Feuilles d`exercices

Licence Sciences et Technologies A
Licence 1 Profil MIMP
Second Semestre
Math 22A : Algèbre linéaire et affine 1
Feuilles d’exercices
2012-2013
http://math.univ-lille1.fr/∼mimp
Sommaire
Chapitre 0. Systèmes linéaires, Pivot de Gauss
Chapitre I. Espaces vectoriels
1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . .
3
Familles génératrices, familles libres, bases
4
Opérations sur des sous-espaces vectoriels
4.1
Intersection et somme . . . . . . .
4.2
Somme directe . . . . . . . . . . .
Chapitre II. Matrices
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1
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2
2
2
4
7
7
8
9
Chapitre III. Applications linéaires
11
1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2
Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3
Matrice associée à une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
Chapitre 0. Systèmes linéaires, Pivot de Gauss
Exercice 1. Résoudre les systèmes suivants

 3x − y +2z = a
−x +2y −3z = b

x +2y + z = c

 x +y +2z = 5
x −y − z = 1

x
+ z = 3
Exercice 2. Résoudre, suivant les valeurs de m :
mx + (m + 4)y = 3
mx + (m − 1)y = m + 2
(S1 )
(S2 )
x + (m + 1)y = m + 2
(m + 1)x − my = 5m + 3
Exercice 3. Ecrire les conditions, portant sur les réels a, b, c, pour que le système
suivant admet des solutions non nulles ; expliciter ces solutions.

 x − a(y + z) = 0
y − b(x + z) = 0

z − c(x + y) = 0
Exercice 4. Soit f l’application de R4 dans lui-même définie par
f (x, y, z, t) = (x + y + 2z − t, x + 2y − 2z + 3t, 2x + 3y + 2t, x − 2y + 3z + t).
Trouver des conditions sur b = (b1 , b2 , b3 , b4 ) pour que b ∈ Im(f ).
Exercices supplémentaires pour plus d’entrainement
Exercice 5. Discuter et réoudre suivant les valeurs des réels λ, a, b, c, d :

(1 + λ)x + y + z + t = a



x + (1 + λ)y + z + t = b
(S)
x + y + (1 + λ)z + t = c



x + y + z + (1 + λ)t = d
Exercice 6. Discuter et résoudre suivant les valeurs

3x + 2y − z + t




2x + y − z

5x + 4y − 2z
(S)


(λ
+
2)x
+
(λ + 2)y − z



3x − z + 3t
des réels λ et a :
=
=
=
=
=
Exercice 7. Résoudre suivant les valeurs de a et µ ∈ R


