Mathématiques préparation à la Terminale S

Transcription

Mathématiques
préparation
à la Terminale S
Le programme de Terminale S est chargé et est la continuité de celui de 1ère S.
Les nouvelles notions sont nombreuses et le rythme de progression est rapide.
rapide
Les bases de 1ère S ne seront donc que très rapidement reprises au fil des chapitres.
C’est pourquoi il est impératif d’être prêt le jour de la rentrée.
rentrée
Pour faciliter le travail personnel de révisions en fin de vacances, ce fichier contient
des résultats de cours à compléter et à connaître et des exercices d’application.
d’application
Une semaine avant la rentrée, une correction succincte des exercices sera mise en
ligne sur l’ENT.
Mathématiques – préparation à la Terminale S – page 1/15
Lycée Bellevue - Toulouse
Notations
∀ signifie « pour tout »
∈ : « appartient à » , symbole utilisé entre un élément et un ensemble
⊂ : ……………………………… , symbole utilisé entre deux ensembles
Ensembles de nombres
∅ est l’ensemble vide
ℕ est l’ensemble des nombres ……………………………………………………………
ℤ est l’ensemble des nombres ……………………………………………………………
ℝ est l’ensemble des nombres ……………………………………………………………
ℝ∗ est l’ensemble des nombres …………………………………………………………
ℝ4 est l’ensemble des nombres …………………………………………………………
ℝ5∗ est l’ensemble des nombres ………………………………………………………
∩ : ………………………………
∪ : ………………………………
QCM
( plusieurs réponses possibles )
1°) ℕ ∩ 6−2; 2: = …
<2=
<1 ; 2=
>0 ; 1 ; 2@
60; 2:
2°) −3B ∈ …
ℕ
ℤ
4°) Si E ∈ ℝ4 alors
E ∈ℕ
E ∈ℝ
6°) H ∈ ℕ∗ signifie
H entier positif
H entier et H ≥ 1
3°) C−3DB ∈ …
ℕ
ℤ
5°) Si E ∈ ℝ4 , alors
E ≥0
E >0
7°) Si E ∈ ℝ5∗, alors
E <0
E ≤ −1
Fractions (écrire sous la forme d’une seule fraction )
Pour tous réels K, L, M et N non-nuls
K M
K
+ =⋯
+M =⋯
L N
L
K M
× =⋯
L N
K M
: =⋯
L N
K
×M =⋯
L
8°) ℝ5 ∩ ℝ4 = …
∅
ℝ
<0=
9°) ℕ ⊂ …
ℤ
ℝ4∗
K
L =⋯
M
N
K
L =⋯
M
K
=⋯
L
M
1
K =⋯
L
K
:M = ⋯
L
Calculer sans calculatrice (puis vérifier à la calculatrice)
1 1
2 6
1
S=1+ +
T = 3U − Y
1
2 3
5 7
Z=2−
3 2
3
Puissances
Pour tous réels K et L non-nuls. Pour tous entiers naturels H et \.
K] = ...
K5_ = ⋯
K^ = ...
K_ × K` = …
[=
K_
=⋯
K`
CK_ D`
1
1+6
1+
1
5
CK × LD_ = …
K _
a b =⋯
L
=…
Vrai / Faux (sans calculatrice, cocher les égalités vraies)
55B = 0,05
C5c D5d = 55B^
5c + 55d = 55e
2 × 105B + 3 × 105c = 0,023
5c + 55d = 105e
5c × 55d = 55e
5c × 55d = 55B^
C5c D5d = 55e
5c
= 5^]
55d
5c
5d = 55e
5
5 +2 =7
c
c
5c × 2c = 10c
5c
5 c
c=U Y
2
2
C3 × 4DB = 3B × 4B
C3 + 4DB = 3B + 4B
c
1
= −3e
3e
Valeur absolue
… si E …
|E| = h
… si E …
Ecrire sans la valeur absolue (puis vérifier à la calculatrice)
S = |−7|
;
T = |j − 1| ;
Z = k1 − √2k
Compléter
|E| = 5 ⇔ E ∈ … … … … …
|E − 0,1| = 5 ⇔ E ∈ … … … … …
|E| < 5 ⇔ E ∈ … … … … …
Formes d’une expression algébrique
Les identités remarquables
ne pas confondre
ne pas confondre
CK + LDB = …
K × CL + MD = …
E×E×E =…
CK − LDCK + LD = …
K × CL × MD = …
K × CL − MD = …
CK − LDB = …
Racines carrées
Pour tous K et L positifs
√K × L = …
K
si L ≠ 0, o = …
L
E+E+E =…
ne pas confondre
∀E ∈…
∀E ∈…
Donner la valeur exacte sans la racine carrée
S = rC−7DB = … . … … … …
T = rC5 − jDB = … . … … … …
B
on a p√Eq = …
on a √E B = …
Z = rC6 − 2jDB = … . … … … …
Ecrire sans la racine carrée au dénominateur puis simplifier (sans utiliser la calculatrice)
1
6 − √2
1 + 3√2
3√2 − 4
S=
T=
Z=
[=
√2
3√2 + 4
3√2
1 − √2
QCM pour tout K réel positif
B
B
1°) p√K + 1q − p√K − 1q = ⋯
4√K
K
2
2°) p1 − 4√Kqp1 + 2√Kq = ⋯
1 − 8√K
1 − 10√K
1 − 2√K − 8K
3°) √3B + 4B + 5B = ⋯
12
5√2
2√5
Equations
⇔ signifie « est équivalent à »
SCED × TCED = 0
⇔ SCED = 0 … TCED = 0
SCED × TCED ≠ 0
⇔ SCED ≠ 0 … TCED ≠ 0
SCED
=0
TCED
⇔ SCED … 0 … TCED … 0
Pour tout réel K
