Correction CI 2007 - Collège de La Salle Pibrac

S1
2007
« Les mathématiques sont la poésie des sciences. »
Léopold Sedar Senghor (1906-2001)
CONCOURS INTEGRAλ
Concours scolaire solidaire
Lundi 29 janvier 2007 – Durée : 45 min
CORRIGE 6ème – 5ème
De drôles de maths !
Organisé au profit de l’opération
« PROTEGER, ALERTER, SECOURIR AU PEROU ! »
Une seule bonne réponse par question.
BAREME
Réponse correcte :
Réponse erronée :
Réponse absente ou ambiguë :
+ 3 pts
-2 pts
0 pt
Crédit :
120 pts
EPREUVE SANS CALCULATRICE : avec un peu
d’astuce, les calculs s’effectuent tous simplement.
CHAQUE PARTICIPANT au Concours Integraλ
reçoit le Livret Scientifique Integraλ, ainsi qu’un
abonnement découverte de 5 numéros à Mon
Quotidien ou l’Actu.
ACTION SCOLI’DAIRE – Association Loi de 1901 – Préfecture du Rhône n° 0691049381 – SIRET n°450 069 141 000 23
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Tél. : 00.33 (0) 4.72.34.17.25 – Email : [email protected] – Internet : www.concours-integral.org
ème
6
λ
ème
–5
« Drôles de maths ! » – 2007
1
Allez, pour se mettre dans l’ambiance, on démarre avec une question bizarre, mais facile !
Combien un cercle aa-t-il de côtés ?
A) 10cm
B) 3
C) 30 euros D) 2π r
E) Aucune des autres propositions
Ce sont les triangles ou les quadrilatères qui ont des côtés, pas les cercles !
Donc aucune des quatre premières propositions n’est valable.
La réponse correcte est la réponse E.
λ
2
Le professeur Laquiche ne va pas très fort. Il a abusé des lardons… Peux-tu l’aider à
répondre à cette question ?
Parmi les nombres suivants, quels sont ceux dont la somme du chiffre des centaines et celui
des unités est égale au chiffre des dizaines ?
A) 231
B) 341
C) 314
D) 413
E) 990
Il s’agit des nombres :
car 2 + 1 = 3
23 1
34 1
990
car 3 + 1 = 4
et
car 9 + 0 = 9
Les nombres dont la somme du chiffre des
des unités et celui des centaines est égale
égale au chiffre
des dizaines sont 231, 341 et 990.
990.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les
les réponses
réponses A, B et E.
On montre que les nombres de trois chiffres qui possèdent cette propriété sont les multiples
de 11.
λ
3
C’est Kevina qui téléphone à Ben Hur. « Ecoute, je veux bien m’occuper de tes chevaux,
mais là, il y a de l’abus. Chacun d’entre eux produit 20kg de crottin par jour ! C’est
hallucinant ! »
Combien de kilogrammes de crottin produisent les 10 chevaux de Ben Hur en 10 jours ?
A) 200 kg
B) 2 000 kg
C) 20 000 kg
D) 21 010 kg
E) 2 tonnes
Le calcul est très simple, il suffit de multiplier !
On a, en kg :
20 × 10 × 10 = 2 000
En 10 jours, 10 chevaux produisent 2 000 kg de crottin, soit 2 tonnes !
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les
les réponses
réponses B et E.
Rem. : en France, il y a environ 1 million de chevaux. Pour une année, cela représente
7 300 000 tonnes de crottin !
λ
4
Comme Dent de requin ne se lave jamais les dents, le nombre de bactéries dans sa
bouche est chaque jour multiplié par 2.
Si un jour sa bouche contient 1 000 bactéries, combien en contiendracontiendra-t-elle au bout de 3
jours sans brossage ?
A) 1 025
B) Plus de 4 000 C) 80 centaines D) 8 000
E) 8 milliers
Au bout de 1 jour :
Au bout de 2 jours :
1 000 × 2
1 000 × 2 × 2
1 000 × 2 × 2 × 2 = 8 000
Au bout de 3 jours :
On remarque que 8 000 est plus grand que 4 000.
On remarque également que :
8 000 = 80 × 100
Au bout de 3 jours, la bouche de Dent de Requin contiendra plus de 4 000 bactéries. Elle en
contiendra exactement 8 000, ou encore 8 milliers, ou encore 80 centaines.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses B, C, D et E.
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ème
6
λ
ème
–5
« Drôles de maths ! » – 2007
5
Quand tu auras 9 fois mon âge, dit l’ancien, tu auras exactement 2 007 ans.
Quel est l’âge de l’ancien ?