x + y + z = 1
ax + by + cz = d

 2
a x + b2 y + c2 z = d2
λ
λ−1
2λ
3λ + a
−λ2
2
CHAPITRE I. ESPACES VECTORIELS
Chapitre I. Espaces vectoriels
1. Définition
Exercice 1. Dire si les ensembles sont des espaces vectoriels :
i) dans R3 : {a, a2 , a3 )|a ∈ R}.
ii) dans R3 : {x, y, z)|z = x2 + y 2 }.
iii) dans R[X] : l’ensemble des polynômes P de degré trois; de degré au moins quatre;
vérifiant P (e) = 1.
iv) l’ensemble des fonctions f : monotones; croissantes;
Exercice 2. Soit R∗+ muni de la loi interne ⊕ définie par a ⊕ b = ab, ∀a, b ∈ R∗+ et de
la loi externe ⊗ telle que λ ⊗ a = aλ , ∀a ∈ R∗+ , ∀λ ∈ R. Montrer que E = (R∗+ , ⊕, ⊗)
est un R-espace vectoriel.
Exercice 3. On munit R2 de l’addition usuelle et de la loi externe λ(x, y) = (λx, y).
Est-ce un R-espace vectoriel ?
2. Sous-espaces vectoriels
Exercice 4. Déterminer lesquels des ensembles sont des sous-espaces vectoriels :
i) {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y = 0};
ii) {(x, y, z) ∈ R3 | xy = 0};
{(x, y, z) ∈ R3 : x2 − z 2 = 0};
iii) {(x, y, z) ∈ R3 | x − y − 2z = x + y + 2z = 0};
iv) {(a + b, a − 2b) | a, b ∈ R};
v) {(x, y, z) ∈ R3 : ex ey = 0};
vi) {(x, y, z) ∈ R3 : z(x2 + y 2 ) = 0};
vii) {(x, y, z, t) ∈ R4 : y = 0, x = z};
viii) {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2};
ix) {(x, y) ∈ R2 : x2 + xy > 0};
x) {(x, y) ∈ R2 : x2 + xy + y 2 > 0};
xi) {f ∈ C(R, R) : f (1) = 0};
xii) {f ∈ C(R, R) : f ( 12 ) = 1};
xiii) {f ∈ C(R, R) : f est croissante}.
2. SOUS-ESPACES VECTORIELS
3
Exercice 5. Parmi les ensembles suivants reconnaı̂tre ceux qui sont des sous-espaces
vectoriels.
F1
F2
F3
F4
F5
F6
= {P
= {P
= {P
= {P
= {P
= {P
∈ Rn [X] | P 0 = 2} ;
∈ Rn [X] | P 0 = 0} ;
∈ R[X] | P (0) = 2} ,
∈ R[X] | P 0 + 2P = 0} ,
∈ Rn [X] | P est divisible par X(X + 1)} .
∈ Rn [X] | P (X + 1) − P (X) = 0} .
Exercices supplémentaires
Exercice 6. Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
1. L’ensemble des fonctions réelles sur [0, 1], continues, positives ou nulles, pour
l’addition et le produit par un réel.
L’ensemble des fonctions réelles sur R vérifiant limx→+∞ f (x) = 0.
L’ensemble des fonctions impaires sur R.
L’ensemble des fonctions sur R qui sont nulle en 1 ou nulle en 4.
2. L’ensemble des nombres complexes d’argument π/4 + kπ, (k ∈ Z).
3. L’ensemble des points (x, y) de R2 , vérifiant sin(x + y) = 0.
4. L’ensemble des vecteurs (x, y, z) de R3 orthogonaux au vecteur (−1, 3, −2).
5. L’ensemble des polynômes ne comportant pas de terme de degré 7.
L’ensemble des polynômes de degré exactement n.
4
CHAPITRE I. ESPACES VECTORIELS
3. Familles génératrices, familles libres, bases
Exercice 7. Les familles suivantes sont-elles génératrices ?
1. (1, 1), (3, 1) dans R2 .
2. (1, 0, 2), (1, 2, 1) dans R3 .
Exercice 8. Soient les vecteurs v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (1, −2, 3, −4) de R4 . Peuton déterminer x et y pour que (x, 1, y, 1) ∈ Vect{v1 , v2 } ? pour que (x, 1, 1, y) ∈
Vect{v1 , v2 } ?
Exercice 9. Les familles suivantes sont-elles libres ?
1. v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 2, 2), v3 = (3, 7, 1) dans R3 .
2. v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 1) dans R3 .
3. v1 = (2, 4, 3, −1, −2, 1), v2 = (1, 1, 2, 1, 3, 1), v3 = (0, −1, 0, 3, 6, 2) dans R6 .
4. v1 = (2, 1, 3, −1, 4, −1), v2 = (−1, 1, −2, 2, −3, 3), v3 = (1, 5, 0, 4, −1, 7) dans R6 .
Exercice 10. On considère dans Rn une famille libre de 4 vecteurs : (e1 , e2 , e3 , e4 ).
Les familles suivantes sont-elles libres ?
(i) (e1 , e3 ).
(ii) (e1 , 2e1 + e4 , e4 ).
(iii) (3e1 + e3 , e3 , e2 + e3 ).
(iv) (2e1 + e2 , e1 − 3e2 , e4 , e2 − e1 ).
Exercice 11. On suppose que v1 , v2 , v3 , . . . , vn sont des vecteurs indépendants de Rn .
1. Les vecteurs v1 −v2 , v2 −v3 , v3 −v4 , . . . , vn −v1 sont-ils linéairement indépendants ?
2. Les vecteurs v1 +v2 , v2 +v3 , v3 +v4 , . . . , vn +v1 sont-ils linéairement indépendants ?
3. Les vecteurs v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 , v1 + v2 + v3 + v4 , . . . , v1 + v2 + · · · + vn sont-ils
linéairement indépendants ?
Exercice 12. Prouver que dans R3 , les vecteurs u1 = (2, 3, −1) et u2 = (1, −1, −2)
