chapitre 3 : equations et inequations diverses

e
Mathématiques 2 Niv. 1 et 2
Première partie : Algèbre
Théorie chapitre 3
CHAPITRE 3 :
EQUATIONS ET INEQUATIONS DIVERSES
Attention, ce chapitre traite d’équations et inéquations qui ne sont actuellement plus au programme.
§ 3.1 Equations avec valeurs absolues
3.1.1 Introduction et définition
Il n'y a pas de problème quand il s'agit de donner la valeur de | 2 | ou | - 2 |. Par contre, que dire
de | x | ou de | 2 x - 6 |, puisque ces expressions peuvent être positives ou négatives.
Définition :
La valeur absolue de A , notée | A | =
A
-A
si A ≥ 0 (A ∈
si A ≤ 0 (A ∈
+)
-)
Remarque :
Malgré le signe négatif dans le deuxième cas, on a bien une expression positive
Puisque - A étant l'opposé de A, lui-même négatif, est donc positif.
Exemple :
Si A = 2 x - 6 , on a :
| 2x - 6 | = 2x - 6 si 2x - 6 ≥ 0, c'est-à-dire si x ≥ 3
| 2x - 6 | = - (2x - 6) si 2x - 6 < 0, c'est-à-dire si x < 3.
3 est la racine (le zéro) de 2 x - 6
On peut également considérer la valeur absolue d'une expression en utilisant le tableau des signes.
Exemple :
Soit A = -2x + 4
Lorsque x ∈ I1 = ]- ∞ ; 2 ],
on a : | A | = | -2 x + 4 | = - 2 x + 4 ;
lorsque x ∈ I2 = [ 2 ; + ∞ [,
on a : | A | = | -2 x + 4 | = - ( - 2 x + 4 ) = 2 x - 4
On remarque que lorsque x = 2, les deux écritures de l'expression peuvent être utilisées, car 0 est à
la fois positif et négatif .
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3.1.2 Propriétés usuelles des valeurs absolues
a)
| x | est un nombre positif ou nul
b)
|x|=0
c)
|-x|=|x|
d)
|x.y|=|x|.|y|
e)
f)
⇔
x=0
x
|x |
=
y
|y |
|x+y| ≤ |x|+|y|
3.1.3 Méthode de résolution d'une équation contenant des valeurs absolues.
Pour résoudre une équation (respectivement une inéquation) avec des valeurs absolues, il convient de
distinguer dans
, les différents intervalles dans lesquels les expressions changent de signe. Il faut alors
remplacer l'équation (respectivement l'inéquation) par plusieurs équations (inéquations) sur les intervalles
correspondants. Le tableau des signes est un outil très performant pour résoudre des équations
(respectivement des inéquations) de ce type.
Attention, lorsque, après transformations algébriques, on obtient des solutions, il ne faut pas oublier de
vérifier que les valeurs trouvées appartiennent bien à l'intervalle sur lequel on travaille.
Exemple :
Soit l'équation | - 2 x + 10 | = | x | + | - 4 | .
L'ensemble-solution est donc S = { 2 ; 14 }.
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Exemple :
Soit l'équation | x - 1 | + | x - 2 | = 2 x + 1
x
-∞
1
Signe de ( x - 1)
-
| x - 1 | s'écrit
0
- (x - 1) = 1 - x
Signe de ( x - 2 )
-
| x - 2 | s'écrit
2
+
+∞
+
(x - 1)
-
-
0
- (x - 2) = 2 - x
+
(x - 2)
Sur D1 = ] - ∞ ; 1 ]
Sur D2 = [ 1 ; 2]
Sur D3 = [ 2 ; + ∞ [
1-x+2-x=2x+1
x-1+2-x=2x+1
x-1 + x-2 =2x+1
0=2x
0x = 4
x=
1
2
x=0
1
∈ D1 , c'est donc une 0 ∉ D , donc
2
2
solution
0 n'est Il n' y pas de solution
sur D3
pas solution
" 1%
Finalement, S = # &
$2 '
Remarque :
Il n'est pas
€ toujours nécessaire d'utiliser les tableaux :
a) dans certains cas, un simple calcul ou un peu de réflexion suffisent :
Exemples :
|2x-1| +1=0 ⇔ |2x-1| = -1
Il n'y a pas de solution
donc
S = ∅
donc
S = ∅
2
|3x-2| = -(x -x+1)
2
| 3 x - 2 | ≥ 0 et - ( x - x + 1 ) < 0, puisque Δ < 0
b) | f(x) | = 0 ⇔ f(x) = 0
c) | f(x) | = k
Les solutions de cette équation sont celles réunies des deux équations f (x) = k et f (x) = - k
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3.1.4* Inéquations contenant des valeurs absolues.