A) 9 ans
B) 81 ans
C) 223 ans
D) 2 007 ans
E) Un multiple de 5
La somme des chiffres de 2007 est :
2+0+0+7 = 9
Ce nombre est un multiple de 9, ce qui prouve que 2007 est un multiple de 9.
La seule proposition possible est 223, car : 9 × 223 ≈ 10 × 200 ≈ 2 000
En posant la multiplication, on obtient bien :
9 × 223 = 9 × 200 + 9 × 20 + 9 × 3 = 1 800 + 180 + 27 = 1 800 + 207 = 2 007
L’ancêtre est âgé de 223 ans.
La réponse correcte est la
la réponse C.
λ
6
Après de longues études, tu es devenu l’expert mondial du périmètre. Inutile de te rappeler
que le périmètre d’un cercle de rayon r vaut environ : 6,3× r .
Parmi les figures suivantes, quelles sont celles dont
dont le périmètre est compris entre
5 et 7 ?
A)
B)
C)
D)
E)
1
1
1
1
1,5
2
1
1
1
Le périmètre d’une figure est la longueur de son tour.
Le périmètre de la figure A est :
1+1+1+1 = 4
Le périmètre de la figure B est environ :
6,3 × 1 = 6,3
Le périmètre de la figure C est :
1+ 2 +1+ 2 = 6
Le périmètre de la figure D est :
1,5 + 1,5 + 1,5 + 1,5 = 6
Le périmètre de la figure E est environ :
6,3 × 1 + 1 + 1 = 8,3
Les figures dont le périmètre est compris entre 5 et 7 sont les figures B, C et D.
D.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses B, C et D.
λ
7
A et B jouent à se lancer des troncs d’arbres ! A possède 30 troncs d’arbres.
er
* Au 1 coup, A lance 1 tronc à B et B lance 2 troncs à A ;
ème
* Au 2
coup, A lance 2 troncs à B et B lance 3 troncs à A ;
ème
* Au 3
coup, A lance 3 troncs à B et B lance 4 troncs à A ;
Et ainsi de suite.
Sachant qu’à la fin de la partie, A possède 39 troncs, combien aa-t-on joué de coups ?
A) 2
B) Plus de 3
C) 6
D) 9
E) 12
On s’aperçoit qu’à chaque coup, le nombre de troncs d’arbres que possède A augmente de
1. Il faudra donc 9 coups pour que ce nombre passe de 30 à 39.
9 coups ont
ont été joués pour que A possède 39 troncs d’arbres.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses B et D.
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ème
6
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ème
–5
« Drôles de maths ! » – 2007
8
La semaine dernière, Océane a effectué deux opérations +5 et x3, mais comme elle a
fait le homard toute la semaine, elle a oublié la valeur d’un des deux nombres. Et voilà !
En rangeant sa chambre, elle a retrouvé les résultats, pêle-mêle : 24 et 13.
Quelle est la valeur du nombre entier ?
A) 3
B) Plus grand que 4 C) 5
D) 8
E) 9
On remarque que 4 + 5 = 9 et 4 × 3 = 12 . Or, les résultats des opérations doivent être 24 et
13. Le nombre recherché doit donc être plus grand que 4.
On peut trouver les solutions en essayant les différentes valeurs proposées.
On peut également remarquer que le résultat de la multiplication x3 est un multiple de 3,
c’est donc 24 car 13 n’est pas un multiple de 3.
En conséquence +5 vaut 13 et donc vaut 8. On vérifie alors que x3 = 8x3 = 24.
Le nombre vaut 8. Il est plus grand que 4.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses B et D.
λ
9
Au congrès annuel des mathématiques, on a invité des fractions représentant toutes le
même nombre, sauf l’une d’entre elles qui s’est introduite au nez et à la barbe du service
d’ordre !
Quelle est cette fraction ?
A)
1
2
B)
2
4
C)
4
6
D)
1,5
3
E)
1,3
2, 6
Dans chacun des cas, sauf pour la proposition C, le dénominateur est le double du
numérateur. Ces fractions représentent le même nombre : 0,5 (sous forme décimale).
C’est donc
4
l’intrus !
6
La réponse correcte
correcte est la réponse C.
λ
10
On a représenté ci-contre un chef d’œuvre de la « carrissité ». Nous
comprenons bien entendu ton émotion devant tant de beauté et t’accordons
quelques instants de méditation… Mais la réalité reprend vite le dessus !
Combien peuxpeux-tu compter de carrés sur cette figure ?
A) Au moins 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) Au moins 9
En étant très attentif, on repère des carrés de différentes tailles. Il suffit de les compter, sans
en oublier !
