Rang en algèbre linéaire dans les espaces vectoriels de

Rang en algèbre linéaire dans les espaces
vectoriels de dimension finie, cours de premier
cycle universitaire.
F.Gaudon
2 août 2005
Table des matières
1
Rang d’une famille de vecteurs
2
2
Rang d’une application linéaire
3
3
Rang d’une matrice
4
1
On considère deux espaces vectoriels E et F sur un corps K de dimensions
finies n et m respectivement.
1
Rang d’une famille de vecteurs
Définition :
On appelle rang d’une famille {u1 ; u2 ; . . . ; up } de vecteurs de E et on note
rg({u1 ; u2 ; . . . ; up }), la dimension du sous espace vectoriel engendré par
cette famille.
Propriétés :
• rg({u1 ; . . . ; up }) ≤ p avec égalité ssi {u1 ; . . . ; up } est libre.
• rg({u1 ; . . . ; up }) ≤ n avec égalité ssi {u1 ; . . . ; up } est génératrice.
Preuve :
• {u1 ; . . . ; up } est génératrice de < {u1 ; . . . ; up } donc
rg({u1 ; . . . ; up }) = dim(< {u1 ; . . . ; up } >) ≤ p.
Si {u1 ; . . . ; up } est libre, c’est une base de < {u1 ; ldots; up } > donc
rg({u1 ; . . . ; up }) = p sinon on peut en extraire une base de < {u1 ; . . . ; up }
donc rg({u1 ; . . . ; up }) < p.
• On a clairement dim(< {u1 ; . . . ; up } >) ≤ dim(E) donc
rg(< {u1 ; . . . ; up } >) ≤ n. {u1 ; . . . ; up } est génératrice de E ssi
< {u1 ; . . . ; up } >= E ssi rg(< {u1 ; . . . ; up }) = dim(E).
Proposition :
Soit f une application linéaire de E dans F . Soit {u1 ; . . . ; up } ⊂ E. Alors
rg({f (u1 ); f (u2 ); . . . ; f (up )}) ≤ rg({u1 ; . . . ; up }).
En particulier, si f est bijective, l’égalité est vraie.
Preuve :
Soit {u1 ; . . . ; uq } avec q ≤ p une base de < {u1 ; . . . ; up } >, alors
{f (u1 ); . . . ; f (uq )} est génératrice de < {f (u1 ); . . . ; f (up )} > donc
rg(< f (u1 ); . . . ; f (up ) >) ≤ rg({u1 ; . . . ; up }) avec égalité ssi
(< {f (u1 ); . . . ; f (up )} > est libre, ce qui est le cas si f est bijective puisqu’elle
transforme toute famille libre en une famille libre.
2
2
Rang d’une application linéaire
Définition :
On appelle rang d’une application linéaire f la dimension de Im(f ).
Téorème du rang :
Soit f
une application
dim(E)=dim(ker(f ))+rg(f ).
linéaire
de
E
dans
F.
Alors
preuve :
Soit {u1 ; . . . ; ur } une base de ker(f ) que l’on complète en une base
{u1 ; . . . ; un } de E.
Alors {f (u1 ); . . . ; f (un )} engendre Im(f ) donc {f (ur+1 ); . . . ; f (un )} engendre
Im(f ). En outre, {f (ur+1 ); . . . ; f (un )} est libre.
P
EnP
effet, soit λi , i ∈ {r + P
1; . . . ; n} tels que ni=r+1 λi f (ui ) = 0. On a
= 0 donc ni=r+1
f ( ni=r+1 λi ui ) P
Pn λi ui ∈ ker(f ).
r
β
u
=
D’où ∃βi ∈ K,
i=r+1 λi ui .
i=1 i i
Si ∃i ∈ {r + 1; . . . ; n} / λi 6= 0, on peut supposer qu’il
r+1 et on a
Pr s’agit de λ−1
−1
−1
alors ur+1 = −λr+1 λr+2 ur+2 − . . . − λn+1 λn un + i=1 βi λr + 1 ui ce qui est
absurde car la famille {u1 ; . . . ; un } est libre.
Par conséquent, {f (ur+1 ); . . . ; f (un )} est une base de Im(f ) et le résultat s’en
déduit.
Propriété :
• rg(f ) ≤ n avec égalité ssi f est injective.
• rg(f ) ≤ m avec égalité ssi f est surjective.
• Soit λ ∈ K∗ , rg(λf ) = λrg(f ).
Preuve :
• Conséquence immédiate du théorème précédent.
• im(f ) est un sous espace vectoriel de F donc rg(f ) ≤ dim(F ) = n. En outre,
rg(f ) = n ssi dim(im(f )) = dim(F ) ssi Im(f ) = F ssi f est surjective.
Propriété :
Soient f et g deux endomorphismes de E.
• |rg(f ) − rg(g)| ≤ rg(f + g) ≤ rg(f ) + rg(g)
• rg(f ◦g) ≤ min(rg(f ); rg(g)). En outre, si g est surjectif alors rg(f ◦g)) =
rg(f ) et si f est injectif rg(f ◦ g) = rg(g).
3
Preuve :
• Comme Im(f + g) ⊂ Im(f ) + Im(g), on a rg(f + g) ≤ rg(f ) + rg(g).
Ecrivant f=(f+g)-g on a alors :
rg(f ) ≤ rg(f + g) + rg(−g) = rg(f + g) + rg(g) d’où
rg(f ) − rg(g) ≤ rg(f + g) et le résultat en échangeant f et g.
• Si g est surjectif, g(E) = E donc Im(f ◦ g) = Im(f ) et rg(f ◦ g) = rg(f )
Si f est injectif, Im(g) et f (Im(g)) sont isomorphes donc rg(f ◦ g) ≤ rg(f ).
L’inégalité est claire.
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Rang d’une matrice
Définition :
On appelle rang d’une matrice A ∈ Mm,n (K) et on note rg(A), la dimension
du sous espace vectoriel de Km engendré par les colonnes de A.
Autrement dit, si A = (aij )ij , Ci = (a1i a2i . . . ; ani ) est le i-ème vecteur
colonne de A et rg(A) = vect({C1 ; C2 ; . . . ; Cn }.
Théorème :
rg(A) = rg(t A), c’est à dire si Li = (ai1 ai2 . . . aim ) est le i-ème vecteur
ligne de A, alors rg(A) = vect({L1 ; . . . ; Lm }).
Propriété :
Soit A ∈ Mm,n (K). Soient r ≤ min(m; n) et Jr = (λij )ij la matrice définie
par λii = 1 si i ∈ {1; 2; . . . ; r} et λij = 0 sinon. Alors il y équivalence entre :
• ∃P ∈ GLn (K), ∃Q ∈ GLn (K) / A = P Jr Q
• rg(A) = r
Propriété :
Soient A, B ∈ Mm,n (K). Alors rg(A) = rg(B) ssi
∃P ∈ Gln (K) ∃Q ∈ GLn K) / B = P AQ
.
Théorème :
Soit A ∈ Mm,n (K). Si A contient une sous matrice B ∈ Mr (K) telle que B
soit inversible et telle que toute sous matrice de A appartenant à Mr+1 (K) et
contenant B ne soit pas inversible, alors rg(A) = r.
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