mathématiques financières i

MATHÉMATIQUES
FINANCIÈRES I
Quinzième cours
ACT2025 - Cours 15
Rappel:
• Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une
annuité de début de période pour laquelle la période de
paiement est plus courte que la période de capitalisation de
l’intérêt
ACT2025 - Cours 15
Rappel:
• Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une
annuité de début de période pour laquelle la période de
paiement est plus courte que la période de capitalisation de
l’intérêt
• Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une
annuité continue
ACT2025 - Cours 15
1
Rappel:
• Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une
annuité de début de période pour laquelle la période de
paiement est plus courte que la période de capitalisation de
l’intérêt
• Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une
annuité continue
• Détermination des valeurs actuelle et accumulée d’une
annuité pour laquelle les paiements forment une suite
arithmétique
ACT2025 - Cours 15
Rappel:
Considérons une annuité de début de période consistant en des
paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de
paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons
par n: la durée de l’annuité en période de capitalisation, par i
le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i (m) le taux
nominal d’intérêt équivalent à i.
La valeur actuelle (au début de la première période) de cette
annuité est notée par
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Rappel:
Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux
nominal d’escompte équivalent à d.
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Rappel:
Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière
période) de cette annuité par
Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux
nominal d’escompte équivalent à d.
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Rappel:
Si nous considérons une rente perpétuelle de début de période
consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le
nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de
capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt par période de
capitalisation et par i(m): le taux nominal d’intérêt équivalent à
i.
Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux
nominal d’escompte équivalent à d.
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Rappel:
Considérons une annuité pour laquelle un paiement de dt
dollars est fait au temps t. Ces paiements sont faits
continûment pendant n périodes de capitalisation. Le total des
paiements faits pendant une période de capitalisation est 1. Le
taux d’intérêt par période de capitalisation est le taux effectif
d’intérêt i
Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première
période) de cette annuité par
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Rappel:
Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où δ est le taux instantané d’intérêt équivalent à i.
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Rappel:
Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière
période) de cette annuité par
Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où δ est le taux instantané d’intérêt équivalent à i.
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Rappel:
Considérons une annuité ayant n paiements dont le premier est
de P dollars et les paiements suivants sont obtenus en ajoutant
Q dollars avec chaque paiement. Ces paiements sont faits en
fin de période et nous supposerons que la période de paiement
coïncide avec la période de capitalisation de l’intérêt.
Ainsi le premier paiement est de P dollars, le deuxième est de
(P + Q) dollars, le troisième est de (P + 2Q) dollars, ainsi de
suite jusqu’au dernier au montant de
(P + (n - 1)Q) dollars.
Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous supposerons est
que (P + (n - 1)Q) > 0.
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Rappel:
Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
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Rappel:
La valeur actuelle est alors
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Rappel:
La valeur accumulée à la fin de la ne période (au dernier
paiement) de cette annuité formant une suite arithmétique est
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Exemple 1:
Anastasia a accumulé 300 000$. Elle veut acheter une rente
versant à la fin de chaque mois R dollars pour la première
année et avec chaque année, ce versement mensuel diminue
de R/50 dollars. Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt
i(12) = 6%. Le premier versement a lieu un mois après l’achat
de la rente. La durée de la rente est de 20 ans.
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Exemple 1: (suite)
Les montants mensuels de la k e année sont de
Les paiements de cette annuité ne forment pas une suite
arithmétique. Nous ne pouvons donc pas appliquer
directement la formule vue plus précédemment pour calculer
sa valeur actuelle. Cependant nous pouvons remplacer les 12
paiements d’une année par un paiement annuel équivalent.
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Exemple 1: (suite)
Les douze paiements mensuels de la ke année sont équivalents
à un seul paiement en fin d’année égal à la valeur accumulée
par ces 12 paiements. Ainsi ces douze paiements mensuels
sont équivalents au paiement de
à la fin de la k e année.
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Exemple 1: (suite)
Nous obtenons ainsi une annuité consistant en 20 paiements
faits en fin d’année. Le k e paiement est
Les paiements de cette annuité forment une suite
arithmétique pour laquelle (avec nos notations précédentes)
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Exemple 1: (suite)
Pour poursuivre nos calculs, il nous faut déterminer le taux
effectif d’intérêt i équivalent au taux nominal d’intérêt i (12) =
6%, parce que cette nouvelle annuité a des paiements annuels.