engendrent le même s.e.v. que les vecteurs v1 = (3, 7, 0) et v2 = (5, 0, −7).
Exercice 13.
a) Pour quelles valeurs du réel a le système suivant est-il libre?
{(1, 1, −6, 4), (1, −3, 2, 0), (2, a, 2, 1)}.
b) Quelles sont les parties libres maximales du système suivant?
{(1, 1, −6, 4), (1, −3, 2, 0), (0, 1, −2, 1)}.
3. FAMILLES GÉNÉRATRICES, FAMILLES LIBRES, BASES
5
Exercice 14.
1. Donner, dans R3 , un exemple de famille libre, qui n’est pas génératrice.
2. Donner, dans R3 , un exemple de famille génératrice, mais qui n’est pas libre.
Exercice 15. Dans R4 on considère l’ensemble E des vecteurs (x1 , x2 , x3 , x4 ) vérifiant
x1 + x2 + x3 + x4 = 0. L’ensemble E est-il un sous espace vectoriel de R4 ? Si oui, en
donner une base.
Exercice 16.
a) Calculer les coordonnées du vecteur (2, 3, 4, 5), puis les coordonnés de (x1 , x2 , x3 , x4 )
dans la base {(0, 1, 2, 3), (1, 1, −6, 4), (1, −3, 2, 0), (2, 3, 2, 1)}.
b) Donner une base des sous-espaces de R4 définis par les équations suivantes:
(i) x + 2y + z + t = 0 et x − 2y − z + t = 0.
(ii) x + 2y + z + t = 0 et x − 2y − 3z + 2t = 0.
c) Donner une base du sous-espace de R4 engendré par les vecteurs suivants.
{(1, 1, −2, 0), (4, 1, −6, 1), (0, −3, 2, 1)}.
d) Donner un système d’équations pour le même sous-espace de R4 .
Exercice 17. Soit
V2 = {(a, b) ∈ C2 : a − ib = 0},
V3 = {(a, b, c) ∈ C3 : a + 2b + c = 0},
V4 = {(a, b, c, d) ∈ C4 : a + ib = b + ic = c + id}.
Montrer que Vk est un sous-espace vectoriel de Ck en tant que C-espace vectoriel, et
en donner une base.
Exercice 18. Dans l’espace P5 des polynômes de degré 6 5, on définit les sousensembles : E1 = {P ∈ P5 | P (0) = P (1)}, E2 = {P ∈ P5 | P 0 (1) = P (2)}.
Montrer que ce sont des sous espaces vectoriels et en déterminer un base.
Exercices supplémentaires
Exercice 19.
√
√ √
1. Montrer que les systèmes : S1 = (1; 2) et S2 = (1; 2; 3) sont libres dans R
considéré comme Q-espace vectoriel.
√
√
√
2. Soient, dans R2 , les vecteurs u1 = (3 + 5, 2 + 3 5) et u2 = (4, 7 5 − 9). Montrer
que le système (u1 , u2 ) est Q-libre et R-lié.
3. Soient les vecteurs v1 = (1 − i, i) et v2 = (2, −1 + i) dans C2 .
(a) Montrer que le système (v1 , v2 ) est R-libre et C-lié.
(b) Vérifier que le système S = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} est une base de l’e.v.
C2 sur R, et donner les composantes des vecteurs v1 , v2 par rapport à cette
base.
6
CHAPITRE I. ESPACES VECTORIELS
Exercice 20. Soit E un C-espace vectoriel et S1 = (e1 , e2 , ..., en ) un système libre dans
E, n > 2.
P
1. On considère le système S2 = (e01 , e02 , ..., e0n ) défini par : e0j = jk=1 ek , 1 6 j 6 n.
S2 est-il libre ?
2. On considère le système S3 = (ε1 , ε2 , ..., εn ) défini par : εj = ej + ej+1 , 1 6 j 6
n − 1 et εn = en + e1 . Montrer les résultats suivants :
(a) S3 libre ⇒ S1 libre.
(b) n impair : S3 libre ⇔ S1 libre.
(c) n pair : S3 lié.
Exercice 21.
1. Montrer qu’on peut écrire le polynôme F = 3X − X 2 + 8X 3 sous la forme F =
a + b(1 − X) + c(X − X 2 ) + d(X 2 − X 3 ) (calculer a, b, c, d réels), et aussi sous la
forme F = α + β(1 + X) + γ(1 + X + X 2 ) + δ(1 + X + X 2 + X 3 ) (calculer α, β, γ, δ
réels).
2. Soit P3 l’espace vectoriel des polynômes de degré 6 3. Vérifier que les ensembles
suivants sont des bases de P3 : B1 = {1, X, X 2 , X 3 }, B2 = {1, 1−X, X −X 2 , X 2 −
X 3 }, B3 = {1, 1 + X, 1 + X + X 2 , 1 + X + X 2 + X 3 }.
Exercice 22. Dans l’espace R4 , on se donne cinq vecteurs : V1 = (1, 1, 1, 1), V2 =
(1, 2, 3, 4), V3 = (3, 1, 4, 2), V4 = (10, 4, 13, 7), V5 = (1, 7, 8, 14). A quelle(s) condition(s)
un vecteur B = (b1 , b2 , b3 , b4 ) appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs V1 ,
V2 , V3 , V4 , V5 ? Définir ce sous-espace par une ou des équations.
Exercice 23. Pour quelles valeurs du réel a le système suivant est-il une base de R4 ?
{(0, 1, a, 3), (1, 1, −6, 4), (1, −3, 2, 0), (2, a, 2, 1)}.
Exercice 24. Compléter le système {(1, −3, 2, 0), (0, 1, −2, 1)} en une base de R4 .
Exercice 25. Donner une base du sous-espace de R4 engendré par les vecteurs suivants : {(1, 1, −2, 0), (4, 1, −6, 1), (0, −3, 2, 1)}.
Donner un système d’équations pour le même sous-espace de R4 .
