COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES

INSTITUT NATIONAL
DES TELECOMMUNICATIONS
Ingénieurs 2ème Année 2003-2004 CN21
COMMUNICATIONS
NUMÉRIQUES
TRAVAUX PRATIQUES
- M. D. P. 2 Modulation de Phase
à deux états
TRAVAUX PRATIQUES
- M. D. P. 2 -
Labo C206
Consignes d’organisation des TP :
Il y a en tout deux séances de Travaux Pratiques en CN21,
une sur la modulation de phase MDP2 (C206) et une sur les séquences PSA (B02).
Les TP se font par sous-groupes de 12. Lorsqu’un groupe (A par ex.) a une séance de
TP, il est divisé en deux sous-groupes A1 & A2. Lors de la première séance (TP1) le groupe
A1 se rend en B02 pour faire le TP PSA et le groupe A2 en C206 pour faire le TP MDP2. Par
la suite, pour la deuxième séance (TP2), les sous-groupes permutent.
Le TP PSA se fait individuellement, un élève par station en B02.
Le TP MDP2 se fait en binômes en C206.
Les TP PSA & MDP2 demandent une préparation incontournable qui est notée ainsi
que le travail réalisé pendant la séance.
Préparation du TP MDP2 :
Il s’agit de visualiser les signaux numériques sur des appareils : Oscilloscope, analyseur
de spectre, multimètre … Leur utilisation n’est pas évidente, il est conseillé à ceux qui
n’auraient pas encore pratiqué ces appareils de venir le faire en C206 avant la séance de TP qui
est assez courte. Me contacter en C208.
La préparation du TP est notée et doit être remise en début de séance par le binôme
(ou monôme). En cas d’oubli la note est zéro.
Au cours de la séance de TP MDP2, qui dure 3H, chaque binôme rédige un compte
rendu qui doit être remis à la fin de la séance.
La note finale de ce TP est une moyenne sur les notes de préparation, de compte rendu
et du comportement lors de la séance. Cette dernière peut différencier les élèves du binôme.
Le Coordonateur
R. Lamberti
1
SOMMAIRE
1
Rappels ....................................................................................................................... 6
1.1
Le Signal Numérique Binaire..................................................................................... 6
1.1.1
Code binaire NRZ (non retour à zéro)................................................................... 6
1.1.2
Écriture temporelle d' un signal numérique binaire.
................................................. 7
1.1.3
DSP du signal codé binaire NRZ........................................................................... 8
1.2
Modulation par Déplacement de Phase à 2 États........................................................ 9
1.2.1
Modulation cohérente........................................................................................... 9
1.2.2
Modulation par transitions ou différentielle ......................................................... 13
1.2.3
Spectre des signaux modulés en phase. ............................................................... 15
1.3
Démodulation d' une onde Modulée par Déplacement de Phase................................ 17
1.3.1
Modulation-démodulation cohérente................................................................... 17
1.3.2
Modulation-démodulation différentielle............................................................... 18
1.4
Probabilité d' Erreur................................................................................................. 20
1.4.1
Références bibliographiques :.............................................................................. 24
2
2.1
2.2
2.3
2.4
Préparation des T.P................................................................................................. 27
Modulation. ............................................................................................................ 28
Rapport Signal sur Bruit.......................................................................................... 29
Estimation de la probabilité d’erreur. ....................................................................... 30
Démodulation Différentielle..................................................................................... 30
3
Description du Matériel ............................................................................................ 35
3.1
La Maquette. .......................................................................................................... 35
3.1.1
Description de la partie émission......................................................................... 35
3.1.2
Description de la partie réception........................................................................ 35
3.1.3
Le synoptique. .................................................................................................... 37
3.2
Les Appareils de Mesure. ........................................................................................ 37
3.3
La Chaîne de Transmission...................................................................................... 38
4
Travaux Pratiques. .................................................................................................... 47
4.1
Modulation MDP-2................................................................................................. 48
4.1.1
Signal MDP-2 non filtré (Db ≈ 1,1Mbit/s)........................................................... 48
4.1.1.a)
Observer à l' oscilloscope: .............................................................................. 48
4.1.1.b)
Régler le débit binaire à 1.1MHz. ................................................................... 49
4.1.2
Signal MDP-2 filtré. ........................................................................................... 49
4.1.2.a)
Expliquer pourquoi le signal modulant binaire : .............................................. 49
4.1.2.b)
Vérifier qu' au débit de Nyquist D( b
........................................... 49
4.2
Démodulation Cohérente......................................................................................... 50
4.2.1
