LoB - Institut des Actuaires

CORRÉLATIONS ET AGRÉGATION DES
RISQUES NON-VIE :
ASPECTS THÉORIQUES ET RÉALITÉ
OPÉRATIONNELLE
CONGRÈS DES ACTUAIRES, JUIN 2014
YANNICK APPERT-RAULLIN, PACIFICA
PHILIPPE TANN, GIE AXA, GROUP RISK MANAGEMENT
LAURENT DEVINEAU, MILLIMAN
1
Sommaire
• Analyse théorique de l’agrégation FS
• Problématiques et méthodologies
• Le pilotage des effets de diversification
Agrégation FS des risques prime / réserves
Rappel de la méthodologie (1/2)
•
Objectif : l’analyse du processus d’agrégation des risques prime / réserves de la
Formule Standard (FS) permet d’identifier les facteurs de risque sous-jacents au
calcul du SCR et de caractériser le type de corrélations considérées
• Il est également intéressant de rapprocher ces travaux d’analyse des techniques mises en œuvre
par le Régulateur pour calibrer les paramètres de corrélation
•
Ci-dessous un diagramme de synthèse du calcul du SCR prime / réserves de la
FS :
• Etape 0 : calcul de mesures de volume pour chaque risque et chaque Lob -> Vprem,lob (volume de
primes par Lob) and Vres,lob (volume de réserves par Lob)
• Etape 1 : calcul d’un coefficient de variation par Lob à partir des paramètres FS :
Coefficients de variation
du risque de réserves
Coefficients de variation du
risque de prime
 lob 
…
 
V prem,lob   2 .  prem,lobV prem,lob. res,lobVres,lob   res,lobVres,lob 
prem,lob
2
2
V prem,lob  Vres,lob
Corrélation entre les facteurs de risque prime et réserves
-  = 50% -
…
Agrégation FS des risques prime / réserves
Rappel de la méthodologie (2/2)
•
Diagramme de synthèse du calcul du SCR prime / réserves de la FS (suite) :
• Etape 2 : agrégation des coefficients de variation entre Lob
Corrélations entre lob

1


 Vlob 
 lob

2

 CorrLob
lobr ,lobc
  lobr   lobc Vlobr Vlobc
lobr ,lobc
V
• Etape 3 : calcul du SCR via la relation SCR  3 .
•
lob
lob
Ce calcul découle d’une hypothèse de loi log-normale du facteur de risque global (i.e somme de la charge
des sinistres futurs avec la charge résiduelle des sinistres en stock divisée par la mesure de volume globale)
•
L’espérance (resp. le coefficient de variation) du facteur de risque global est supposée égale à 100% (resp. à la
valeur calculée en étape 2)
SCR   ( ) * Vlob
with  ( ) 

exp N 99,5%  ln  ²  1
lob
 ² 1
Calculé en étape 2
•
Par simplification, l’approximation suivante est faite :
 ( )  3
 1
Hypothèse log-normalité du
facteur de risque global
Agrégation FS des risques prime / réserves
Facteurs de risque et corrélations (1/2)
•
L’analyse du processus d’agrégation de la FS permet de mettre en évidence les
variables aléatoires sous-jacentes au calcul du SCR prime / réserves :
L
1
prem
Loss ratio global


Llob
.V prem,lob  Lres

lob .V res ,lob 
sous-jacent au




V

V
V

V
 ( prem,lob) (res,lob)  ( prem,lob) ( res,lob) lob
calcul du SCR
lob
lob
Ratio des BE de réserves par lob
Loss ratio par lob
Par cohérence avec le cadre Solvabilité 2 (vision économique et horizon 1
an) -> cet élément doit correspondre à la somme des paiements
incrémentaux de l‘année avec le BE des réserves dans 1 an divisée par le
BE des réserves en t=0 : (BEres(1)+P(1)) / BEres(0)
Par cohérence avec le cadre Solvabilité 2 (vision
économique et horizon 1 an) -> cet élément doit
correspondre à un loss ratio BE vu en fin de première
année de survenance
•
Les coefficients de corrélation considérés dans l’agrégation FS sont homogènes
à des corrélations linéaires des variables introduites ci-dessus :
Corrélation des risques prime / réserves = 50 %

