Devoir surveillé 4

Année 2006-2007
Term STG2
Devoir surveillé 4
Il sera tenu compte de la propreté et de la présentation.
le 15/02/07.
Exercice 1 :
Statistiques
Le tableau suivant donne l’évolution du montant du salaire minimum interprofessionnel de croissance
(SMIC) horaire brut en euros (source INSEE).
Année
Rang xi de l’année
SMIC yi
2000
0
6,41
2001
1
6,67
2002
2
6,82
2003
3
7,19
2004
4
7,61
1) Calculer le pourcentage d’augmentation du SMIC horaire brut entre 2000 et 2004.
On arrondira le résultat à 1%.
2) Construire le nuage de points Mi (xi yi ) associé à cette série statistique dans un repère orthogonal.
L’axe des abscisses sera gradué à partir de 0 et on prendra 2 cm par rang d’année.
L’axe des ordonnées sera gradué à partir de 6 et on prendra 1 cm pour 0,1 euro.
3) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage.
4)
a) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajustement de ce
nuage de points par la méthode des moindres carrés.
On arrondira les coefficients de l’équation au centième.
b) Tracer D dans le même repère que le nuage, et placer G.
5)
a) Déterminer par le calcul, le montant du SMIC horaire brut que l’on peut prévoir en 2005.
b) Faire apparaı̂tre sur le graphique les traits de construction qui permettent de retrouver les
résultats du 5) a).
6) Vérifier graphiquement qu’à partir de 2006, le SMIC horaire brut dépassera 8 euros.
On fera apparaı̂tre les constructions utiles.
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Année 2006-2007
Exercice 2 :
Term STG2
Logarithme
−
→ −
→
Le plan est rapporté à un repère orthogonal O ; i ; j (unités graphiques : 2 cm sur l’axe des
abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).
Partie A - Etude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie pour tout réel x strictement positif par :
g(x) = 2x2 + 1 − ln(x).
(2x − 1)(2x + 1)
pour tout x strictement positif.
x
a) Etudier le signe de g ′(x) puis dresser le tableau de variations de la fonction g sur ]0 ; +∞[.
1
1
b) Préciser la valeur exacte de g
et en déduire le signe de g
.
2
2
c) Donner le signe de g(x) sur ]0 ; +∞[.
1) Montrer que g ′ (x) =
2)
Partie B - Etude d’une fonction et tracé de sa courbe représentative
ln(x)
f (x) = 2x + 1 +
.
x
−
→ −
→
On note Cf sa courbe représentative dans le repère O ; i ; j .
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
1)
a) Montrer que pour tout x strictement positif on a :
où g est la fonction de la Partie A.
f ′ (x) =
1
× g(x),
x2
b) Donner le tableau de variation de la fonction f .
2) Montrer qu’il existe un unique α sur ]0 ; +∞[ tel que f (α) = 0.
Donner une valeur approchée arrondie à 10−2 près de α.
3) Préciser, dans un tableau de signes, le signe de f (x) sur ]0 ; +∞[.
4) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse 1.
5) Tracer sur un même graphique la droite T , la courbe Cf ainsi que le point de Cf d’abscisse α.
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