4. OPÉRATIONS SUR DES SOUS-ESPACES VECTORIELS
7
4. Opérations sur des sous-espaces vectoriels
4.1. Intersection et somme
Exercice 26. Dans R4 , on pose
v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (2, 2, 2, 6), v3 = (0, 2, 4, 4), v4 = (1, 0, −1, 2), v5 = (2, 3, 0, 1).
Soient F = Vect{v1 , v2 , v3 } et G = Vect{v4 , v5 }. Déterminer une base des sous-espaces
F ∩ G, F, G et F + G.
Exercice 27. On considère dans R4 , F = Vect{a, b, c} et G = Vect{d, e}, avec a =
(1, 2, 3, 4), b = (2, 2, 2, 6), c = (0, 2, 4, 4), d = (1, 0, −1, 2) et e = (2, 3, 0, 1). Déterminer
des bases des sous-espaces F ∩ G, F , G, F + G.
Exercice 28. Dans l’espace P5 des polynômes de degré 6 5, on définit les sousensembles :
E1 = {P ∈ P5 | P (0) = 0}
E2 = {P ∈ P5 | P 0 (1) = 0}
E3 = {P ∈ P5 | x2 + 1 divise P }
E4 = {P ∈ P5 | x 7→ P (x) est une fonction paire}
E5 = {P ∈ P5 | ∀x, P (x) = xP 0 (x)}.
1. Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E1 ∩ E2 ,
E1 ∩ E3 , E1 ∩ E2 ∩ E3 , E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ E4 .
2. Déterminer dans P5 des sous-espaces supplémentaires de E4 et de E1 ∩ E3 .
Exercice 29. Si L, M, N sont trois sous-espaces vectoriels de E, a-t-on :
L ∩ (M + N ) = L ∩ M + L ∩ N ?
Exercice 30. Soient P0 , P1 , P2 et P3 ∈ R2 [X] définis par
P0 (X) =
(X − 1)(X − 2)
X(X − 1)
, P1 (X) =
,
2
2
P2 (X) = 2X(X − 2), P3 (X) =
(X − 1)(X − 3)
.
3
Exprimer 1, X, X 2 en fonction de P0 , P1 et P2 . On note F = V ect{P0 , P1 } et
G = V ect{P2 , P3 }. Calculer dim F , dim G, dim(F + G) et dim(F ∩ G). Vérifier que
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G).
8
CHAPITRE I. ESPACES VECTORIELS
4.2. Somme directe
Exercice 31. Construire un supplémentaire du sous-espace de R4 défini par les équations suivantes : x + 2y + 2z + t = 0 et 2y − 3z + 2t = 0.
Construire un supplémentaire du sous-espace de R4 engendré par les vecteurs suivants : {(1, 1, −2, 0), (−1, −3, 2, 1)}.
Exercice 32. On considère dans R4 les vecteurs
v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 0, 1, 0), v3 = (0, 1, 0, 0), v4 = (0, 0, 0, 1), v5 = (0, 1, 0, 1).
1. Vect{v1 , v2 } et Vect{v3 } sont-ils supplémentaires dans R4 ?
2. Même question pour Vect{v1 , v3 , v4 } et Vect{v2 , v5 }.
Exercice 33. Soient le triplet v1 = (1, 2, 3, 0), v2 = (−1, 1, 2, 1), v3 = (1, 5, 8, 1) et
le triplet w1 = (0, 3, 5, 1), w2 = (1, −1, 1, 0), w3 = (0, 0, 3, 1). On considère les sousespaces vectoriels F = Vect(v1 , v2 , v3 ) et G = Vect(w1 , w2 , w3 ). Donner une base des
sous-espaces suivants F, G, F ∩ G et F + G.
Exercice 34. On considère dans R3 ,
Π = vect {(1, 1, 1), (1, 1, −1)} et D = vect {(0, 1, −1)}.
Montrer que R3 = Π ⊕ D.
Exercices supplémentaires
Exercice 35. Soit E = Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré 6 n. On
définit
Ea = {P ∈ E; (X − a)/P }
pour a ∈ R. Montrer que si a 6= b il existe un couple de réels (c, d) tels que 1 =
c(X − a) + d(X − b). En déduire que E = Ea + Eb , la somme est-elle directe?
Exercice 36. Soit E = ∆1 (R, R) et F = {f ∈ E/f (0) = f 0 (0) = 0}. Montrer que F
est un sous-espace vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E.
Exercice 37. On déigne par E un R-espace vectoriel de dimension finie. Les propriété
suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. Soient D1 , D2 , D3 des droites vectorielles de R3 distinctes deux à deux. Alors R3
est somme de D1 , D2 , D3 .
2. Soient F et G des hyperplans vectoriels de E. Alors E 6= F ∪ G.
3. Soient P1 et P2 des plans vectoriels de E tels que P1 ∩ P2 = {0}. Alors dim E > 4.
4. Soient F et G des sous-espaces de dimension 3 de R5 . Alors F ∩ G 6= {0}.
5. Soit (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de R4 et F = lin{e1 , e3 }. Tout sous-espace
vectoriel supplémentaire de F contient e2 .
9
Chapitre II. Matrices
Exercice 1. Dire si les ensembles sont des espaces vectoriels :
i) dans M2 : de carré nul; triangulaires (resp. supérieures); symétriques; vérifiant
(3, 4)P = 0; vérifiant (3, 4)P = (5, 6); vérifiant P Q = 0 (Q donnée dans M2 ).
ii) dans L2 : de carré nul; vérifiant f (5, 4) = 0; vérifiant f (5, 4) = (3, 6); vérifiant
gf = 0 (g donnée dans L2 ).
Exercice 2. Soit E le sous ensemble de M3 (R)