Signal MDP-2 bruité et filtré............................................................................... 50
4.2.1.a)
Pour une puissance de bruit donnée,............................................................... 50
4.2.2
Démodulation sans bruit. .................................................................................... 50
2
4.2.2.a)
Sans bruit,...................................................................................................... 50
4.2.2.b)
Sans bruit,...................................................................................................... 51
4.2.2.c)
Observer le spectre......................................................................................... 51
4.2.3
Diagramme de l’œil. ........................................................................................... 51
4.2.3.a)
Sans bruit, au débit optimal ............................................................................ 51
4.2.3.b)
Sans bruit et avec le filtre passe-bande............................................................ 51
4.2.3.c)
Observer le diagramme de l' œil
....................................................................... 51
4.3
Détection & Régénération....................................................................................... 52
4.3.1
Détermination du rapport Eb/N0......................................................................... 52
4.3.1.a)
Calculs intermédiaires : .................................................................................. 52
4.3.1.b)
Mesure de la puissance Ps .............................................................................. 53
4.3.1.c)
Mesure de la puissance de bruit Pb ................................................................. 54
4.3.1.d)
Variation du rapport Eb/N0 .......................................................................... 54
4.3.2
Réglage du détecteur. ......................................................................................... 54
4.3.2.a)
Pré-réglage de l’instant d’échantillonnage : ..................................................... 54
4.3.2.b)
Pré-réglage du seuil :...................................................................................... 54
4.3.2.c)
Réglage optimal de la chaîne de transmission :................................................ 55
4.3.3
Tracé de la courbe Pr{Erreur} = f (Eb/N0)......................................................... 55
4.4
Démodulation Différentielle .................................................................................... 57
4.4.1
Chaîne de modulation démodulation. .................................................................. 57
4.4.1.a)
Préciser (valeur littérale et valeur numérique) : ............................................... 57
4.4.1.b)
Sans bruit, avec le filtre passe-bande .............................................................. 57
4.4.1.c)
Sans bruit et au débit de Nyquist, ................................................................... 58
4.4.1.d)
Sans bruit, avec le filtre passe-bande FBd 4823, ............................................. 58
4.4.2
Détection Régénération. ..................................................................................... 58
5
ANNEXES ................................................................................................................. 59
5.1
Estimation de la Probabilité d’Erreur ....................................................................... 60
5.2
Erreur systématique ................................................................................................ 62
5.3
Le Diagramme de “l’Œil” ........................................................................................ 64
5.3.1
Introduction ....................................................................................................... 64
5.3.2
Canal de Transmission ........................................................................................ 64
5.3.3
Critère de NYQUIST ......................................................................................... 65
5.3.4
Superposition d’Etats ......................................................................................... 66
5.3.5
Diagramme de "l' OEil" Pratique
.......................................................................... 68
5.3.5.a)
La Rapidité De Modulation ............................................................................ 68
5.3.5.b)
La Bande Passante & L’I.E.S. ........................................................................ 68
5.3.5.c)
La Puissance du Bruit .................................................................................... 70
3
4
MODULATION par DÉPLACEMENT
de PHASE à 2 ÉTATS
PARTIE
THÉORIQUE
5
INTRODUCTION
La transmission d' un signal numérique binaire sur un canal de transmission équivalent à
un filtre "passe-bande" nécessite une opération de modulation d' une onde porteuse sinusoïdale.
Comme pour les communications analogiques, la modulation portera sur un (ou plusieurs) des
paramètres de la porteuse : l' amplitude, la fréquence ou la phase. Les trois éléments peuvent
être employés mais la modulation de phase reste la plus utilisée.
L' objet du présent T.P. est d' étudier les propriétés de la modulation de phase la plus
simple qui est la modulation par déplacement de phase à 2 états (MDP-2) ou binary
phase shift keying (BPSK).
1 Rappels
Un message numérique binaire est constitué par une suite de symboles binaires "0" et
"1" de durée Tb = T. A un (ou plusieurs) des symboles est associé un état électrique de durée
Ts pour constituer le signal numérique binaire.
La quantité
la quantité
1
= Db s' appelle débit numérique binaire et s' exprime en bit/s. D' autre part,
Tb
1
= Ds = R s’appelle débit numérique en ligne ou débit de symboles et
Ts
s' exprime enbauds (le terme R de rapidité de modulation est également utilisé mais il est en
principe réservé à la télégraphie).
