Théorème d`Euler - Site de Daniel Huilier

Licence LPAI, 2009-2010, Théorème d’Euler appliqué au coude – Daniel Huilier1
Tiré du Ryhming -EPFL
Théorème d’Euler (forme intégrale de quantité de mouvement en fluide parfait)
De manière générale si on considère un volume fixe V dans l’espace (appelé volume de
r
contrôle), fermé par une surface S, n étant le vecteur normal local à un élément de surface dS,
la forme intégrale des équations d’Euler est :
r
rr r
∂ r
(ρv)dV + ∫∫ (ρv.n ) vdS = ∑ F
V ∂t
S
∫∫∫
(1)
r
où F représente les forces non visqueuses (pression, forces de volume…) s’exerçant sur le
volume V dans le cadre des fluides parfaits.
Considérons l'écoulement stationnaire d'un fluide incompressible dans une conduite
présentant un coude d'angle θ, (figure ci-dessous).
On cherche la force exercée par le fluide sur la conduite entre les sections S1 et S2. On peut
supposer que la vitesse et la pression sont uniformes au travers des surfaces S1 et S2. La
densité du fluide est ρ et on peut négliger la pesanteur. Pour ce genre de problème nous
pouvons appliquer les équations d’Euler
r
rr r
∂ r
(ρv)dV + ∫∫ (ρv.n ) vdS = ∑ F
V ∂t
S
∫∫∫
(1)
où le premier terme traduit le taux de variation local de la quantité de mouvement contenu
dans le volume fixe V. Observons que (1) est une équation vectorielle constituée de trois
composantes; par exemple, dans un repère cartésien on obtient une équation pour chacune des
r
directions i, j et k , avec v( u , v, w ) :
r
∂
(ρu )dV + ∫∫ ρv n udS = (∑ F) X
V ∂t
S
∫∫∫
1
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Tiré du Ryhming -EPFL
r
∂
(
ρ
v
)
dV
+
ρ
v
vdS
=
(
F
)Y
∑
n
∫∫∫V ∂t
∫∫S
(2)
r
∂
(
ρ
w
)
dV
+
ρ
v
wdS
=
(
F
)Z
∑
n
∫∫∫V ∂t
∫∫S
On cherche ici les forces totales s’exerçant sur la conduite. L'écoulement étant stationnaire, on
obtient dans un repère cartésien (x,y) à partir de (2) :
∫∫ ρv
n
udS = Fx
(3a)
∫∫ ρv
n
vdS = Fy
(3b)
S
S
Afin de choisir le volume de contrôle observons que la force exercée par le fluide sur la paroi
de la conduite est opposée à une force de même grandeur exercée par la paroi de la conduite
sur le fluide. Un volume de contrôle est donc choisi (figure ci-dessus) où la paroi de la
conduite ne fait pas partie du volume de contrôle. Les composantes des forces surfaciques
agissant sur ce volume de contrôle sont
FX = p1S1 − p 2S 2 cos θ + K X
FY = −p 2S 2 sin θ + K Y
(4a)
(4b)
où K X et K Y sont les composantes des forces exercées par la paroi de la conduite sur le
volume de contrôle. Le taux de variation de la quantité de mouvement par rapport au temps
dans la direction de i est donné par
∫∫ ρv
S
n
udS = ∫∫
S1+S 2
rr
(ρv.n )udS
(5)
r r
A la sortie de la conduite les vecteurs n et v sont orientés dans le même sens, par conséquent
r
ρv n = ρv 2 . De plus, la composante i du vecteur vitesse en S2 vaut u = v 2 . cos θ . A 'entrée n et
r
v sont orientés en sens inverse et ρv n = −ρv1 ; la composante i du vecteur vitesse vaut u = v1
en S1. Ainsi
∫∫
S1+S 2
ρv n udS = ρv 22S 2 cos θ − ρv12 S1 = FX
(6)
De la même façon dans la direction j
∫∫ ρv
S
n
vdS = ∫∫ ρv n vdS = ρv 22S 2 sin θ = FY
S2
(7)
Finalement appelons PX et PY les composantes des forces exercées par le fluide sur la paroi
de la conduite. Selon la loi de Newton, action égale réaction, on a donc
PX = −K X et PY = −K Y
2
(8)
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Par conséquent, avec (4a,4b), il vient que :
PX = p1S1 − p 2S 2 cos θ + ρv1S1 ( v1 − v 2 ) cos θ
PY = −p 2S 2 sin θ − ρv1S1 v 2 sin θ
(9a)
(9b)
où l'équation de continuité (ρv1S1 = ρv 2S 2 ) a été utilisée.
La nature visqueuse du fluide n'intervient pas explicitement dans cet exemple. Néanmoins, la
viscosité peut avoir une influence sensible sur les distributions de v 2 et p 2 au droit de la
section S2. Ici, par raison de simplification ces distributions ont été supposées uniformes.
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