Si K < 0 alors l’équation E B = K n’admet pas de
solution dans ℝ
Si K = 0 alors l’équation E B = K admet une solution
dans ℝ qui est E = …
Si K > 0 alors l’équation E B = K admet deux solutions
dans ℝ qui sont E = … et E = …
Résoudre dans ℝ les équations suivantes
1°)
2°)
3°)
5C2E − 3D = CE − 1DC2E − 3D
4E B − 1 + EC2E + 1D = 0
E B − 6E + 9 − 2CE − 3D = 0
Factoriser numérateur et dénominateur, puis résoudre dans ℝ l’équation suivante
EC3E − 1D − EC2E + 3D
=0
16 − E B
Signe d’une expression
QCM ( une seule bonne réponse )
1°) Le produit de deux facteurs négatifs est
négatif
positif
ça dépend des facteurs
4°) La somme de deux termes négatifs est
négative
positive
ça dépend des termes
2°) Le produit de deux facteurs positifs est
négatif
positif
5°) La somme de deux termes positifs est
négative
positive
3°) Le produit de deux facteurs de signes
contraires est
négatif
positif
6°) La somme de deux termes de signes contraires
est
négative
positive
Pour tous K et L réels avec K ≠ 0 , l’expression uv + w s’annule pour E = …
E
…
−∞
Signe de KE + L
…
+∞
0
…
Pour tous K, L et M réels avec K ≠ 0 , l’expression uvx + wv + y est appelé trinôme (polynôme) du 2nd degré
Son discriminant ∆ = ……………………
•
Si ……………. alors KE B + LE + M n’admet aucune racine et n’est pas factorisable
•
Si ……………. alors KE B + LE + M admet une seule racine (double) et est factorisable
•
Si ……………. alors KE B + LE + M admet deux racines distinctes et est factorisable
E] = …
KE B + LE + M = …
E^ = …
Si Δ ……
EB = …
E
Signe de KE B + LE + M
Si Δ ……
E
Signe de KE + LE + M
Si Δ ……
E
B
Signe de KE + LE + M
B
KE B + LE + M = …
+∞
−∞
…
…
−∞
…
+∞
0
…
…
−∞
…
0
…
…
0
+∞
…
Ecrire sous la forme d’un quotient, puis factoriser éventuellement numérateur et/ou dénominateur,
puis étudier le signe du quotient
4
E+1 E−2
∀ E ∈ ℝ − <−1= ,
{CED =
−9
−
∀ E ∈ ℝ − <−2 ; 1= ,
|CED =
B
CE + 1D
E+2 E−1
Résoudre dans ℝ l’ inéquation suivante
−3ECE B − 5E − 6DpE B − 2√3E + 3q ≥ 0
Fonctions de référence
Représentations graphiques
La fonction carré est représentée par la courbe …………
La fonction inverse est représentée par la courbe …………
La fonction cube est représentée par la courbe …………
La fonction racine carrée est représentée par la courbe …………
Sens de variation
Pour tous réels Ket L
Si
0JKIL
alors
KILJ0
Si
KIL
Si
0JKIL
Si
alors
alors
alors
Si
0IKIL
alors
Si
KILI0
alors
KB … L B
car la fonction carré est str. …………………………… sur ……
KB … L B
c
K … L
car la fonction carré est str. …………………………… sur ……
c
car la fonction cube est str. …………………………… sur ……
√K … √L
^
}
^
}
…
…
car la fonction racine carrée est str. …………………………… sur ……
^
~
^
~
car la fonction inverse est str. …………………………… sur ……
car la fonction inverse est str. …………………………… sur ……
Utilisation du sens de variation des fonctions de référence
2°) 1 7 2CK 7 3Dc et 1 7 2CL 7 3Dc
En procédant par étapes successives, comparer
°D
73
73
et
pourK I L I 4
K74
L74
3°) C6 7 3KDB et C6 7 3LDB
pour
4°) 72√K O 5 et 72√L O 5
pour K I L
2JKIL
75 J K I L
pour
Dérivation
{C… … … D 7 {C… D
admetunelimitefiniequandtendvers0
…
Alors la fonction { est dérivable en K et le nombre dérivé de la fonction { en K est le réel { CKD tel que
{C… … … D 7 {C… D
{′CKD ; lim
→]
…
Graphiquement, {’CKD est le ………………………………………….. de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a
Siletauxd accroissement
La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation : ……………………………………………………
Remarque : le point de la courbe de { d’abscisse K a pour coordonnées ( ……… ; ……… )
Lecture graphique
Soit { la fonction définie et dérivable sur 674; 6: dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
Les droites , x , et sont les tangentes à Z aux points , , et .
