Options exotiques complexes - Finance de marché – Dalloz

Options exotiques complexes
Cette série d’exercices porte sur les options exotiques (chapitre 14 ) avec éventuellement
des taux d’intérêt stochastiques (chapitres 16 et 17). Les exercices les plus difficiles sont
indiqués par une *.
1. Produit exotique
Le cours S(t) d'un titre S ne payant pas de dividende suit un mouvement brownien
géométrique de paramètres µ et σ sous la probabilité historique. Une banque propose à ses
2
clients un titre exotique payant en T (> 0) un flux unique égal à S (T).
a) Sachant que le taux sans risque est la constante r, calculez le prix en t (0 < t < T) de ce titre
exotique en fonction de S(t). (Indice : passer en probabilité risque-neutre et calculer
l'espérance et la variance de S(T)).
b) Vérifiez que votre prix satisfait l'EDP de Black-Scholes.
c) Quel intérêt financier verriez-vous à ce produit, en tant que client de la banque? Quelles
caractéristiques le différencient d'une option classique? d'un titre classique? Soyez complet.
2. Put combo et taux domestiques stochastiques (*)
W désigne un mouvement brownien (uni-dimensionnel) sous la probabilité historique et W
désigne un mouvement brownien sous la probabilité risque-neutre Q. Tous les browniens
utilisés sont corrélés.
Le prix d'une action japonaise ne versant pas de dividende, Sf, obéit à :
dSf(t) = µf(t) Sf(t) dt + σf(t) Sf(t) dWf(t)
Le taux de change Euro-Yen (nombre d’Euros par Yen), X(t), obéit à :
dX(t) = µx(t) X(t) dt + σx(t) X(t) dWx(t)
Le prix en t du zéro-coupon français B(t,T) versant 1 € en T (> t) obéit à :
dB(t,T) = µ1(t,T) B(t,T) dt + σ1(t,T) B(t,T) dW1(t)
Par ailleurs, rt désigne le taux spot sans risque en t prévalant en France et rft désigne le taux
spot sans risque prévalant en t au Japon.
Le but de l'exercice est de trouver le prix en euros d'un put combo (on dit aussi cross ou
compo) européen de strike K libellé en euros dont le payoff en T est donné par :
P(T) = (K - X(T) Sf(T))+
On rappelle que, sous la probabilité risque-neutre Q, par Girsanov,
dWf(t) = dW(t) - σx(t) ρxSf(t) dt
où ρ(t) est un coefficient de corrélation et W(t) est le brownien sous Q pour l'investisseur
français.
2
Enfin, on notera Vol t,T (U) la variance moyenne (à définir) de la variable U entre t et T, et
ρuv(t) le coefficient de corrélation instantané entre les variables U et V.
a) Exprimer les processus d'évolution des variables pertinentes sous Q.
b) Exprimer le processus d'évolution du prix de Sf libellé en euros sous Q.
c) Faire les changements appropriés de numéraires pour aboutir à la forme classique pour le
prix en t d'un put :
P(t) = K.Z(.).QZ(A) - Y(.) QY(A)
où A est un évènement et Qi(A), (i = Z, Y), la probabilité de cet évènement sous la mesure
Qi associée au numéraire i.
d) Calculer la variance instantanée, notée σ2φ , du prix forward libellé en euros de l'action
t
japonaise.
e) Déduire de c) et d) la valeur en t du put combo.
f) En tant que vendeur de ce put combo, comment en effectueriez-vous la couverture
dynamique? Soyez précis.
3. Pense-bête sur les Spots, Forwards et Futures
Votre directeur de salle de marchés, récemment « parachuté » mais cependant désireux
d’apprendre, vous demande d’établir un « pense-bête » concernant les formules
théoriques d’évaluation des instruments fermes, à savoir le support spot S (sans
dividende), le forward G et le futures H, écrits sur ce support, d’échéance T (l’instant
courant est t=0). Il vous demande de distinguer 2 cas : celui où le(s) taux d’intérêt
pertinent(s) est (sont) supposé(s) constant(s), et celui où les taux sont stochastiques (et
obéissent par exemple au modèle de Heath, Jarrow et Morton).