3 grands carrés
2 carrés moyens
1 petit carré
2 mini carrés
On a : 3 + 2 + 1 + 2 = 8
Dans ce chef
chef d’œuvre de la « carrissité », on peut compter 8 carrés,
carrés, donc au moins 5.
5.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses A et D.
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ème
6
ème
–5
« Drôles de maths ! » – 2007
λ
11
Pour un petit déjeuner gaulois, on a rassemblé 12 sangliers. Obélix en
mange la moitié, Astérix le tiers et Idéfix le quart. Miam !
Combien en restereste-t-il ?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) Ce problème n’a pas de solution
12
=6.
2
12 3/ × 4
Le tiers de 12, c’est :
=
=4
3
3/
12 3 × 4/
Le quart de 12, c’est :
=
=3
4
4/
Donc au total, 6 + 4 + 3 = 13 sangliers ont été mangés. Ce qui est impossible puisqu’au
La moitié de 12, c’est :
départ, il n’y a que 12 sangliers !
Le problème est impossible, l’énoncé est incorrect.
La réponse correcte est la réponse E.
λ
12
Oscar a 3 filles. Chacune d’elle déclare : « J’ai 2 frères et 2 sœurs ». On s’y perd !
Combien Oscar aa-t-il d’enfants ?
A) 4 exactement B) Au moins 4
C) 5
D) 6
E) 9
Oscar a au moins 5 enfants : ses trois filles et les deux frères de la première fille. Mais les
frères de la première fille sont les mêmes que les frères des deux autres filles. Finalement, la
famille est composée de 3 filles et de 2 garçons, donc 5 enfants.
Oscar a 5 enfants.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses B et C.
λ
13
C’est le nombre 60 qui traverse un carrefour. Arrive un semi-remorque. Et Paf le nombre !
On ne retrouve que ses diviseurs !
Combien le nombre 60 aa-t-il de diviseurs différents ?
A) Au moins 4
B) 6
C) Au moins 8
D) 10
E) 12
Trouvons toutes les décompositions de 60 en produits de 2 nombres entiers.
On a :
60 = 1× 60 = 2 × 30 = 3 × 20 = 4 × 15 = 5 × 12 = 6 × 10
Les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Le nombre 60 possède donc 12 diviseurs différents.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses A, C et E.
λ
14
Electrolyte est surexcité. Il veut taper sur son ordinateur tous les entiers de 1 à 60, en
toutes lettres. Le psychologue est intervenu, mais impossible de l’arrêter !
Combien de fois devradevra-t-il frapper sur la touche U ?
A) Plus de 25
B) 30
C) Plus de 35
D) 40
E) 45
De 1 à 9 inclus, il l’utilise 5 fois :
un, deux, quatre, huit, neuf
De 10 à 19, encore 5 fois : douze; quatorze; quinze; dix-huit; dix-neuf
De 20 à 29, 5 fois :
il s’agit des mêmes chiffres que de 1 à 9
De 30 à 39, 5 fois :
il s’agit des mêmes chiffres que de 1 à 9
De 40 à 49, 5 + 10 fois :
mêmes chiffres que de 1 à 9 et 10 fois pour quarante
De 50 à 59, 5 + 10 fois :
mêmes chiffres que de 1 à 9 et 10 fois pour cinquante.
60, 0 fois.
fois
On a : 5+5+5+5+15+15 = 50
Donc, en tout, Electrolyte utilisera 50 fois la touche U,
U, soit plus de 25 et plus de 35.
Les réponses
réponses correctes
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réponses A et C.
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« Drôles de maths ! » – 2007
15
Année 2025. Une étrange tribu est apparue à la surface de la Terre, la tribu des
cyberdoïdes. Composée de 15% des 8 milliards de Terriens, elle regroupe des
invidividus dont l’index gauche a été remplacé par un cyberdoigt pouvant servir
de téléphone, d’antenne satellite, de presse-patates, etc. !
Combien y’ay’a-t-il de millions de cyberdoïdes
cyberdoïdes ?
A) 815
B) 1 200
C) Moins de 4 000 D) 158 000 E) Plus de 8 milliards
On raisonne en millions.
8 milliards de personnes sur terre, c’est 8 000 millions.
15% sont des cyberdoïdes, c’est moins de la moitié, donc moins de 4 millions.
15% de 8 000, c’est :
15
× 8 0 00 = 15 × 80 = 1 200 millions
100
En 2025,
2025, il y aura moins de 4 000 millions de cyberdoïdes sur Terre. Il y en aura exactement
1 200 millions.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses B et C.
C.
λ
16
Petite pause géométrique. Seuls les yeux travaillent !