prem
L   Llob
.V prem,lob  Lres
lob .V res ,lob

lob
Pour une Lob fixée -> cette corrélation est
homogène à une corrélation linéaire entre les
variables « loss ratio » et « ratio de BE »
Corrélations entre lob
L   Llob.Vlob
L
lob
Les paramètres de corrélation sont
homogènes à des corrélations linéaires
entre les couples (Llob(r), Llob(c) )r,c
Agrégation FS des risques prime / réserves
Facteurs de risque et corrélations (2/2)
•
Remarque : une agrégation prime / réserves au sein d’un modèle interne partiel (MIP) peut
être conceptuellement différente
•
Exemple -> cas d’un MIP reposant sur :
• Une approche simulatoire des sinistres futurs (risque de prime) afin d’appliquer de manière adéquate la
réassurance non-proportionnelle
• Une formule fermée de type Wuthrich pour l’estimation de la MSEP (Mean Square Error of Predication) à 1 an
des sinistres en stock (risque de réserves)
Modélisation du risque de réserves
Modélisation du risque de prime
Bilan éco. en t=0
NAV(0)
A(0)
Development year j
Bilan éco. en t=1
Simulation des sinistres
futurs
Accident year i
0
1
…
I-1
I
NAV(1)
A(1)
BE(1)
BE(0)
t=0
t=1
t=0
SCR premium  NAV 0  q0.5% NAV 1
•
0
…
1
I-1
I
Accident year i
0
1
…
I-1
I
DI
0
Development year j
I-1
1
…
I
ˆ R( I  1)  BE  ( P  BE )
CD
I
I 1
I 1
DI+1
t=1
MSEP calculée par formule
fermée de type Wuthrich +
hypothèse de distribution
SCRreserve  q0.5% CDRI  1
Point d’attention : le paramètre permettant d’agréger des SCRpremium et SCRreserve est conceptuellement différent de la
corrélation utilisée pour agréger des coefficients de variation