On notera B(t) = ert la valeur du compte de capitalisation en t > 0 dans le premier cas, et
B(0, t) celle d’un zéro-coupon versant 1 € en t, dans le deuxième.
a) Dans le premier cas, exprimer la valeur (en t = 0) de S(0), G(0) et H(0) comme
espérances de flux futurs (à déterminer) sous une certaine probabilité (à définir
précisément, de même que le numéraire associé).
b) En déduire l’expression analytique de G(0) et H(0) en fonction de S(0), et la relation
entre G(0) et H(0).
c) Même question que a) dans le deuxième cas.
d) Même question que b) dans le deuxième cas [Indication : pensez à utiliser le lemme
d’Itô appliqué à un quotient, en supposant que les fonctions de variance-covariance
sont déterministes].
4. Option « Best of » à barrière (*)
L’option considérée ci-après est européenne et de maturité T. L’instant courant est t = 0.
Les supports de l’option sont deux actions S1 et S2 cotées au comptant ne versant pas de
dividendes. Le taux sans risque instantané est la constante r. On suppose que le marché
financier est celui de Black-Scholes-Merton, et, en particulier, que, sous la probabilité
risque-neutre, les cours des actions obéissent à des mouvements browniens géométriques
de drift à préciser, de volatilités constantes σ1 et σ2 et de coefficient de corrélation ρ12.
On rappelle, pour un mouvement brownien arithmétique X(t) de drift µ et de paramètre
de diffusion σ, la probabilité suivante :
P(XT ≥ x ; yT ≥ y) = N((-x+µT)/σT1/2) - exp(2µyσ-2) N((-x+2y+µT)/ σT1/2)
où yT = inf (Xs, 0 < s ≤ T) avec x et y deux constantes telles que y < 0 et y ≤ x.
Le produit exotique à évaluer est une « best of » à barrière dont les caractéristiques sont
les suivantes : le vendeur de l’option vous donne à l’échéance T celle des 2 actions, S1(T)
ou S2(T), qui a la valeur la plus grande, à condition que, entre t = 0 et t = T, le prix S1(t)
soit devenu (au moins une fois) plus petit que (ou égal à) H.S2(t), où H est une constante
strictement inférieure à 1. Si la condition n’est pas remplie, le vendeur vous donne
S2(T) en T. Actuellement, S1(0) = S2(0).
a) Ecrivez le payoff terminal de ce produit exotique comme la somme de deux autres
produits plus classiques.
b) Effectuez le changement de numéraire approprié et, après avoir écrit soigneusement
l’indicatrice, écrivez la valeur de ce produit exotique comme l’espérance, sous une
certaine probabilité à préciser, du payoff modifié.
c) Calculer alors la valeur de ce produit exotique en termes du numéraire, puis en euros.
5. Produit à capital garanti forward start
On vous propose un produit d'épargne qui, au terme de T ans, garantit le capital que vous
avez investi au départ et de plus est indexé sur la performance de l’indice CAC40 entre les
dates t (> 0) et T (> t) de telle sorte que, pour 1 euro investi aujourd’hui (date t = 0), le
profil de gain en T s'écrive:
Max(1; (1+ c
))
où t (par exemple 3 mois) est la date de départ de l’observation du CAC40 et T (par
exemple 5 ans) la date d’échéance du produit, et où c (0 < c < 1) représente le coefficient
d'intéressement. Cac(x) est la valeur du CAC40 à la date x.
Vous supposez que Cac(t) suit un Brownien géométrique de drift (µ−δ) et de volatilité σ
sous la probabilité historique, où δ est le taux continu de dividende. Le taux d’intérêt sans
risque r est constant, comme le sont δ et σ, la gamme des taux est plate, et il existe autant
de zéro-coupons d’échéances différentes (versant sans risque 1 euro à l’échéance) que
vous voulez. Les options européennes sont censées être correctement évaluées par le
modèle de BSM (Black-Scholes-Merton).
Calculez, en fonction des paramètres disponibles, le coefficient d'intéressement c
maximum (théorique) que votre intermédiaire financier pourrait vous proposer, c'est-àdire tel que, dans les conditions (irréalistes) du modèle en temps continu de BSM, il ne
retire aucun profit de cette proposition.