a 0
n

E = M (a, b, c) = 0 b
c 0
défini par

c
o
0 a, b, c ∈ R .
a
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R) stable pour la multiplication
des matrices. Déterminer une base de E et dim (E).
2. Soit M (a, b, c) un élément de E. Déterminer, suivant les valeurs des paramètres
a, b et c ∈ R son rang. Calculer (lorsque cela est possible) l’inverse M (a, b, c)−1
de M (a, b, c).
3. Donner une base de E formée de matrices inversibles et une autre formée de
matrices de rang 1.
Exercice 3. Montrer que F = {M ∈ M2 (R); tr(M ) = 0} est un sous-espace vectoriel
de M2 (R). Déterminer une base de F et la compléter en une base de M2 (R).
Exercice 4. Effectuer le produit des matrices :
2 1
3 2
1 −1
1 1
;
1 2 0
3 1 4
Exercice 5. Calculer M 2 , M 3 , M 4 , M 5 où

0 a
 0 0
M =
 0 0
0 0
b
d
0
0


−1 −1 0
 1
4 −1  ;
2
1
2

c
e 
.
f 
0
Exercice 6. On considère les trois matrices suivantes :




7 2
2 −3 1 0
 −5 2 

1 3 
A= 5 4
B=
 3 1  et
6 −2 −1 7
6 0
1. Calculer AB puis (AB)C. Calculer BC puid A(BC).
2. Que remarque-t-on ?
C=
−1 2 6
3 5 7
10
CHAPITRE II. MATRICES
Exercice 7. On considère les deux matrices suivantes



2 3 −4 1
3
 5 2 1 0 
 4

A=
B=
 3 1 −6 7  ,
 2
2 4 0 1
1
:

−1 −3 7
0
2
1 

3
0 −5 
6
6
1
1. Calculer AB.
2. Calculer BA.
3. Que remarque-t-on ?


1 0 0
Exercice 8. Trouver les matrices qui commutent avec A =  0 1 1  . De même
3 1 2
a b
.
avec A =
0 a

−1 1
1
Exercice 9. Soit A =  1 −1 1 . Calculer A2 et montrer que A2 = 2I − A,
1
1 −1
en déduire que A est inversible et calculer A−1 .