!"!" #%$'&'(*),+.-0/1+.23(5461798:-0$;-<23('=$;>'2@?BAC;23$'D
Règle de codage :
état logique état électrique
0
−V Volts
1
+V Volts
Dans le cas du code binaire NRZ, la durée Tb d' un état logique est égale à la duréeTs
1
d' un état électrique d' oùDb = Ds =
en posant : Tb = Ts = T.
T
6
&
'!('
)
!
"$#
%
Pour calculer la D.S.P. d' un signal numérique binaire et utiliser des notions définies en
“Théorie du signal”, le passage du message numérique binaire au signal numérique binaire
transmis se fait en 2 étapes :
1/ À partir de la suite binaire {bk} qui constitue le message numérique binaire, un
organe appelé généralement “codeur binaire à M-aire” génère l’équivalent d’une suite
d' impulsions de Dirac dont les “poids”, notésak, dépendent du nombre d' états électriques
utilisé par le code.
Dans le cas du code binaire symétrique NRZ le nombre d' états électriques est de 2, et les
“poids” des impulsions de Dirac sont +1 et −1, l' organe s' appellecodeur
“
binaire à binaire”.
+∞
2/ La suite d' impulsions de Dirac
∑
k =−∞
ak δ (t − kT ) attaque un filtre appelé “formant”
de réponse impulsionnelle g(t), {cas du code binaire où Ts = Tb = T}.
g(t)
V
t
Dans le cas du NRZ : g (t ) = V ⋅ Π T (t − T2 ) .
0
Ts
À la sortie de ce filtre, on récupère le signal numérique binaire x(t) qui s' écrit :
x (t ) =
+∞
∑
k =−∞
ak δ (t − kT )∗ g (t ) =
+∞
∑
k =−∞
ak g (t − kT )
+∞
{bk}
message
numérique
binaire
∑ ak g(t − kT)
{ak}
Codeur
Binaire
à M-aire
Formant
g(t)
+∞
k= − ∞
signal numérique
binaire
∑ akδ ( t − kT)
k= − ∞
figure 1-1 : Synoptique du codeur binaire à signal BdB.
7
Exemple :
{bk}
1
0
1
1
0
0
1
0
1
Tb
+1
{ak}
t
+∞
∑ akδ (t − kT)
−1
k=−∞
+V
t
+∞
∑ ak g(t − kT)
−V
k= − ∞
Ts
figure 1-2 : Codage Binaire à Binaire symétrique NRZI.
! "$#&%('!)
*
En supposant les états logiques “0” et “1” indépendants (suite i.i.d) et équiprobables, la
densité spectrale de puissance (DSP) ou spectre du signal numérique binaire symétrique est :
2
 sin πν T 
2
2
G (ν ) = V T 
 = V T (sincπν T )
 πν T 
2
1
2
V T
0.5
f
0
1
2
3
figure 1-3 : Spectre du signal binaire symétrique NRZI.
Il peut être intéressant de noter les résultats suivants :
8
4
1T
∫
−1 T
G (ν ) dν = 0.904 V 2
1 2T
et
∫
−1 2T
G (ν ) dν = 0, 775 V 2
Ce qui signifie que 90% de la puissance est contenue dans le lobe principal et que
 1 1 
l' intervalle de Nyquist −
,
en contient 77,5%.
 2T 2T 
!"# $ % & ')
( '+*,
-/.102.3- 46587298:1;8<>=?52@BA852CED2FHG2@E<IG
A chacun des éléments binaires 0 et 1 on associe une certaine valeur de la phase ϕ d' une
onde porteuse de fréquence ν0 pendant le temps T.
Règle de codage :
Symbole Phase
0
ϕ0
1
ϕ1
Le récepteur doit pouvoir distinguer les phases ϕ0 et ϕ1, et ceci le mieux possible
compte tenu du bruit de transmission.
Il est donc naturel de choisir les phases ϕ0 et ϕ1, aussi éloignées que possible, ce qui
conduit à : ϕ1 − ϕ 0 = π
Remarque :
Deux cas peuvent être envisagés selon que la fréquence f 0 et le rythme symbole
1
Ds =
sont ou non synchronisés entre eux.