[Indication : calculer au préalable le prix en t, puis en t = 0, d’un call écrit sur le CAC40
d’échéance T et « forward start », c’est-à-dire de strike connu seulement en t, (0 < t < T),
égal à Cac(t), en utilisant une propriété d’homogénéité de la valeur des options
européennes (en strike et en prix du support). On notera τ = (T - t). On supposera connue
la formule de BSM].
6. Put « forward start » quanto avec taux domestiques stochastiques (*)
Dans cet exercice, W désigne un Brownien (unidimensionnel) sous la probabilité
historique, W un Brownien sous la probabilité risque–neutre et WT un Brownien sous la
probabilité forward-neutre. Tous les browniens utilisés sont corrélés, et on utilisera la
notation ρx,y(t) pour le coefficient de corrélation, en t, entre les deux browniens Wx et
2
Wy. En outre, on notera Vol t,T (U) la variance moyenne (à définir) de la variable U
entre t et T. Les fonctions de variance-covariance seront supposées déterministes.
Le prix de l'action américaine ABC, qui ne verse pas de dividendes, évolue selon :
dSf(t)/Sf(t) = µ(t, Sf(t)) dt + σs(t) dWf(t)
avec les notations habituelles, où f (foreign) désigne une valeur libellée en dollars.
Le prix en t du zéro-coupon français B(t,T) versant 1 € en T (> t) obéit à :
dB(t,T)/ B(t,T) = µb(t,T) dt + σb(t,T) dWb(t)
Par ailleurs, r(t) désigne le taux spot sans risque prévalant en t en France, et rf(t) le taux
spot sans risque en t prévalant aux USA. Ce dernier est supposé déterministe.
A. Soit un put européen de date d'échéance T2 écrit sur l’action ABC et de type
"forward start", c'est-à-dire que son strike n'est pas connu à sa date de création (t = 0)
mais sera fixé égal à la valeur S(T1) de l'action ABC observée à la date T1 (< T2). Il sera
donc à la monnaie en T1 et vaudra en T2, en dollars :
Max (Sf(T1) - Sf(T2), 0)
a) Dériver la formule (du type Black-Scholes) donnant le prix du put en t = T1 tel que
coté à New York, en utilisant la notation τ = T2 - T1.
b) Calculer le prix du put en t = 0 tel que coté à New York. Pour ce faire, utiliser la
propriété d'homogénéité (de degré 1 en prix du support et en prix d'exercice) de la
valeur d'une option (put P ici), à savoir : P(Sf(T1), Sf(T1), τ) = Sf(T1).P(1, 1, τ).
c) Donner l'interprétation financière du résultat b).
d) Comment le vendeur du put (par exemple un market-maker américain) peut-il couvrir
parfaitement sa position? Cette stratégie est-elle dynamique (révisée continuellement)
ou simplement statique?
B. Vous êtes en fait un market-maker d’une banque française et vendez un put similaire
à celui ci-dessus à votre clientèle française. Celle-ci ne voulant cependant pas encourir
de risque de change, le produit est quanto de sorte que le payoff terminal pour elle sera :
X*.Max (Sf(T1) - Sf(T2), 0)
où X* est le taux de change €/$ fixe accordé au client, correspondant en fait au cours
forward actuel du €/$ pour l’échéance T2.
La dynamique du taux de change X(t) s’écrit :
dX(t)/X(t) = µX(t)dt + σX(t) dWX(t)
a) Calculer les dynamiques de Sf(t), X(t) et B(t,T) sous la probabilité risque-neutre
domestique (française). Pour B(t,T), on pourra utiliser directement un résultat bien
connu concernant le couple [Probabilité Q ; numéraire = compte de capitalisation].
b) Exprimer le processus d'évolution de Sf(t) sous QT, sous forme différentielle puis
sous forme intégrale (donner Sf(T) en fonction de Sf(t)). Pour ce faire, utiliser
(théorème de Girsanov) :
dWTf(t) = dWf(t) - σb(t,T) ρfb(t) dt
où Wf(t) est le brownien sous Q (relatif à Sf(t)) pour l'investisseur français.
c) Ecrire la valeur du put en t (0≤t<T1) en utilisant l’espérance sous Q puis celle sous
QT (expliquer précisément).
d) Résoudre alors la valeur du put « forward start quanto » en t sous cette deuxième
forme en utilisant le résultat b) et en indiquant pourquoi on a le droit d’appliquer BlackScholes (il suffit de montrer que la formule de Black-Scholes s’applique avec les bons
paramètres (à déterminer, eux, rigoureusement), sans recalculer les 2 intégrales
concernées, ce dernier calcul étant supposé trivial).
e) Indiquer comment couvrir dynamiquement cette option vendue à votre client, les
risques résiduels que vous subirez en fait, et ce que vous pouvez faire en pratique pour
en tenir compte.
