−1
µD
x1 avec
<1
1
µS
µS
conduisant à une convergence vers x1 = x2 = 0, c’est-à-dire vers le centre de gravité G du balai.
Oscillation de stick-slip
1°) La force de résistance maximale au glissement toujours dirigée vers les x négatifs est donnée
par Tf S = µS N = µS mg.
Au delà de t=0, la position de l’extrémité A de la masse est xA = x et celle de l’extrémité B du
ressort xB = l0 + V t. Sa longueur l augmente comme l = xB − xA = l0 + V t − x et la traction qu’il
exerce sur la masse varie selon T = k(xB − xA − l0 ) = kl − l0 = k(V t − x). Pour un temps t ≥ 0 la
2
traction T reste inférieur à Tf S , la masse est immobile, xA = x = 0 et la traction T augmente comme
T = k(V t − x). La masse commencera à glisser au temps t0 tel que :
Tmax = T (t0 ) = Tf S
kV t0 = µS N
x=0
t0 =
µS N
kV
2°) Au delà de t0 la masse est soumise à la traction T = k(V t−x) du ressort, à la résistance dynamique
au glissement Tf D = µD N et à la force d’inertie de sorte que son mouvement est régi par l’équation
différentielle :
m
d2 x
= T − Tf D = k(V t − x) − µD N
dt2
x(t0 ) = 0
dx
(t0 ) = 0
dt
En faisant apparaı̂tre le temps t0 dans cette équation, elle s’écrit :
k
k
d2 x
+ x = V (t − t0 ) + (µS − µD )g
dt2
m
m
d2 x
+ ω 2 x = ω 2 V (t − t0 ) + (µS − µD )g
dt2
q
k
expression dans laquelle apparaı̂t la pulsation propre ω = m
de vibration libre de la masse m reliée
au ressort de raideur k.
D )g
3°) Sa solution générale est de la forme x = C1 sin(ω(t − t0 )) + C2 cos(ω(t − t0 )) + V (t − t0 ) + (µS −µ
.
ω2
Tenant compte des conditions initiales, le mouvement de la masse est donné pour t > t0 par :
x=−
V
µ S − µD
sin(ω(t − t0 )) +
g[1 − cos(ω(t − t0 ))] + V (t − t0 )
ω
ω2
Ce mouvement se poursuit selon cette loi jusqu’au temps t1 pour lequel la vitesse s’annule, remobilisant
la résistance statique au glissement et immobilisant à nouveau la masse m. Compte tenu de :
dx
g
(t1 ) = −V cos(ω(t1 − t0 )) + (µS − µD ) sin(ω(t1 − t0 )) + V = 0
dt
ω
le temps t1 est défini par :
τ=
1
(µS − µD )g
1 − cos(ω(t1 − t0 ))
= tg[ ω(t1 − t0 )] = −
sin(ω(t1 − t0 ))
2
ωV
t1 = t0 +
2
(µD − µS )g
[π − arctg(
)]
ω
ωV
En t = t1 , compte tenu des relations précédentes définissant t1 − t0 , la masse s’immobilise en position
x1 et la traction du ressort prend la valeur Tmin = T (t1 ) donnés par :
Tmin
D )g
x1 = V (t1 − t0 ) + 2 (µS −µ
= V (t1 − t0 ) + 2 (µS −µkD )mg
ω2
= k(V t1 − x1 ) = k(V t0 + V (t1 − t0 ) − x1 ) = µS N + 2(µD − µS )N = (2µD − µS )N
En effet, en reprenant la définition de τ ci-dessus on peut écrire :
(µS −µD )g
2τ
D
g[1 − cos(ω(t − t0 ))] = − Vω ( 1+τ
[1 −
x − V (t − t0 ) = − Vω sin(ω(t − t0 )) + µSω−µ
2
2 −
ωV
2
(µS −µD )g
2τ
2τ
V
V (µS −µD )g
V
= − ω ( 1+τ 2 + τ 1+τ 2 ) = −2 ω τ = 2 ω
= 2 ω2
ωV
1−τ 2
])
1+τ 2
4°) Pour t1 ≤ t ≤ t2 , la masse est à nouveau immobile en x = x1 et le ressort se tend progressivement
depuis T = Tmin = (2µD − µS )N jusqu’à ce que sa tension T = k(V t − x1 ) = k(V (t − t1 ) + V t1 − x1 ) =
3
kV (t − t1 ) + Tmin atteigne à nouveau la limite de résistance statique au frottement Tmax = Tf S = µS N
ce qui permet de calculer le temps t2 au bout duquel elle va à nouveau se mettre à glisser :
t2 − t1 =
Tmax − Tmin
µ S − µD
µS − µD
=2
N = 2g
kV
kV
ω2V
Au delà, le cycle recommence de manière périodique comme le montre la figure.
5°) La période du cycle est égale à t2 − t0 et les durées t2 − t1 de la phase stick et t1 − t0 de la
phase slip sont reliées par 21 ω(t1 − t0 ) = π − arctg[ 21 ω(t2 − t1 )]. L’incrément de déplacement à chaque
cycle est donné par :
m
δx = x1 − x0 = V (t1 − t0 ) + 2(µS − µD )g
k
En général, la période de slip est beaucoup plus courte que la période de stick (cf. tremblements de
terre) de sorte que l’incrément de déplacement à chaque cycle donné par :
δx = V (t1 − t0 ) + 2(µS − µD )g
m
m
≈ 2(µS − µD )g
k
k
Comme la tension du ressort varie au cours d’un cycle entre Tmax = µS N et Tmin = (2µD − µS )N
l’incrément de déplacement s’écrit aussi sous la forme :
δx =
Tmax − Tmin
k