Par lecture graphique, donner les équations réduites des droites ^ , B , c et e ainsi que les valeurs de
{C73D , {′C73D , {C0D , {′C0D , {C2D , {′C2D , {C4D et {′C4D.
y
4
Cf
3 B
T1
T4
2
T2
D
1
-4
A
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
C
T3
Fonctions de référence
Fonction {
Fonction dérivée {
{ est définie sur
{ est dérivable sur
…
…
{ CED ; …
{CED ; E
…
…
{ CED ; …
{CED ; E B
…
…
{ CED ; …
{CED ; E c
…
…
{ CED ; …
{CED ; E e
…
…
{ CED ; …
{CED ; E _ avec H ∈ 0∗
…
…
{ CED ; …
{CED ;
…
…
{ CED ; …
…
…
{ CED ; …
{CED ; avec ∈ 2
1
E
{CED ; √E
Opérations
Pour tous et deux fonctions dérivables sur un intervalle et un réel
C O D ; …
CD ; …
CD
CB
;…
Si ne s’annule pas sur
1
U Y ; …

D ; …
Si ne s’annule pas sur

a b ; …

Utilisation de la dérivée
Soit { une fonction dérivable sur un intervalle .
La fonction { est croissante sur ⇔ pour tout réel E de , on a { CED………
La fonction { est décroissante sur ⇔ pour tout réel E de , on a { CED………
Pour chacune des fonctions suivantes :
1. Donner son ensemble de définition et son ensemble de dérivabilité ( ens. de déf. de la dérivée ′ )
2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de f et de l’axe des abscisses
3. Déterminer ′CvD et étudier son signe
4. Dresser le tableau de variations de la fonction sur son ensemble de définition
{CED ; 3E B 7 2E O 5
{CED ; E c 7 6E B O 9E
1
{CED ; E O
E
{CED ; C2 7 ED√E
{CED ;
{CED ;
2E 7 1
E73
{CED ;
E B 7 3E
EO1
3E B
1
7 2E O 5
Fonction inconnue
Soit f une fonction définie et dérivable sur 2.
Soit Z sa représentation graphique.
Soit {’ la fonction dérivée de { et Z sa représentation graphique.
Z passe par les points SC0; 74D et TC1; 0D.
Z passe par les points ZC0; 3D et [C1; 4D.
Déterminer les réels K, L, M et N tels que
{CED ; KE c O LE B O ME O N
Position relative de courbes
Pour étudier la position relative des courbes Z et Z de deux fonctions { et | définies sur un intervalle ,
on calcule pour tout réel E de , la différence {CED 7 |CED puis on étudie son signe.
Z est au-dessus de Z sur
⇔
Z est au-dessous de Z sur ⇔
∀E ∈ , {CED G |CED
EB
∀E ∈ , {CED 7 |CED G 0
⇔
………………………………
Etude de fonction
Soit{lafonctiondéfiniepar{CED ;
⇔
………………………………………
E73
OEO4
Soit Z la courbe représentative de la fonction { dans un repère donné.
1. Justifier que la fonction { est définie sur 2.
2. Etudier la position relative de Z par rapport à l’axe des abscisses.
3. Calculer {’CED et étudier son signe sur 2.
4. Dresser le tableau de variations de la fonction .
5. Donner les coordonnées des points en lesquels Z admet une tangente horizontale.
6. Déterminer l’équation réduite de la tangente à Z au point d’abscisse −5.
7. Etudier la position relative de Z par rapport à la droite .
8. Dans un repère orthogonal, avec en abscisses 1cm pour 1 unité et en ordonnées 10 cm pour 1 unité,
tracer la droite , les tangentes horizontales à Z déterminées à la question 5. puis tracer l’allure de
la courbe Z .