La méthode précédente s'applique également aux inéquations avec valeurs absolues
Exemple :
|x-2|+|x-4|<5
x
2
|x-2|
-x+2
|x-4|
-x+4
4
0
x-2
x-2
-x+4
0
x-4
Sur D1 = ] - ∞ ; 2], on a :
Sur D2 = [ 2 ; 4], on a :
Sur D3 = [ 4; +∞ [, on a :
-x+2-x+4<5
x-2-x+4<5
x-2+x-4<5
-2 x < -1
x>
Sur D1, S = ]
1
2
0 x < 3 est toujours vrai
1
;2]
2
Sur D2, S = [2 ; 4]
2x - 6 < 5
Sur D3, S = [ 4 ;
€
11
2
11
[
2
€
1 11
et | x - 2 | + | x - 4 | < 5 } = ] ;
[
€
2 2
S={x|x∈
x<
§ 3.2* Equations irrationnelles
€
€ €
3.2.1 Introduction et définitions
L'ensemble des réels est composé des rationnels (forme décimale finie ou infinie, mais périodique) et des
irrationnels (forme décimale infinie non périodique) tels que
Définitions :
€
Si x ∈
+ et y ∈
x= y
€
2 ou π .
⇔
Pour tout x ∈
3x
=y
⇔
y
+, alors
2
= x
et y ∈
x=y
3
Remarques :
1.
€
De la première définition, il faut bien prendre en compte les deux faits suivants :
- on peut considérer la racine carrée de n'importe quel nombre x à condition qu'il soit positif ;
- x étant positif, il existe toujours deux nombres dont le carré est x. La racine carrée de x ,
représente le nombre positif. Par exemple,
16 = 4 ( et non ± 4 ) ,
x2 = | x |.
Par contre, lorsqu’on travaille avec la r a c i n e c u b i q u e , il n'y a pas de restriction pour €
x et y.
€
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€
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x
e
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2.
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On peut appliquer la notion de racine à des expressions plus complexes (1
er
e
degré, 2 degré, etc).
Quand une racine opère sur une telle expression, il faut considérer le domaine de définition, comme
nous l'avons fait précédemment pour les fractions rationnelles.
Exemples:
−x + 7 ;
Soit l'expression M =
−x2 + 4 ;
€
2
x +5 ;
Soit N =
Soit P =
€
l'ensemble de définition de M est ]- ∞ ; 7]
l'ensemble de définition de N est [-2 ; +2]
l'ensemble de définition de P est
A où A et B sont des polynômes vont soulever deux questions,
En résumé,
toute expression du type B =
€
à savoir :
€
- l'existence de B, à condition que A ≥ 0
2
- les équations satisfaites par B : B = A et B ≥ 0
3.2.2. Propriétés des racines carrées
a)
€
€
€
€
( x)
2
= x
b)
x≥ 0
c)
xy =
x.
y
x
x
=
y
y
€ €
e)
x+y ≠ x +
x, y étant positifs
d)
x, y étant positifs, y ≠ 0
y
x2 = | x |
f)€
€
€
sauf si x = 0 ou y = 0
c'est-à-dire x si x ≥ 0 et - x si x ≤ 0.
€
€
3.2.3,
Définition de l'équation irrationnelle
Définition :
Une équation irrationnelle est une équation contenant l'inconnue sous un ou plusieurs signes
d'extraction de racine.