prem
L   Llob
.V prem,lob  Lres
lob .V res ,lob

lob
Corrélation entre loss ratios et ratio de BE
L   Llob.Vlob
lob
≠
2
2
SCR  SCR premium
 SCRreserve
 2  SCR
Conceptuellement différent
premium , SCRreserve
.SCR premiumSCRreserve
Corrélation entre SCR
Agrégation FS des risques prime / réserves
Travaux de calibrage des corrélations effectués par le régulateur (1/2)
•
Les corrélations FS du risque de souscription non-vie sont évoquées dans différents
documents produits par l’EIOPA :
•
Final Advice – Article 111(d) Correlations (former Consultation Paper 74) – January 2010
•
Ce papier détaille les choix des paramètres de corrélation pour différents risques …
… et certaines problématiques concernant l’agrégation des SCR à partir des paramètres de
corrélations : par exemple, si deux risques sont non corrélés le paramètre permettant d’agréger les SCR
respectifs peut être différent de 0.
•
S’agissant des risques prime / réserves, le régulateur indique que le choix de
corrélations linéaires est cohérent avec l’approche d’agrégation FS basée sur un calcul de
coefficient de variation consolidé
•
•
CP 74 - 3.94 : […] we note that these correlations, in contrast to all other correlations considered in this
paper, are intended to directly aggregate standard deviations instead of capital requirements. Therefore,
in this case the correlation parameters should be set as linear correlation coefficients.
Consultation Paper 71 – Calibration of non-life underwriting risk – November 2009
•
Ce document décrit uniquement les travaux de calibrage des coefficients de variation (dénommés
« standard déviations » dans les textes réglementaires) prime / réserves
•
L’estimation des corrélations n’est pas traitée dans ce document. Une référence est fait au « QIS3 calibration
paper » publié en 2007
•
CP 71 - 3.356 : CEIOPS considers the calibration presented in QIS 3 to be appropriate. […]
•
CP 71 - 3.357 : For the correlation factor between premium and reserve risk the QIS4 factor of 50% should be kept.
Agrégation FS des risques prime / réserves
Travaux de calibrage des corrélations effectués par le régulateur (2/2)
•
Documents produits par l’EIOPA (suite) :
•
QIS3 Calibration of the underwriting risk, market risk and MCR – April 2007
•
Dans ce document le régulateur traîte du type de corrélations à considérer insistant sur le fait que les corrélations
linéaires sont en général inadéquates pour refléter la dépendances des extrêmes
•
QIS 3 – calibration of the underwritting risk – 1. 84 […] when selecting correlation coefficients, allowance should be
made for non-linear tail correlation, which is not captured under a “pure” linear correlation approach.
•
Remarque : le calibrage des corrélations FS prime / réserves est uniquement détaillé dans
le document « QIS3 calibration paper » publié en 2007
•
Ci-dessous les principaux points concernant les travaux de calibrage :
•
•
Données utilisées : historique de loss ratios de compagnies allemandes sur la période 1988-2002
Hypothèses formulées par le régulateur :
•
•
•
•
La corrélation entre (prem,lob1) et (prem,lob2) est la même que celle entre (res,lob1) et (res,lob2)
Pour chaque Lob -> la corrélation entre les risques de prime et de réserves est fixée à 50%
La corrélation entre (prem,lob1) et (res,lob2) correspond à 50% de la corrélation entre (prem,lob1) et (prem,lob2)
Conclusion : la matrice de corrélation FS du risque de souscription non-vie repose
uniquement sur des travaux d’estimation menés sur historiques de loss ratios
•
Ces loss ratios sont d’ailleurs très probablement vus à l’ultime
Sommaire
• Analyse théorique de l’agrégation FS
• Problématiques et méthodologies
• Le pilotage des effets de diversification
Retour d’expérience
Modèle interne versus formule standard
• Le Groupe AXA a mis en place un modèle interne pour la quantification des principaux
risques auxquels il est exposé afin de mieux prendre en compte son profil de risque et
des effets de diversification.
• Le cadre de modélisation de la dépendance linéaire entre risques proposé par la
formule standard présente des limites que le modèle interne cherche à y remédier:
• problème de la dépendance non-linéaire des évènements extrêmes: par exemple,
la dépendance entre lignes d’affaires pour les risques premium réserves
• difficulté dans l’interprétation des valeurs de la matrice de corrélation entre lignes
d’affaires proposée par la formule standard et nécessité de s’assurer que
l’exigence en capital réglementaire n’est pas sous-estimée avec cette matrice
• scénarios des catastrophes naturelles définis dans la formule standard peu
adaptés pour un assureur disposant un grand nombre d’entités internationales
Risques et opportunités
•
Opportunités du modèle interne:
•
•
•
•
•
possibilité d’implémenter une approche empirique des risques grâce aux données internes
disponibles
amélioration des connaissances des risques liées au comportement des assurés (i.e.
behavioural risk)
pilotage de la compagnie en tenant compte de son profil de risques
contribution à la recherche actuarielle
Limites:
•
•
•
•
•
•
coût important dans l’implémentation et la maintenance du modèle
risque de concentration d’expertise technique
complexification du modèle au détriment de l’analyse des risques
volatilité des résultats obtenus
volumétrie des données limitée
production importante de documentations et de justification du modèle interne pour
l’approbation auprès des régulateurs européens
Un exemple: analyse de la dépendance entre les lignes
d’affaires pour les risques non-vie et non-CAT
• La diversification entre lignes d’affaires pour les risques non-vie et non-CAT
représente une part important des effets de diversification totaux dont pourrait
bénéficier le groupe AXA.
• Dans le cadre de la formule standard, une matrice de corrélation standard entre les
lignes d’affaires est proposée pour l’agrégation des SCRs.
• Problème: Difficulté d’interprétation de la matrice QIS, qui n’est pas parfaitement
adaptée à la segmentation interne du portefeuille d’AXA