7. Options barrières
a) Soient un call down-and-out de prix d'exercice 99 et de barrière 100, valant 9, et un call
down-and-out de prix d'exercice 100 et de barrière 100 valant 8,60. Leur titre sous-jacent
commun (coté au comptant) vaut actuellement nettement plus que 100 et leur maturité
commune est de 3 mois. Le taux d'intérêt à 3 mois est de 4%. Calculer la valeur du call
digital down-and-out versant 1 dans 3 mois si le support S n’a pas franchi la barrière 100
d'ici à 3 mois, et 0 sinon. En déduire la valeur du put digital down-and-in versant 1 dans
3 mois si le support S a franchi la barrière 100 d'ici à 3 mois, et 0 sinon.
b) Le taux d'intérêt dans l'économie française est de 5%. Le taux de change actuel pesoeuro est de 500 (pesos mexicains par euro). Soit un put down-and-in, écrit sur un support
français de valeur courante S = 50 (euros) versant un dividende continu δ de 3%, de prix
d'exercice 46, de durée 3 mois, et de barrière 41. Ce put vaut actuellement 7,13 euros. Soit
une option barrière écrite sur le même support français et valorisée par les investisseurs
mexicains 1,55 pesos. Décrire précisément toutes les caractéristiques (probables) de cette
option.
8. Evaluation d’un caplet et d’un floorlet (*)
Un caplet (élément d’un cap) est une option (définie formellement plus bas) qui permet de
gagner de l’argent en cas de hausse des taux et constitue de ce fait un instrument essentiel
de couverture ou de spéculation sur les marchés de taux. Symétriquement, un floorlet
(élément d’un floor) est une option (définie formellement plus bas) qui permet de gagner
de l’argent en cas de baisse des taux. L’idée de l’exercice est d’utiliser votre capacité à
calculer la valeur d’une option standard écrite sur une obligation spot zéro-coupon, dans
le cadre HJM à un facteur (cf partie A)), pour évaluer directement ce caplet et ce
floorlet (cf partie B)).
A) On rappelle que sous la probabilité risque-neutre Q, le prix B(t,T) en t (0 < t < T) d’un
zéro-coupon payant 1 € en T est égal à :
(1)
B(t,T) = [B(0,T)/B(0,t)]exp[-0,5σ2tT(T-t) – σ(T-t)Wt]
où la constante σ est la volatilité des taux forward instantanés.
On notera r(t) le processus stochastique suivi par le taux spot.
Soit à évaluer, en t, (0 < t < t’), le put (puis le call) européen écrit sur B(t,T) de strike K et
d’échéance t’ (< T).
a) Ecrire le payoff de ce put en t’, puis son espérance en t ;
b) Effectuer le changement de probabilité et de numéraire qui s’impose en précisant vos
définitions et vos calculs ;
c) Utiliser le résultat (théorème de Girsanov) rappelé ici selon lequel, sous la probabilité
« τ-forward neutre » (pour un τ quelconque > t), on a :
(2)
pour montrer qu’on se ramène formellement à un problème de Black-Scholes (BS) ;
d) En déduire la valeur explicite du put en t (on supposera connue la formule de BS, sans
refaire les calculs);
e) Utiliser la parité call-put pour calculer la valeur explicite du call en t de même strike et
échéance.
B) Le caplet (écrit sur un notionnel de 1 €) relatif à la période encadrée par les instants tj
et tj+1 devrait présenter le payoff suivant en tj+1 :
[τ Max(0, rj –k)]
où rj est le taux monétaire (proportionnel, et non actuariel) discret prévalant en tj pour des
prêts/emprunts de durée τ (τ = tj+1 – tj) et k est le strike (exprimé également en taux discret
proportionnel) du cap.