T
1er cas : si f0 ⋅ T ∈ IN (modulation synchrone) la notion de phase à l' origine du
“temps bit” a un sens et l' on peut écrire le signal modulé MDP-2 :
s (t ) =
k =+∞
∑
k =−∞
ak ⋅ cos(2π
N
T
t ) ⋅ g (t − kT )
9
s (t ) =
ou
k =+∞
∑
cos(2π
k =−∞
N
T
t + φk ) ⋅ g (t − kT )
avec
φk ∈ {0, π }
Si f0 ⋅ T ∉ IN (cas le plus fréquent asynchrone) la notion de phase à
2ème cas :
l' origine du “temps bit” n' a plus de sens. Aux instants de transition, la phase reste la même ou
s' inverse selon la valeur du symbole binaire. La modulation MDP-2 s' écrit alors :
s (t ) =
k =+∞
∑
k =−∞
cos( 2π f 0 t + ϕ 0 + φk ) ⋅ g (t − kT )
avec toujours
φk ∈ {0, π }
La figure 1-4 ci-dessous représente le message numérique binaire, le signal MDP-2
synchrone pour f0= 2/T et le signal MDP-2 asynchrone pour f0= 1.65/T.
Binaire
{ak}
1
0
1
1
0
0
1
Ts
Cohérente
synchrone
MDP-2
Cohérente
asynchrone
figure 1-4 : Phases de la porteuse MDP-2. Modulation cohérente synchrone et asynchrone.
La réalisation pratique d' un modulateur cohérent à deux états de phase est simple, un
schéma de principe est donné ci-dessous.
M
Signal N.R.Z.
(symétrique)
Signal M.D.P.2
(cohérent)
Porteuse
(fréquence f0)
figure 1-5 : Réalisation pratique d'un modulateur cohérent. M = Modulateur en anneau.
Nous verrons dans la partie pratique comment est réalisé le modulateur en anneau.
10
Considérons maintenant les composantes en phase et en quadrature du signal MDP-2 :
s (t ) =
k =+∞
∑
k =−∞
cos(φk ) ⋅ g (t − kT ) ⋅ cos(2π f 0 t + ϕ 0 ) −
Soit :
s (t ) = Re
{(∑ e
D’enveloppe complexe :
k =+∞
∑
k =−∞
jφk +ϕ 0
sin(φk ) ⋅ g (t − kT ) ⋅ sin(2π f 0 t + ϕ 0 )
)
⋅ g (t − kT ) ⋅ e jω 0t
k
}
α s (t ) = ∑ k e jφk +ϕ 0 ⋅ g (t − kT )
( Dans le cas particulier où ϕ0= 0 , φk ∈ {0, π } et g (t ) = V ⋅ Π T (t − T2 ) nous avons :
α s (t ) = ∑ k ak ⋅ g (t − kT ) qui est le signal binaire NRZ du paragraphe (I.1) avec ak = ±1 . )
Cette dernière notation a un très gros avantage : elle permet de traiter la classe complète
des modulations de phase filtrées (Une modulation est filtrée à l' émission pour restreindre sa
largeur spectrale et elle est filtrée à la réception pour éliminer du bruit).
+V
∑ k ak ⋅ g ( t − kT )
t
−V
Ts
+U
∑ k ak ⋅ g f (t − kT )
t
−U
figure 1-6 : Enveloppe complexe de la MDP-2 non filtrée et filtrée.
On rappelle que si un filtrage passe-bande de fonction de transfert H(f) présentant une
symétrie hermitienne autour de f0 s' applique à un signal P.S.K de la forme :
s (t ) =
k =+∞
∑
k =−∞
ak ⋅ g (t − kT ) ⋅ cos(2π f 0 t ) −
k =+∞
∑
k =−∞
bk ⋅ g (t − kT ) ⋅ sin( 2π f 0 t ) ,
le signal filtré sera de la forme :
(
)
(
s f (t ) = ∑ k ak ⋅ g f (t − kT ) cos 2π f 0t + ϕ f0 − ∑ k bk ⋅ g f (t − kT ) sin 2π f 0t + ϕ f0
)
11
Avec ϕ f0 = arg  H ( f 0 ) et
g f (t ) =
1α
2 h
(t ) ∗ g ( t )
α h (t ) ←
→ Αh ( f ) = 2 H + ( f + f 0 )
TF
αh(t) est l’enveloppe complexes de h(t) et H+(f) la partie de H(f) pour les fréquences positives.
Arg(H(f))
|H(f)|
2π
−f0
0
f0+R/2
f0
−2π
figure 1-7 : Module et phase d’un filtre passe-bande de Nyquist autour de la porteuse f0.
Αh(f)
αh(t)
T.F.
f
−R/2 0
R/2
T
0
3T
2T
5T
t
4T
figure 1-8 : Fonction de transfert et réponse impulsionnelle de l’enveloppe complexe.