9. Montrer que la fonction { admet un minimum et un maximum sur ℝ.
Trigonométrie
∀ E ∈ 2, … J cos E J … ; … J sin E J … ; Ccos EDB O Csin EDB ; … ; pour cos E n 0 , tan E ; …
cosCE O 2jD ; …
sinCE O 2jD ; …
Valeurs remarquables
cosC0D ; …
sinC0D ; …
j
cos a b ; …
6
j
sin a b ; …
6
j
cos a b ; …
4
j
sin a b ; …
4
cosC7ED ; …
sinC7ED ; …
cosCE O jD ; …
sinCE O jD ; …
cosCj 7 ED ; …
sinCj 7 ED ; …
j
cos a b ; …
3
j
sin a b ; …
3
j
cos a b ; …
2
j
sin a b ; …
2
cosCjD ; …
sinCjD ; …
Pour tous les réels K et L,
cosCK O LD ; …………………………………………………………
sinCK O LD ; …………………………………………………………
cosCK 7 LD ; …………………………………………………………
sinCK 7 LD ; …………………………………………………………
cosC2KD ; …………………
; …………………
; …………………
sinC2KD ; …………………
cos K ; cos L ⇔ K ; ……………………………………… ou K ; ……………………………………… avec ∈ …………
sin K ; sin L ⇔ K ; ……………………………………… ou K ; ……………………………………… avec ∈ …………
Suites
définitions
La suite C_ D est croissante
La suite C_ D est strictement décroissante
La suite C_ D est constante
⇔
⇔
⇔
∀ H ∈ ℕ, _4^ − _ ……
∀ H ∈ ℕ, _4^ − _ ……
∀ H ∈ ℕ, _4^ − _ ……
La suite C_ D est monotone lorsqu’elle est soit ………………………… soit …………………………
La suite C_ D n’est pas monotone lorsqu’elle n’est ni ………………………… ni …………………………
Une suite C_ D est arithmétique ⇔ ] est donné et ∀ H ∈ ℕ, _4^ = ……………… avec une constante
Une suite C_ D est géométrique ⇔ ] est donné et ∀ H ∈ ℕ, _4^ = ……………… avec une constante
expression du terme général
C_ D est arithmétique de 1er terme ] et de raison ⇔ ∀ H ∈ ℕ, _ = ………………………
C_ D est géométrique de 1er terme ] et de raison ⇔ ∀ H ∈ ℕ, _ = ………………………
Somme de termes consécutifs
Si C_ D est arithmétique de 1er terme ] et de raison alors
∀ H ∈ ℕ, ] + ^ + B + ⋯ + _ = ………………………
Si C_ D est géométrique de 1er terme ] et de raison n 1 alors
∀ H ∈ ℕ, ] + ^ + B + ⋯ + _ = ………………………
Cas généraux
Pour une suite ………………………………………
1 terme + dernier terme
Somme de termes consécutifs = Cnombre de termesD ×
2
Pour une suite ……………………………………… de raison n 1
1 − ¡ ¢£
Somme de termes consécutifs = 1 terme ×
1−
Cas particuliers
∀ H ∈ ℕ, 1 + 2 + 3 + ⋯ + H = ………………………
avec n 1, ∀ H ∈ ℕ, 1 + + B + ⋯ + _ = ………………………
Exercice 1
3 × 2_ − 4H + 3
3 × 2_ + 4H − 3
et ¤_ =
∀ H ∈ ℕ,
_ =
2
2
C
D
C¤
D
1. Montrer que la suite _ n’est pas monotone et que la suite _ est croissante.
Soit C_ D et C¤_ D les suites telles que ∶
2. Soit C¦_ D et C_ D les suites telles que : ∀ H ∈ ℕ, ¦_ = _ + ¤_ et _ ; _ 7 ¤_
Montrer que la suite C¦_ D est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
Montrer que la suite C_ D est arithmétique. Préciser son premier terme et sa raison.
3. Soit CS_ D et CT_ D les suites telles que : ∀ H ∈ ℕ, S_ = ¦] + ¦^ + ⋯ + ¦_ et T_ ; ] O ^ O ⋯ O _
Exprimer S_ et T_ en fonction de H.