Exemples :
3x + 1 +
a)
€
c)
b) - 1 x + 2
2
−x + 2 = 1
3
150 − x2 = 5
€
e) 3 1− x = - 3
€
€
COLLEGE
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€
x+
5
2
= 0
d) 2 2x + 7 = - 2
€
f)
x+ 3 = 1 7 - x
€
€ - 2013
2012
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3.2.4 Méthode de résolution d'une équation contenant des racines carrées
a) On "supprime" les racines carrées en élevant les deux membres de l'équation au carré;
b) on résout l'équation obtenue;
c) on élimine les solutions "étrangères" (solutions parasites) .
Remarque :
Il faut faire très attention aux solutions parasites qui rendent la vérification obligatoire.
f(x) = g ( x )
En effet,
f ( x ) = [g ( x )]
(1)
2
(2) en élevant au carré
Toute
€ solution de l'équation (1) est aussi solution de l'équation (2).
Cependant, les équations (1) et (2) ne sont pas équivalentes.
Soit x une solution de (2) ; on a donc :
1
2
f (x ) = [g (x )] avec f (x ) ≥ 0 pour avoir un sens.
1
1
1
2
f(x1) = g (x ), soit
Cependant f (x ) = [g (x )] implique soit
1
1
1
1
#% f(x) =
f(x) = g (x) est donc équivalente au système : $
%&g(x) ≥
€
€
Une équation
€
3.2.5 Exemples
a)
f(x1) = - g (x ) la solution parasite.
[g(x)]2
0
€
Résoudre l'équation suivante : 2 x +
6x + 6 = 4
6x + 6 = 4 - 2x
6x + 6 = (4 - 2x)
D = [ - 1; + ∞ [
2
€
2
16 - 16x + 4x - 6x - 6 = 0
€
2
4(x 4(x-
11
5
x+ )=0
2
2
1
1
) ( x - 5 ) = 0, d'où x =
et x = 5
2
2
€
€
i) Vérification en remplaçant x par les solutions possibles
€
x = 5 ⇒ 10 + 36 ≠ 4, donc 5 n'est pas une solution
€
x=
1
⇒ 1+
2
9 = 4, donc
1
est une solution.
2
€
ii) Vérification€des conditions du système (ne pas oublier le domaine de définition)
6x + 6 = 4 - 2x
4 - 2x ≥ 0
€
⇒
1
x = et x = 5
1 2
2
⇒
2≥x
" 1%
e
€
La 2 solution ne vérifiant pas le système,
S =# &
$2 '
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€
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e
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b)
Résoudre :
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8x − 1 + 2
x + 1= 6
8x − 1 x + 1 + 4 ( x + 1 ) = 36
(8x-1)+4
Théorie chapitre 3
D=[
1
;+∞[
8
€
€
8x − 1 x + 1 = 33 - 12 x
4
€
2
16 ( 8 x - 1) (x + 1) = ( 33 - 12 x )
⇒
x1 =
5
221
€et x2 =
4
4
33 - 12 x ≥ 0
⇒
x ≤
33
12
€
€
"5 %
Donc S = # &
$4 '
€
c)
Résoudre :
€
x + 2 = -4
i)
S = ∅ car - 4 < 0
€
−x2 − x − 1 < 0
ii)
S = ∅ car - x
2
- x - 1 est toujours négatif
€
d)
Résoudre :
2x + 9 =
x + 1.
2x+9 = x+1+2
x€+ 1 .
x +1 +
x − 4€= 6
x−4
x−4 + x - 4
D=[4;+∞[
€
(x + 1) .(x - €
4) = 36€
2
€
€x - 3 x - 40 = 0
⇒
x
1
= 8 et x
2
= -5 ∉ D
Donc S = { 8 }
e)
Résoudre :
x − 2 > -1
D=[2;+∞[
Partout où le membre de gauche est défini, il sera positif, donc plus grand que -1.
€
Dans ce cas, S = [ 2 ; + ∞ [
Et si l'on avait eu
x − 2 < -1, alors S = ø.
€
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