Ce taux équivalent i est i = 6.167781182%.
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Exemple 1: (suite)
L’équation de valeur à t = 0 est
Nous obtenons que R = 2531.92$.
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Pour certaines annuités dont les paiements forment une
suite arithmétique, il existe des notations particulières.
Nous traiterons deux cas:
• Annuité croissante
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Pour certaines annuités dont les paiements forment une
suite arithmétique, il existe des notations particulières.
Nous traiterons deux cas:
• Annuité croissante
• Annuité décroissante
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Annuité croissante:
Il s’agit d’une annuité de fin de période ayant n paiements,
dont le premier est de 1$ et pour laquelle les paiements
subséquents sont obtenus en additionnant 1$ avec chaque
paiement.
Il s’agit d’une annuité dont les paiements forment une
suite arithmétique avec P = 1 et Q = 1 (selon nos notations
précédentes)
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Annuité croissante: (suite)
La valeur actuelle de cette annuité au début de la première
période de paiement est notée par
La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière
période de paiement est notée par
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Annuité croissante: (suite)
Nous obtenons en posant P = 1 et Q = 1 dans nos formules
précédentes que
et
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Annuité décroissante:
Il s’agit d’une annuité de fin de période ayant n paiements,
dont le premier est de n dollars et pour laquelle les
paiements subséquents sont obtenus en soustrayant 1$
avec chaque paiement.
Il s’agit d’une annuité dont les paiements forment une
suite arithmétique avec P = n et Q = -1 (selon nos
notations précédentes)
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Annuité décroissante: (suite)
La valeur actuelle de cette annuité au début de la première
période de paiement est notée par
La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière
période de paiement est notée par
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Annuité décroissante: (suite)
Nous obtenons en posant P = n et Q = -1 dans nos
formules précédentes que
et
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Exemple 2:
Barnabé a emprunté 20 000$. Le taux d’intérêt du prêt est le
taux effectif i = 7% par année. Il rembourse ce prêt en faisant
12 paiements à la fin de chaque année. Le premier paiement
est de R dollars fait un an après le prêt. Le deuxième est de
2R dollars, le troisième est de 3R dollars et ainsi de suite
jusqu’au sixième paiement inclusivement, chaque paiement
subséquent augmentant de R dollars. Le septième paiement
est de 6R dollars, le huitième paiement est de 5R dollars, et
ainsi de suite jusqu’au douzième paiement inclusivement,
chaque paiement subséquent diminuant de R dollars. Le
douzième paiement est de R dollars. Déterminons R.
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Exemple 2: (suite)
Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
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Exemple 2: (suite)
L’équation de valeur à t = 0 est
c’est-à-dire
Donc R = 727.63 $.
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Nous allons maintenant considérer des
annuités pour lesquels les paiements sont
en progression géométrique
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Annuité en progression géométrique:
Considérons une annuité de fin de période ayant n
paiements, dont le premier est de 1$ et pour laquelle les
paiements forment une progression géométrique de raison
(1 + k), où k > -1, c’est-à-dire les paiements sont obtenus
en multipliant successivement le paiement précédent par
(1 + k) .
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Annuité en progression géométrique: (suite)
Ainsi le premier paiement est de 1 dollar, le second est de
(1 + k) dollars, le troisième est de (1 + k) 2 dollars et ainsi
de suite. Le m e paiement est de (1 + k) (m - 1) dollars. Le
dernier paiement est de (1 + k) (n - 1).
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Annuité en progression géométrique: (suite)
Dans ce qui suivra, nous noterons par i: le taux d’intérêt
par période de paiement, par L: la valeur actuelle de cette
annuité au début de la première période et par X: la valeur
accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période.
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Annuité en progression géométrique: (suite)
Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
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Annuité en progression géométrique: (suite)
Nous obtenons algébriquement que la valeur actuelle L est
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Annuité en progression géométrique: (suite)
Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
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Annuité en progression géométrique: (suite)
Nous obtenons algébriquement que la valeur accumulée X
est
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