Exercice 2
Soit C_ D et C¤_ D les suites telles que ∶ ] = 1 , ¤] = 2 et ∀ H ∈ ℕ, _4^ =
_ + 2¤_
_ + 4¤_
et ¤_4^ =
3
5
Soit C¦_ D et C_ D les suites telles que : ∀ H ∈ ℕ, ¦_ = ¤_ − _ et _ ; 3_ + 10¤_
1. Montrer que la suite C¦_ D est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
2. Montrer que la suite C_ D est constante et préciser cette constante.
Exercice 3
1
3
Soit C_ D la suite telle que ∶ ] = 10 et ∀ H ∈ ℕ, _4^ = _ +
2
2
Partie A
^
B
1. Dans un repère orthonormé d’unité le centimètre, tracer les droites d’équations § ; E et § ; E O
puis construire les termes de la suite jusqu’à e sur l’axe des abscisses.
c
B
2. Emettre une conjecture sur le sens de variation et la convergence de la suite C_ D.
3. Calculer à la main ^ , B , c et e puis vérifier à la calculatrice.
Partie B
Soit C¤_ D la suite telle que : ∀ H ∈ ℕ, ¤_ = _ − 3
1. Montrer que la suite C¤_ D est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
2. En déduire ¤_ en fonction de H puis _ en fonction de H.
3. Donner le sens de variation de la suite C¤_ D et en déduire celui de la suite C_ D.
4. Compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il détermine le rang à partir duquel _ I 3,0001 et utiliser
le tableau de la calculatrice pour déterminer la valeur affichée par cet algorithme.
Initialisation
H prend la valeur ………
prend la valeur ………
Traitement
Tant que ……… 3,0001 faire
H prend la valeur ………………
prend la valeur ………………
Fin tant que
Sortie
Afficher H
Partie C
Soit C_ D et C¨_ D les suites telles que : ∀ H ∈ ℕ, _ = ¤] + ¤^ + ¤B + ⋯ + ¤_ et ¨_ ; ] O ^ O B O ⋯ O _
1. Exprimer _ en fonction de H.
2. En déduire ¨_ en fonction de H.
3. Expliquer ce que l’algorithme ci-dessous affiche.
Entrée
Lire H (entier naturel)
Initialisation
¨ prend la valeur 0
prend la valeur 10
Traitement
Pour allant de 0 à H faire
¨ prend la valeur ¨ O
^
c
prend la valeur B O B
Fin Pour
Sortie
4.
On exécute cet algorithme en saisissant
H ; 2. Utiliser la question 3. de la partie A
pour compléter le tableau ci-dessous
donnant l’état des variables, sous forme
décimale, au cours du traitement de
l’algorithme.

¨

0
Afficher ¨
Quadrilatères
Pour montrer qu’un quadrilatère STZ[ est un parallélogramme,
il suffit de montrer une des propriétés ci-dessous
• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………
• les vecteurs ©©©©©ª
ST et ……… sont …………………………………….
Pour montrer qu’un parallélogramme STZ[ est un rectangle,
• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………
• deux côtés consécutifs …………………………………………………………………………………………………………
Pour montrer qu’un parallélogramme STZ[ est un losange,
• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………
Pour montrer qu’un rectangle STZ[ est un carré,
• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………
Pour montrer qu’un losange STZ[ est un carré,
• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………
Vecteurs
E
E′
Dans un repère orthonormé, on considère les points S CE« ; §« D et CE¬ ; §¬ D , les vecteurs
©ª a§b et ª U Y .
§′
Le milieu du segment 6ST: a pour coordonnées E ; …………………………. et § ; ………………………….
©©©©©ª
ST a
b

©ª O ª a
b
Soit ∈ ℝ,
©ª a
b
©©©©©ª® , est égale à la longueur ST ; …………………………………………………………
La norme du vecteur ©©©©©ª
ST , notée ®ST
La norme du vecteur
©ª est ‖
©ª‖ ; …………………………………………………………
Si E« n E¬ alors le coefficient directeur de la droite CSTD est égal à …………………………………………………………
Deux vecteurs non-nuls
©ª et ª sont colinéaires ⇔ il existe un réel non nul tel que ……………………
Les points S, T et Z sont alignés ⇔ les vecteurs ©©©©©ª
ST et ©©©©©ª
SZ sont ………………………………
Les droites CSTD et CZ[D sont parallèles ⇔ les vecteurs ©©©©©ª
ST et ©©©©©ª
Z[ sont ………………………………
©©©©©ª ; ……… Cette propriété porte le nom de ……………………………………
Pour tous points S, T et Z on a ©©©©©ª
ST O TZ
Equations de droite
L’axe des abscisses a pour équation …………
L’axe des ordonnées a pour équation …………
Une droite parallèle à l’axe des abscisses a une équation de la forme ……………
Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme ……………
§ ; °E O \ est l’équation ……………………… d’une droite non parallèle à l’axe des …………………………
KE O L§ O M ; 0 avec CK; LD ≠ C0; 0D est une équation ……………………………… de droite.