• Développement d’une méthode permettant de modéliser la dépendance entre
lignes d’affaires à partir d’une analyse des risques inhérents aux différents
portefeuilles d’AXA
• Développement d’un modèle fournissant une estimation de la corrélation implicite
à 1 an entre 2 lignes d’affaires pour le risque de réserve à partir des triangles (cf.
article One-Year Volatility of Reserve Risk in a multivariate framework)
Application numérique du modèle (1/2)
• Principe de modélisation:
• Extension du modèle de Braun développé uniquement pour la vision ultime à
la vision à 1 an en adoptant une approche similaire à celle de Wüthrich pour
généraliser le modèle de Mack à 1 an
• Exemple numérique: corrélation entre les lignes RC Auto et RC Entreprises
pour une entité du groupe AXA
• Conclusion?
Corrélation QIS
50%
Corrélation 2012
59%
Corrélation 2013
36%
Application numérique du modèle (2/2)
•
•
•
Exemple numérique: corrélation entre les lignes RC Auto et RC Entreprises pour une entité
du groupe AXA
Ligne d’affaire
SCR
RC Auto
200
RC Entreprises
100
Impact: Exemple d’une entreprise qui n’a que deux lignes d’affaires
Corrélation
choisie
Valeur
Risque de
réserve
Corrélation QIS
50%
264
Corrélation 2012
59%
271
Corrélation 2013
26%
246
Comment conclure?
Défis du practicien
• Compréhension et diffusion des connaissances sur le modèle
interne en dehors du monde du risk management (souscripteurs,
financiers…)
• Calibrage des matrices de corrélation avec le projet des risk drivers
basé sur l’identification des facteurs de risques par les business lines
• Renforcement du lien entre le modèle interne et le pilotage et
l’allocation du capital
• Accompagnement de l’évolution de la recherche actuarielle
Sommaire
• Analyse théorique de l’agrégation FS
• Problématiques et méthodologies
• Le pilotage des effets de diversification
Un pilotage stratégique adapté à la culture de risques de
l’entreprise
Art. 45 de la Directive Européenne Solvabilité II
• Dans le cadre de son système de gestion des risques, chaque entreprise
d’assurance et de réassurance procède à une évaluation interne des
risques et de la solvabilité.
• L’évaluation interne des risques et de la solvabilité fait partie intégrante de
la stratégie commerciale et il en est tenu systématiquement compte dans
les décisions stratégiques de l’entreprise.
L’ORSA facilite cet exercice d’intégration du risque par le biais de mesures de
performance ajustées du risque au niveau de la tarification, de la création de nouveaux
produits, du processus budgétaire et de l’allocation stratégique du capital.
Limite : l’exigence en capital (en formule standard) est « bottom-up » conduisant à un
capital consolidé relatif à un agrégat de segments. Comment allouer ce capital afin de
déterminer la consommation en capital réelle des différents segments après bénéfices de
diversification ?
Un bénéfice de diversification caractérisé par des matrices
de corrélations linéaires
Aggrégation
inter-modulaire
Les sous-capitaux agrégés issus de l’étape cidessous sont ensuite agrégés entre eux afin
d’obtenir le capital BSCR.
Aggrégation
intra-modulaire
Les capitaux élémentaires d’un même module de
risque sont agrégés, prenant ainsi en compte la
diversification existante au sein d’un même module
de risque.
Le calcul des capitaux élémentaires est réalisé à partir de coefficients de chocs,
puis les capitaux sont agrégés au moyen de coefficients de corrélation linéaires.
L’allocation de l’exigence en capital global Solvabilité II à un sous-niveau
d’aggrégation, peut être définie « mathématiquement » par des approches
théoriques : méthode proportionnelle, méthode marginale, méthode de Shapley,
méthode d’Euler ou méthode d’Aumann-Shapley.
Une analyse de la création de valeur par segment d’activité
(« Line of business ») possible
L’exigence en capital réallouée par « LoB » (« Motor vehicule liability insurance »,
« Other motor insurance », « MAT insurance», « Fire insurance » … cf Spécifications
techniques ) permet d’analyser la création de valeur à cette maille et améliorer le
pilotage de l’entreprise. La création de valeur évoquée peut être vue comme une
mesure de la rentabilité incluant le coût des fonds propres diversifiés.
Les limites discutables :
• L’hypothèse de la mesure de risque (« Value at Risk » sous Solvabilité 2) : il est envisageable de
calculer le capital économique à partir d’autres mesures de risque, tout en satisfaisant le critère de
solvabilité à un an. Quid du « use test »? Quid de l’écart « Capital réglementaire SCR » vs « besoin
global de solvabilité » ?
• L’hypothèse de corrélation linéaire et du paramétrage des coefficients de corrélation linéaire : Est-ce
que ces hypothèses sont le reflet de la dépendance entre les SCR modulaires? Pouvons nous
supposer qu’en raison de la faible probabilité de survenance simultanée de tous les évènements
adverses ces paramètres ont pour simple ambition d’atténuer l’exigence globale de capital ?
• Les Directions Opérationnelles, Techniques, Produits doivent être associées à ces notions et
comprendre l’origine de ce « chargement » qu’est le coût du capital. Les équipes Risques, Modèle,
Solvabilité doivent faire preuve de pédagogie.
Mais PACIFICA ne vend pas de produit « Other Motor
insurance », « MAT insurance »,…
Le pilotage stratégique a besoin d’une vision « multi dimensions » :
•
•
•
•
« LoB » pour le capital réglementaire
Produit pour l’optimisation du développement stratégique
Garantie pour l’optimisation tarifaire
Client ou Famille de client pour l’optimisation du développement
commercial
• Réseau de distribution
• Catégorie ministérielle (pour les nostalgiques)
La statistique a des limites notamment caractérisées par la notion
de groupes homogènes de risque
• Il est nécessaire de mettre en place des « jeux » d’hypothèses en
accord avec les différentes directions de l’entreprise.
Le responsable de la gestion des risques doit trouver le compromis entre
modèle mathématique et stratégie commerciale de l’entreprise