En réalité, selon la convention de place en vigueur en Euroland, le payoff éventuel n’est
pas payé en tj+1 mais en tj, dès que rj est connu (« fixing ») ; il est donc en fait égal à :
(3)
[τ Max(0, rj –k)]/[1+ τ rj]
a) En vous rappelant la relation existant entre le prix d’un zéro-coupon payant 1€ à
l’échéance et le taux proportionnel discret y afférent, ré-exprimer le payoff (3) de façon à
faire apparaître non plus une option sur taux mais une option sur prix (de zéro-coupons) ;
b) Donner alors la valeur du caplet en utilisant (à bon escient) la valeur trouvée en d) du
A).
c) Donner enfin, en utilisant la même astuce qu’en a), la valeur du floorlet de payoff :
[τ Max(0, k - rj)]/[1+ τ rj] en tj, en vous inspirant de la valeur trouvée en e) du A).
9. Options Barrières et Digitales (*)
Les options considérées ci-après sont toutes européennes et de maturité T. L’instant
courant est t = 0. Le support des options est une action S cotée au comptant versant un
dividende continu de taux constant d. Le taux sans risque instantané est la constante r. On
suppose que le marché financier est celui de Black-Scholes-Merton, et, en particulier,
que, sous la probabilité risque-neutre Q, le cours de l’action S(t) obéit à un mouvement
Brownien géométrique de drift à préciser et de volatilité constante σ.
On rappelle, pour un mouvement brownien arithmétique X(t) de drift µ et de paramètre
de diffusion σ, la probabilité suivante :
P(XT ≥ x ; yT ≥ y) = N((-x+µT)/σT1/2) - exp(2µyσ-2) N((-x+2y+µT)/ σT1/2)
où yT = inf (Xs, 0 < s ≤ T) avec x et y deux constantes telles que y < 0 et y ≤ x.
a) Ecrivez le payoff terminal du Call Down-and-Out (CDO) de strike K et de barrière L,
où L > K, en utilisant la fonction indicatrice.
b) Ecrivez la valeur du call comme l’espérance, sous une certaine probabilité, de ce
payoff actualisé.
c) Après avoir réécrit l’indicatrice de manière appropriée, calculez le terme faisant
apparaître K.
d) Pour calculer le terme en S, valeur de S(t) en t = 0 pour simplifier, effectuez un
changement de probabilité à définir. Notez Q* cette nouvelle mesure. Préciser à quel
numéraire Q* est associée. Appliquez le théorème de Girsanov. Calculez alors le
terme faisant apparaître S et donnez la valeur totale du CDO.
e) Déduisez-en la formule du Call Down-and-In (CDI) de mêmes caractéristiques.
f) Déduisez-en également la formule du Put Up-and-Out (PUO) de strike K*= 1/K, de
barrière L* = 1/L, écrit sur un support spot versant un dividende continu r, le taux
d’intérêt spot continu étant d.
g) Le CDO évalué en d) peut en réalité faire l’objet d’un « lot de consolation » R
(« rebate ») payable en T si le call a été désactivé entre 0 et T. Calculez le prix
supplémentaire à payer (en t = 0) pour obtenir le droit à ce R conditionnel.
(Indication : prendre un cas particulier de la probabilité P(XT ≥ x ; yT ≥ y) rappelée au
début de l’exercice, puis en prendre le complémentaire).
h) Une option digitale est une option dont le pay-off est 1 si tel événement se produit ou
rien sinon. Soit un Put Digital Down-and-In (PDDI) tel que le pay-off terminal en T
est :
1
0
si Min (S(t)) ≤ L, où le Min de S(t) est pris entre 0 et T,
sinon ;
Evaluez cette option en deux étapes. D’abord, donnez la relation exacte entre ce PDDI
et le Call Digital Down-and-Out (CDDO) défini par le pay-off terminal en T suivant :
0
1
si Min (S(t)) ≤ L, où le Min de S(t) est pris entre 0 et T,
sinon.
i) Ensuite, montrez que le CDDO ci-dessus peut être parfaitement dupliqué par un
portefeuille « long » d’un Call Down-and-Out (CDO) de strike (L-1) et de barrière L
et « court » d’un Call Down-and-Out (CDO) de strike L et de barrière L La
démonstration peut être algébrique ou géométrique, mais doit être précise.
j) Enfin, utilisez le résultat obtenu en d) pour évaluer le PDDI.