La droite CND d’équation KE O L§ O M ; 0 a pour vecteur normal H©ª a
Si H©ª a
b
b est un vecteur normal à la droite CND alors CND a une équation de la forme KE O L§ O M ; 0
Soit ª un vecteur directeur d’une droite CND et H©ª un vecteur normal à CND. ª et H©ª sont donc …………………………
Système
Résoudre par substitution
E 7 4§ ; 5
±
5E O 3§ ; 721
Résoudre par combinaison linéaire
3E 7 2§ ; 5
±
5E O 3§ ; 21
Produit scalaire
E
E′
Dans un repère orthonormé, si
©ª a§b et ª U Y alors
©ª • ª ; ……………………………
§′
Soit
©ª et ª deux vecteurs non-nuls. Soit S, T et Z trois points distincts.
©ª • ª ; ‖
©ª‖ Q ‖ª‖ Q cosC
©ª; ªD

©©©©©ª
ST • ©©©©©ª
SZ ; …………………………………….
Si ©©©©©ª
ST et ©©©©©ª
SZ sont colinéaires de même sens alors ©©©©©ª
ST • ©©©©©ª
SZ ; …………………….
Si ©©©©©ª
ST et ©©©©©ª
SZ sont colinéaires de sens contraires alors ©©©©©ª
ST • ©©©©©ª
SZ ; …………………….
©©©©©ª
SZ ; ©©©©©ª
ST • ©©©©©©ª
S³ avec ³ projeté orthogonal du point …… sur la droite ………
ST • ©©©©©ª
©©©©©ª
ST • ©©©©©ª
SZ ; 0 ⇔ STZ triangle …………………………………

©ª • ª ; 0 ⇔ ………………………………………… ;
Avec le projeté orthogonal et les propriétés de calcul
1°) Soit STZ[ un rectangle direct de centre ´ tel que ST = 8 et S[ = 6. Calculer :
©©©©©ª
ST • ©©©©©ª
SZ
©©©©©ª
ST • ©©©©©ª
S[
©©©©©ª • ´S
©©©©©ª
TS
77
©ª • 2ª
2
©ª • C7µ
©©ª 7 ªD
C
©ª O 2ªD • C3
©ª 7 ªD
©©©©©ª
©©©©©ª
ST • Z[
2°) On sait que ‖
©ª‖ ; 3 , ‖ª‖ ; 4 , ‖µ
©©ª‖ ; 5 ,
©ª • ª ; 72 ,
©ª et µ
©©ª orthogonaux. Calculer :
C3
©ª 7 2µ
©©ªDB
C
©ª 7 ªDB

©ªB 7 ª B
Géométrie analytique
Dans un repère orthonormé, on considère SC72; 7D , TC2; 0D , ZC9; 4D , [C5; 11D , ¶C0;77D et ·C79; 3D.
1. Montrer que STZ est un triangle isocèle rectangle.
2. Montrer que STZ[ est un carré.
3. Soit du segment 6SZ:. Montrer que les points , [ et ¶ ne sont pas alignés.
4. Montrer que les droites CTZD et C[·D sont parallèles.
5. Montrer que SZT· est un parallélogramme.
©©©©©ª • T·
©©©©©ª ; en déduire cos CÆ
6. Calculer les longueurs TZ et T·, le produit scalaire TZ
BF , puis CÆ
BF en radians.
7. Déterminer une équation cartésienne de la droite CND passant par ¶ et perpendiculaire à CSZD.
©©©©©ª ; 2ST
©©©©©ª 7 c ©©©©©ª
8. Construire le point ¸ tel que [¸
SZ puis calculer les coordonnées de ¸.
