THEOREME DE LA BIJECTION
Transcription
THEOREME DE LA BIJECTION
Théorème de bijection – Fonctions ROC / Restitution organisée de connaissances Remarque : Le théorème de bijection est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Théorème de bijection sur un intervalle quelconque 1ère formulation : Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies), alors, pour tout réel strictement compris entre les limites de en et en , il existe un unique réel de tel que ( ) . 2ème formulation : Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies), alors, pour tout réel strictement compris entre les limites de en et en , l'équation ( ) admet une unique solution dans . Rappel : Une fonction strictement monotone est une fonction soit strictement croissante, soit strictement décroissante. Démonstration du théorème Rappel : Croissance d’une fonction Dire qu’une fonction si alors ( ) est strictement croissante sur un intervalle signifie que pour tous nombres et de , ( ). Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonction continue sur un intervalle de bornes strictement compris entre les limites de Autrement dit, l’équation ( ) en et (finies ou infinies). Alors, pour tout réel et en , il existe au moins un réel de tel que ( ) . admet au moins une solution dans . ROC – Théorème de bijection (corollaire du TVI) © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Remarque : La démonstration suivante est valable lorsque la fonction est croissante. La démonstration dans le cas où la fonction est décroissante est analogue. Soit une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies). Commençons par montrer l’existence. (utilisation du TVI) est une fonction continue donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, quel que soit compris entre les limites de en et en , il existe (au moins) un réel de tel que ( ) . Désormais, démontrons l’unicité. (raisonnement par l’absurde) Supposons que l'équation ( ) admette une autre solution (donc différente de supposons qu’il existe un réel tel que ( ) et . La fonction - strictement est croissante donc, 1er cas : si 2ème cas : si , alors ( ) , alors ( ) ( ), c’est-à-dire ( ) ( ), c’est-à-dire ( ) La supposition est donc fausse et, par conséquent, réel tel que ( ) . BONUS : Image d’un intervalle Dans le tableau ci-contre, sont consignées les différentes écritures de , intervalle image de , en fonction du sens de variation de la fonction (définie et continue sur avec ( ) ) et de l’écriture de l’intervalle . Remarque : réels, soit ) dans , c’est-à-dire et désignent soit des , soit . . Absurde car, par hypothèse, ( ) . Absurde car, par hypothèse, ( ) . Autrement dit, le réel Monotonie de . . est unique ; il n’existe qu’un croissante décroissante Intervalle [ ( ) [ ] [ [ [ ( ) ] ] ] ] [ ] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )[ ] ( )] [ ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )] ( )] ( )[ ( )[ ROC – Théorème de bijection (corollaire du TVI) © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2