1
2
1
2 −1.
Exercice 10. Calculer l’inverse de  1
−2 −2 −1

11
Chapitre III. Applications linéaires
1. Définition
Exercice 1. Dire si les applications suivantes sont linéaires
f1
f2
f3
f4
f5
f6
:
:
:
:
:
:
(x, y) ∈ R2 7→ (x − 3y, ax + y) ∈ R2 ,
(x, y, z) ∈ R3 7→ (xy, 4x, y) ∈ R3 ,
P ∈ R[X] 7→ aP 0 + P ∈ R[X],
P ∈ R3 [X] 7→ P 0 ∈ R2 [X],
P ∈ R3 [X] 7→ (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R3 ,
P ∈ R[X] 7→ P − (X − 1)P 0 ∈ R[X].
Exercice 2. Soient f et g, applications de C dans C, définies par f (z) = z̄ et g(z) =
<(z). Montrer que f et g sont linéaires sur C en tant que R-espace vectoriel, et non
linéaires sur C en tant que C-espace vectoriel.
Exercice 3. (exercices complémentaires) Dire si les applications suivantes sont des
applications linéaires :
1. R → R : x 7→ 4x − 3.
√
2. R → R : x 7→ x2 .
3. C([0, 1], R) → C([0, 1], R) : f 7→ {t 7→
f (t)
}.
1+t2
4. C([0, 1], R) → R : f 7→ f (3/4).
p
5. R2 → R : (x, y) 7→ 3x2 + 5y 2 .
6. R2 → R : (x, y) 7→ xy.
7. R2 → R : (x, y) 7→
y
x+y
si x + y 6= 0 et 0 sinon.
8. R[X] → Rn [X] : A 7→ quotient de A par B à l’ordre n selon les puissances
croissantes (B et n fixé, avec B(0) 6= 0).
−−→ →
−
→
−
9. R3 → R : M 7→ OM · V où V = (4, −1, 1/2).
√
10. R → R3 : x 7→ (2x, x/π, x 2).
11. R2 → R2 : (x, y) 7→ la solution du système d’équations en (u, v) :
3u − v = x
6u + 2v = y.
12
CHAPITRE III. APPLICATIONS LINÉAIRES
2. Image et noyau
Exercice 4. Pour les applications linéaires trouvées dans l’exercice 1, déterminer les
sous-espaces Ker(fi ) et Im(fi ), en déduire si fi est injective, surjective, bijective.
Exercice 5. E1 et E2 étant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un
espace vectoriel E, on définit l’application f : E1 × E2 → E par f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f .
3. Appliquer le théorème du rang.
Exercice 6. Soit E = Rn [x] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal
à n. Pour p 6 n on note ep le polynôme ep (x) = xp . Soit f l’application définie sur E
par f (P ) = Q avec Q(x) = P (x + 1) + P (x − 1) − 2P (x).
1. Montrer que f est une application linéaire de E dans E.
2. Calculer f (ep ) ; quel est son degré ? En déduire ker f , Im f et le rang de f .
3. Soit Q un polynôme de Im f ; montrer qu’il existe un polynôme unique P tel
que : f (P ) = Q et P (0) = P 0 (0) = 0.
Exercice 7. Soit E un espace vectoriel, et u une application linéaire de E dans E.
Dire si les propriété suivantes sont vraies ou fausses :
1. Si e1 , e2 , . . . , ep est libre, il en est de même de u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep ) ?
2. Si u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep ) est libre, il en est de même de e1 , e2 , . . . , ep ?
3. Si e1 , e2 , . . . , ep est génératrice, il en est de même de u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep ) ?
4. Si u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep ) est génératrice, il en est de même de e1 , e2 , . . . , ep ?
5. Si u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep ) est une base de Im u, alors e1 , e2 , . . . , ep est une base
d’un sous-espace vectoriel supplémentaire de Ker u ?
Exercice 8. Donner des exemples d’applications linéaires de R2 dans R2 vérifiant :
1. Ker(f ) = Im(f ).
2. Ker(f ) inclus strictement dans Im(f ).
3. Im(f ) inclus strictement dans Ker(f ).
Exercice 9. Soient : E, F et G trois sous espaces vectoriels de Rn , f une application
linéaire de E dans F et g une application linéaire de F dans G. On rappelle que g ◦ f
est l’application de E dans G définie par g ◦ f (v) = g(f (v)), pour tout vecteur v de E.
1. Montrer que g ◦ f est une application linéaire.
2. Montrer que : Ker(g ◦ f ) = f −1 (Ker g ∩ Im f ) = f −1 (Ker g).
3. Montrer que Ker(f ) ⊂ Ker(g ◦ f ) et Im(g ◦ f ) ⊂ Im(f ).
2. IMAGE ET NOYAU
13
Exercice 10. Donner un exemple d’endomorphisme d’un espace vectoriel injectif et
non surjectif, puis d’un endomorphisme surjectif et non injectif.
Exercice 11. Soit E un espace vectoriel de dimension 3, {e1 , e2 , e3 } une base de E, et
λ un paramètre réel. Démontrer que la donnée de
ϕ(e1 ) = e1 + e2 , ϕ(e2 ) = e1 − e2 , ϕ(e3 ) = e1 + λe3 ,
définit une application linéaire ϕ de E dans E. Ecrire le transformé du vecteur x =
α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 . Comment choisir λ pour que ϕ soit injective ? surjective ?
Exercice 12. E étant un espace vectoriel de dimension n sur R, f une application
linéaire de E dans E, construire dans les trois cas suivants deux applications linéaires
bijectives u et v de E dans E telles que f = u − v.
• f est bijective.
• Ker f + Im f = E.
• f est quelconque.
Exercice 13. Montrer que si p < q il n’existe pas d’application linéaire surjective de
Rp dans Rq . Montrer que si q < p il n’existe pas non plus d’application linéaire injective
de Rp dans Rq .
14
CHAPITRE III. APPLICATIONS LINÉAIRES
3. Matrice associée à une application linéaire
Exercice 14. Soit h l’application linéaire de R3 dans R2 défini par rapport à deux
2 −1 1
bases (e1 , e2 , e3 ) et (f1 , f2 ) par la matrice A =
.
3 2 −3
1. On prend dans R3 la nouvelle base :
e01 = e2 + e3 ,
e02 = e3 + e1 ,
e03 = e1 + e2 .
Quelle est la nouvelle matrice A1 de h ?
2. On choisit pour base de R2 les vecteurs :
1
f10 = (f1 + f2 ),
2
1
f20 = (f1 − f2 )
2
en conservant la base (e01 , e02 , e03 ) de R3 . Quelle est la nouvelle matrice A2 de h ?