B
9. Montrer, de deux façons différentes, que ¸ est le milieu de 6T·:.
Equation de cercle
Le cercle de centre CE ;§ D et de rayon ¹ a pour équation CE 7 E DB O C§ 7 § DB ; ………
QCM ( choisir la bonne réponse et la compléter ) L’ensemble des points ºCE; §D tels que
3°)
2E 7 3§ 7 9 ; 0 est :
1°)
E B O § B 7 4E O 6§ O 13 ; 0 est :
∅
∅
D
le point C…; … D
le point C…; …
le cercle de centre C…; … D et de rayon ¹ ; …
la droite d’équation réduite ………………………
2°)
E B O § B 7 2E O 10 ; 0 est :
∅
4°)
E B O § B O 3E O 4§ O 6 ; 0 est :
∅
Géométrie dans l’espace
Dans l’espace,
un plan est défini par trois points ……………………………
Compléter les règles d’incidence ci-dessous
Deux plans de l’espace sont
soit sécants
soit …………………………………………
Deux plans parallèles de l’espace sont
soit …………………………………………
soit …………………………………………
L’intersection de deux plans sécants de l’espace
est ………………………………………
Deux droites de l’espace sont
soit coplanaires (dans un même plan)
soit non-coplanaires
Deux droites coplanaires de l’espace sont
soit sécantes
soit …………………………………………
Deux droites parallèles de l’espace sont
soit …………………………………………
soit …………………………………………
Deux droites non parallèles de l’espace sont
soit …………………………………………
soit …………………………………………
Un plan et une droite de l’espace sont
soit sécants
soit …………………………………………
Si une droite est parallèle à un plan, alors elle est
soit ……………………………………
soit ……………………………………
L’intersection d’un plan et d’une droite sécants
est ………………………………………
QCM ( une seule bonne réponse par question )
Soit STZ[¶·¸³ un cube et » le milieu de 6T·:
1°) Les plans CTZ·D et C[¸³D sont
strictement parallèles
confondus
sécants
2°) Les droites C¶[D et C·ZD sont
parallèles
sécantes
non coplanaires
3°) Les droites C[·D et C¶ZD sont
parallèles
sécantes
non coplanaires
4°) Les droites C¶TD et C³·D sont
parallèles
sécantes
non coplanaires
5°) La droite C³·D et le plan CST¶D sont
strictement parallèles
sécants
la droite en contenue dans le plan
6°) La droite C³»D est
strictement parallèle au plan C·T[D
sécants au plan C·T[D
contenue dans le plan C·T[D
7°) La droite C»¸D est
strictement parallèle au plan CS[³D
sécants au plan CS[³D
contenue dans le plan CS[³D
8°) Deux droites n’ayant pas de point commun
sont parallèles
vrai
faux, contre-exemple : …………………………
9°) Deux plans parallèles à un troisième plan
sont parallèles entre eux
vrai
10°) Deux plans parallèles à une même droite
sont parallèles entre eux
vrai
Probabilités
¾ l’événement contraire de A.
Soit A et B deux événements. Soit A
¾ D ; …………………………………………………
¿CA
¿CA ∪ BD ; …………………………………………………
Variable aléatoire
Soit À une variable aléatoire prenant H valeurs notées E^ , EB , … et E_ .
_
L’espérance de À est ¶CÀD = E^ × ¿CÀ = E^ D + EB × ¿CÀ = EB D + ⋯ + E_ × ¿CÀ = E_ D = Á EÂ × ¿CÀ = EÂ D
_
B
ÂÃ^
B
La variance de À est ¤CÀD = ¶ a pÀ − ¶CÀDq b = ÁpEÂ − ¶CÀDq × ¿CÀ = EÂ D
ÂÃ^
_
B
B
; ¶CÀ B D 7 p¶CÀDq ; Á EÂ B Q ¿CÀ ; EÂ D − p¶CÀDq
ÂÃ^
L’écart-type de À est ÄCÀD ; ………….
Loi binomiale
Une épreuve de Bernoulli de paramètre \ est une expérience aléatoire n’ayant que ……………. issues
possibles appelées …………………… et …………………… , notées ¨ et ¨̅ avec ¿C¨D ; \
On considère un schéma de Bernoulli, qui est la répétition de H épreuves de Bernoulli de paramètres \
…………………………… et ……………………………
Soit À la variable aléatoire égale au nombre de succès.
On dit que À suit la loi …………………………………. de paramètres …… et …… , on note À ~ ℬCH ; \D
Dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli à H épreuves, le nombre de chemins menant à succès est appelé
……………………………………………… noté p_Èq qu’on lit ………………………….
¿CÀ ; D ;……………………………………
L’espérance de À est ¶CÀD ; ……………… elle représente le nombre ……………………. de succès.
La variance de À est ¤CÀD ; ………………………………
L’écart-type de À est ÄCÀD ; ………………………………
La représentation graphique de la loi binomiale de paramètre H et \ est un ………………………………………………
avec en abscisses allant de 0 à H et en ordonnées ¿CÀ ; D.
Exercice 1
Une urne contient 6 billes vertes et 4 billes rouges, indiscernables au toucher.
On tire successivement, et avec remise, trois billes de l’urne.
1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
2. Soit À la variable aléatoire égale au nombre de billes vertes obtenues.
a. Utiliser la question précédente pour dresser un tableau donnant la loi de probabilité de À.
b. En déduire son espérance ¶CÀD, sa variance ¤CÀD et son écart-type ÄCÀD.
c. Donner une interprétation du résultat de ¶CÀD.
d. Représenter graphiquement la loi de À dans un repère orthogonal avec en abscisses 1 cm pour 1 bille
^]
verte et en ordonnées 1 cm pour ^BÉ ; 0,08
3.
a. Justifier que la variable aléatoire À suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres H et \.
b. Vérifier à la calculatrice la loi de probabilité établie à la question 2.a.
c. Retrouver les résultats de la question 2.b. en utilisant les formules pour À ~ ℬCH ; \D
Exercice 2
Chez un fabricant de calculatrices, une étude a montré que 10 % des produits ont un défaut.