(A1)
(A2)
(A3)
(A4)
(A5)
Concernant les aires blanches cici-dessus,
dessus, quelles
quelles sont les propositions exactes ?
A) A1=A2
B) A2≠A3
C) A3=A4
D) A4≠A5
E) A5=A1
On observe que pour chacune des 5 figures, la partie grise est un assemblage
des 4 quarts d’un même disque, disposés différemment.
Les cinq aires grises sont donc toutes égales.
Et si les aires grises sont égales, les aires blanches le sont aussi, puisqu’elles
sont égales à l’aire du carré moins celles des aires grises.
A1=A2, A3=A4, A5=A1 sont les propositions exactes.
exactes.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses A, C et E.
λ
17
Tous les matins, Doigts de Fée doit choisir ses gants de boxe dans un tiroir
contenant pêle-mêle 4 paires de gants roses et 4 paires de gants blancs.
Quel nombre minimum de gants doitdoit-il extraire du tiroir pour être certain
d’obtenir une paire de gants de la même couleur ?
A) Au moins 3
B) 4
C) 5
D) 8
E) 9
Dans le tiroir, on a 4 gants gauches roses, 4 gants gauches blancs, 4 gants droits roses et 4
gants droits blancs.
Les cas les plus défavorables, c’est lorsque Doigts de Fée extrait les 8 gants d’une même
main à la suite, ou s’il 4 gants gauches roses et 4 gants droits blancs à la suite. Il lui faut en
choisir un neuvième pour obtenir une paire de gants de la même couleur.
Dans le cas le plus défavorable, il faut tirer 9 gants pour être certain d’avoir une paire de
gants de la même couleur.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les réponses
réponses A et E.
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6
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–5
« Drôles de maths ! » – 2007
18
Misère ! Sur la Terre, l’homme détruit en moyenne 28 hectares de forêts par minute
2
(1 ha=10 000 m ).
En 1h40min, la surface détruite est équivalente à une bande rectangulaire de :
A) 28km x 1km B) 280m x 100m C) 2,8km x 1km D) 2,8km x 10km E) 0,28km x 10km
Un hectare est l’aire d’un carré de 100m de côté.
1ha = 100m × 100m = 10 000m 2
2
En 1 minute, l’homme détruit, en m :
28 × 10 000 = 280 000
On a donc :
1h40min, c’est 1heure, donc 60 minutes, augmentées de 40 minutes, soit 100 minutes.
2
La surface détruite en 1h40min est, en m :
280 000 × 100 = 28 000 000
Cette surface est celle d’un rectangle de 28 000m x 1 000m, soit 28km x 1km, ou encore
2,8km x 10km.
En 1h40min, la surface de forêt détruite est équivalente à une bande rectangulaire de 28km x
1km, ou encore de 2,8km x 10km.
Les réponses
réponses correctes
correctes sont les
les réponses
réponses A et D.
λ
19
Il est 15h00. Même pas peur !
Et bien vasvas-y, quelle heure serasera-t-il dans 400 heures ?
A) 7h00
B) 10h00
C) 15h00
D) 19h00
E) 23h00
On peut essayer de savoir combien il y a de tranches de 24h, donc de jours, dans 400
heures. On divise 400 par 24 et on trouve que le reste est 16.
On a :
400 = 16 × 24 + 16
400 heures, c’est donc 16 jours entiers de 24 heures, plus 16 heures.
Par conséquent, dans 400 heures, nous serons 16h après 15h00.
9h après 15h00, ce sera minuit, et 7h plus tard, ce sera 7h00 du matin.
400 heures après 15h00,
15h00, il sera 7h00.
La réponse correcte est la réponse A.
λ
20
David le Géant s’amuse avec ses éléphants. Il essaie de tous les empiler pour
créer des pyramides !
Il s’aperçoit que s’il fait des piles de 3 éléphants, il lui reste 2 éléphants, s’il fait
des piles de 4, il lui en reste 3 et enfin s’il fait des piles de 5, il lui en reste 4.
Combien David le Géant
Géant possèdepossède-t-il d’éléphants ?
A) 29
B) Entre 80 et 100
C) Entre 100 et 150
D) 153
E) 187
Rajoutons (provisoirement) un éléphant. Alors, dans chacun des cas, David peut faire ses
piles sans qu’il reste d’éléphants.
Le nouveau nombre d’éléphants est donc un multiple de 3, de 4 et de 5, donc de leur produit
3 × 4 × 5 = 60 .
Parmi les réponses proposées, il ne peut s’agir que de 120.
David le Géant possède donc 120120-1=119
1=119 éléphants.
éléphants.
La réponse correcte est la réponse C.
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