3 −1 1
Exercice 15. Soit f ∈ L(R3 ) de matrice 0 2 0 dans la base canonique. Déter1 −1 3
miner la matrice de f dans la base (1, 0, −1), (0, 1, 1), (1, 0, 1).

Exercice 16. Soit h une application linéaire de rang r, de E, espace vectoriel de
dimension n, dans F , espace vectoriel de dimension m.
1. Préciser comment obtenir une base (ei )ni=1 de E, et une base (fj )m
j=1 de F , telles
que h(ek ) = fk pour k = 1, . . . , r et h(ek ) = 0 pour k > r. Quelle est la matrice
de h dans un tel couple de bases ?
2. Déterminer un tel couple de bases pour l’homomorphisme de R4 dans R3 défini
dans les bases canoniques par :

 y1 = 2x1 − x2 + x3 − x4
y2 = x2 + x3 − 2x4
h(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (y1 , y2 , y3 ) avec

y3 = x1 + 2x2 + x3 + x4
3. Même question pour l’application f de R3 dans lui-même définie par :
f (x, y, z) = (2x + y + z, −y + z, x + y).
3. MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE
15
Exercice 17. On déigne par R2 [X] l’espace des polynômes sur R de degré inférieur ou
égal à 2. On désigne par (e0 , e1 , e2 ) la base canonique de R2 [X] et on pose
p0 = e0 ,
1
p1 = e1 − e0 ,
2
1
p2 = e2 − e1 + e0 .
2
1. Montrer que tout polynôme de R2 [X] peut s’écrire de façon unique sous la forme
p = b0 p0 + b1 p1 + b2 p2 .
2. Ecrire sous cette forme les polynômes : p00 , p01 , p02 , p0 , Xp0 , p00 .
3. Montrer que l’application ϕ : R2 [X] → R2 [X] définie par ϕ(p) = Xp0 − 21 p0 + 14 p00
est une application linéaire.
(a) Préciser le noyau et l’image de cette application.
(b) Ecrire les matrices de cette application par rapport à la base canonique (ei );
puis par rapport à la base (pi ).
(c) Ecrire la matrice de passage de la base (ei ) à la base (pi ) ; quelle relation lie
cette matrice aux deux précédentes ?
Exercice 18. Soit f : C → C l’application z 7→ eiθ z̄. On considère C comme un
R-espace vectoriel et on fixe la base ε = {1, i}.
1. Montrer que f est R-linéaire.
2. Calculer A = Mat(f, ε, ε).
3. Existent-ils x et y ∈ C\{0} tels que f (x) = x et f (y) = −y ? Si c’est le cas,
déterminer un tel x et un tel y.
4. Décrire géométriquement f.
5. Soit g : C → C l’application z 7→ eiρ z̄. Calculer A = Mat(g ◦ f, ε, ε) et décrire
géométriquement g ◦ f.
Exercice 19. Soit f ∈ L(R3 ) telle que f 3 = −f et f 6= 0.
1. Montrer que Ker(f ) ∩ Ker(f 2 + I) = {0}, Ker(f ) 6= {0} et Ker(f 2 + I) 6= {0}.
2. Soit x un élément distinct de 0 de Ker(f 2 + I). Montrer qu’il n’existe pas α ∈ R
tel que f (x) = αx. En déduire que {x, f (x)} est libre.
3. Calculer dim(Ker(f )) et dim(Ker(f 2 + I)).