Lors de la commande groupée, le lycée a commandé un lot de 150 calculatrices.
Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes.
On définit la variable aléatoire À donnant le nombre de calculatrices défectueuses.
1. Justifier que À suit la loi binomiale de paramètres H ; 150 et \ ; 0,1.
2. ¶CÀD ; …
10
13,5
15
67,5
75
150
QCM ( choisir la (les) bonne(s) réponse(s) et compléter les pointillés en arrondissant à 105e )
3. La probabilité qu’exactement 10 calculatrices
6. La probabilité qu’au plus 10 calculatrices soient
soient défectueuses est égale à …………………
défectueuses dans ce lot est égale à …………………
0,1^]
150
U
Y 0,1^]
10
0,1^] × 0,9^e]
150
U
Y 0,1^] × 0,9^e]
10
¿CÀ
¿CÀ
¿CÀ
¿CÀ
4. ¿CÀ ≥ 15D ≃ …………………
1 − ¿CÀ
1 − ¿CÀ
1 − ¿CÀ
1 − ¿CÀ
< 14D
≤ 15D
≤ 14D
< 15D
5. ¿CÀ G 20D ≃ …………………
1 − ¿CÀ
1 − ¿CÀ
1 − ¿CÀ
1 − ¿CÀ
< 20D
≤ 19D
≤ 20D
≤ 21D
G 10D
I 10D
J 10D
≥ 11D
7. La probabilité qu’il ait plus de 10 calculatrices
¿CÀ
¿CÀ
¿CÀ
¿CÀ
G 10D
I 10D
J 10D
≥ 11D
8. La probabilité qu’il y ait de 11 à 18 calculatrices
¿C11 ≤ À ≤ 18D
¿CÀ J 18D − ¿CÀ ≤ 11D
¿CÀ J 18D − ¿CÀ < 11D
¿CÀ J 18D + ¿CÀ ≥ 11D
Exercice 3
Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres de deux catégories : des conifères et des feuillus.
Le stock comporte 52,5 % de conifères. Les autres sont des feuillus.
On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie.
On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec
remise de 10 arbres dans le stock.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.
Arrondir les résultats à 105c
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ?
3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux feuillus ?
Intervalle de fluctuation de 2nde
On fait l’hypothèse que la proportion d’un caractère dans une population est \.
On considère un échantillon de taille H.
On observe que le caractère est présent dans cet échantillon avec une fréquence égale à {.
Lorsque Ì ≥ xÍ et Î, x J Ï J Î, Ð alors il y a environ 95% des échantillons de taille H qui sont tels que la
fréquence { appartient à un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % où
; Ñ\ 7
…
√…
; \+
…
√…
Ò
Intervalle de fluctuation de 1ère S
Soit À la variable aléatoire égale au nombre d’individus ayant le caractère dans l’échantillon de taille H.
On peut considérer que À ~ ℬCH ; \D.
Un intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95 % est = Ñ
K L
; Ò
H H
Avec K le plus petit entier tel que ¿CÀ J KD G ………… et L le plus petit entier tel que ¿CÀ J LD ≥ …………
Prise de décision
Si { ∉ alors on rejette l’hypothèse
Si { ∈ alors on ne rejette pas l’hypothèse
Exercice
Un laboratoire pharmaceutique affirme que son nouveau médicament contre le mal des transports est
efficace sur les trois-quarts des malades habituels. Une association indépendante collecte des données
auprès de personnes habituellement malades. Sur 57 personnes, 50 n’ont pas été malades à la suite de la
prise du médicament. Que peut-on dire de l’affirmation du laboratoire pharmaceutique ?
avec l’intervalle de fluctuation de 2nde
H ; ……
= Ñ… … … … −
\ = …………
…
√… …
;…………+
…
résultats à 105e
……
{=
≃ ………………
……
√… …
Ò ≃ 6… … … … … ; … … … … … :
{ … … donc ………………………………………………………………………………………..
avec l’intervalle de fluctuation de 1ère S
On choisit au hasard et de façon indépendante 57 personnes habituellement malades ayant pris le
médicament. Soit À la variable aléatoire égale au nombre de personnes pas malades dans cet échantillon de
57 personnes. Sous l’hypothèse selon laquelle le médicament est efficace sur les trois-quarts des malades
habituels, on a À ~ ℬC… … ; … … … … D
A l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice,
le plus petit entier K tel que ¿CÀ J KD G …………… est K ; ………
le plus petit entier L tel que ¿CÀ J LD ≥ …………… est L ; ………
donc = Ô
…… ……
;
Õ
…… ……
≃ 6… … … … … … ; … … … … … :
{ … … donc ………………………………………………………………………………………..