0 0 0
4. Déterminer une base B de R3 telle que : Mat(f, B) = 0 0 −1 .
0 1 0
−1 2
Exercice 20. Soient A =
et f l’application de M2 (R) dans lui-même M →
7
1 0
AM. Montrer que f est linéaire. Déterminer sa matrice dans la base canonique de
M2 (R).
16
CHAPITRE III. APPLICATIONS LINÉAIRES
(
M2 (R) → M2 (R)
1 1
Exercice 21. Soient A =
et Φ :
. Montrer que Φ est
0 1
M 7→ AM − M A
linéaire, déterminer sa matrice dans la base canonique; calculer ker Φ et ImΦ.
Exercice 22. Soient P = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + y − z = 0} et D = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x −
2y + z = 0, x − y − z = 0}. On désigne par ε la base canonique de R3 .
1. Donner une base {v1 , v2 } de P et {v3 } une base de D. Montrer que R3 = P ⊕ D
puis que ε0 = {v1 , v2 , v3 } est une base de R3 .
2. Soit p la projection de R3 sur P parallélement à D. Déterminer Mat(p, ε0 , ε0 ) puis
A = Mat(p, ε, ε). Vérifier A2 = A.
3. Soit s la symétrie de R3 par rapport à P parallélement à D. Déterminer la matrice
Mat(s, ε0 , ε0 ) puis B = Mat(s, ε, ε). Vérifier B 2 = I, AB = A et BA = A.
Exercice 23. Soient E un espace vectoriel de dimension 3 et ϕ une application linéaire
de E dans E telle que ϕ2 = 0 et ϕ 6= 0. Posons r = rg(ϕ).
1. Montrer que Im (ϕ) ⊂ Ker (ϕ). Déduiser-en que r 6 3 − r. Calculer r.
2. Soit e1 ∈ E tel que ϕ(e1 ) 6= 0. Posons e2 = ϕ(e1 ). Montrer qu’il existe e3 ∈
Ker (ϕ) tel que la famille {e2 , e3 } soit libre. Montrer que {e1 , e2 , e3 } est une base
de E.
3. Déterminer la matrice de ϕ dans la base {e1 , e2 , e3 }.
Exercice 24. Soit f l’application de Rn [X] dans R[X], définie en posant, pour tout
P (X) ∈ Rn [X] : f (P (X)) = P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X).
1. Montrer que f est linéaire et que son image est incluse dans Rn [X].
2. Dans le cas où n = 3, donner la matrice de f dans la base 1, X, X 2 , X 3 . Déterminer ensuite, pour une valeur de n quelconque, la matrice de f dans la base
1, X, . . . , X n .
3. Déterminer le noyau et l’image de f . Calculer leurs dimensions respectives.
4. Soit Q un élément de l’image de f . Montrer (en utilisant en particulier les résultats
de la deuxième question) qu’il existe un unique P ∈ Rn [X] tel que : f (P ) = Q et
P (0) = P 0 (0) = 0.
Exercice 25. Soit (e1 , e2 , e3 ) une base de l’espace E à trois dimensions sur un corps
K. IdE désigne l’application identique de E. On considère l’application linéaire f de
E dans E telle que :
f (e1 ) = 2e2 + 3e3 ,
f (e2 ) = 2e1 − 5e2 − 8e3 ,
f (e3 ) = −e1 + 4e2 + 6e3 .
1. Etudier le sous-espace ker(f − IdE ) : dimension, base.
2. Etudier le sous-espace ker(f 2 + IdE ) : dimension, base.
3. Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de E. Quelle
est la matrice de f dans cette nouvelle base ? et celle de f 2 ?
3. MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE
17
Exercice 26. Soit trois vecteurs e1 , e2 , e3 formant une base de R3 . On note T la
transformation linéaire définie par T (e1 ) = T (e3 ) = e3 , T (e2 ) = −e1 + e2 + e3 .
1. Déterminer le noyau de cette application. Ecrire la matrice A de T dans la base
(e1 , e2 , e3 ).
2. On pose f1 = e1 − e3 , f2 = e1 − e2 , f3 = −e1 + e2 + e3 . Calculer e1 , e2 , e3 en
fonction de f1 , f2 , f3 . Les vecteurs f1 , f2 , f3 forment-ils une base de R3 é
3. Calculer T (f1 ), T (f2 ), T (f3 ) en fonction de f1 , f2 , f3 . Ecrire la matrice B de T
dans la base (f1 , f2 , f3 ) et trouver la nature de l’application T .


1
1 −1
4. On pose P =  0 −1 1 . Vérifier que P est inversible et calculer P −1 .
−1 0
1
Quelle relation lie A, B, P et P −1 ?
2
2
2
3
Exercice 27. Soit f l’endomorphisme de R de matrice
dans la base
− 52 − 23
canonique. Soient e1 = (−2, 3) et e2 = (−2, 5).
1. Montrer que (e1 , e2 ) est une base de R2 et déterminer mat(f, e).
2. Calculer An pour n ∈ N.
3. Déterminer l’ensemble des suites réelles qui vérifient ∀n ∈ N


xn+1 = 2xn + 2 yn ,
3
5
2

yn+1 = − xn − yn .
2
3