Filtre de Nyquist de facteur de débordement ρ = 0.5.
Une modulation est filtrée pour limiter la bande de fréquence utilisée. Elle est filtrée par
un filtre de Nyquist pour éviter l’interférence entre symboles. Dans ce cas une partie du filtrage
est faite à l’émission pour limiter la puissance (racine de Nyquist). L’autre partie est faite en
réception pour limiter le bruit de ligne et comprend le filtre adapté à la réception d’un symbole
(pour le canal BABG).
12
"!##$#
Nous verrons que la démodulation d' une porteuse modulée en phase d' une manière
cohérente exige la connaissance, à la réception de la phase de la porteuse d' émission, ce qui
peut présenter un inconvénient. Pour s' affranchir de cette difficulté on utilise la modulation
différentielle.
Un signal modulé par déplacement de phase est constitué d' une succession de morceaux
de porteuse de durée T. En modulation cohérente, c' est la valeur de la phase entre l' instant
nT
et l' instant n+1)T
(
qui est significative de l' information transmise pendant le même temps. En
modulation différentielle c' est le saut de la phase∆ϕ entre le (n−1)ième et le nième morceau de
porteuse qui traduit l' information transmise à l' instant
nT.
On peut choisir (par exemple) la correspondance suivante :
Symbole saut de Phase ∆ϕ
0
0
1
π
La figure 1-9 suivante illustre ce procédé de modulation (Pour plus de facilité, le tracé a
été fait dans le cas d’une modulation synchrones (voir page 8)
Binaire
{ak}
1
0
1
1
0
0
1
Ts
Cohérente
synchrone
MDP-2
Différentielle
synchrone
figure 1-9 : Sauts de phase en MDP-2 Cohérente et Différentielle.
La réalisation pratique d' un modulateur par transition est plus complexe. La méthode
différentielle implique un effet de mémoire qui ne peut être fabriqué directement. Celui-ci est
introduit sur le signal numérique lui-même (avant modulation) par un procédé dit de
“transcodage” qui va transformer la suite numérique { bk} en une suite numérique {dk}
traduisant les transitions (codage par transition).
13
 bk = 0 ⇒ d k = d k −1

 bk = 1 ⇒ dk = d k −1
Elles peuvent être réalisées simplement par le dispositif :
Les relations de transcodage sont les suivantes :
–
Q
D
H
Suite {dk}
Suite {bk}
Q
En fait le transcodeur est une bascule “D” fonctionnant en diviseur par 2. Il faudra dans
ces conditions commander le système avec la suite {bk}, sous forme RZ 50% pour pouvoir
présenter à chaque état “1” un front montant à l' entrée de “H”.
Le diagramme suivant résume le fonctionnement.
Suite {bk} NRZ
1
0
1
1
0
0
1
0
1
Tb
Suite {bk} RZ 50%
Suite {dk}
NRZ par transitions
figure 1-10 : Diagramme des temps du transcodage “cohérent-transition”.
D
Suite {bk} NRZ
Horloge H
&
RZ 50%
–
Q
H
Suite {dk}
Q
figure 1-11 : Montage réalisant le transcodage “cohérent-transition”.
Remarque : Autre montage possible d k = bk ⊕ d k −1
14
OU exclusif
Suite {bk} NRZ
Suite {dk} binaire
NRZ par transitions
≠1
Retard T
dk = bk ⊕ dk −1
T
figure 1-12 : Montage réalisant le transcodage “cohérent-transition”.
!"#
$%
&
Dans la détermination des spectres en modulation par déplacement de phase, on est
amené à distinguer deux cas : la modulation synchrone et la modulation non synchrone. On dit
que la modulation est synchrone s' il existe un rapport entier entre la fréquence de l' onde
porteuse et la fréquence rythme 1/T, c' est-à-dire si f0T = n, n ∈ IN . Cette distinction
apparaît nécessaire dans le calcul de la densité spectrale, mais il faut noter que le cas de la
modulation synchrone n' a aucun intérêt pratique dans le domaine des télécommunications, et
ceci pour deux raisons :
- La première est que le choix de f0 est imposée par le canal de transmission alors que la
valeur de T dépend du signal à transmettre; il n' y a donc aucune raison pour qu' existe une
relation entre f0 et T.
- La seconde se situe au niveau proprement technique : il est impossible d' assurer aux
fréquences élevées où l' on travaille une stabilité des oscillateurs telle que le produitf0T reste
absolument constant.
Le calcul de la densité spectrale de puissance d' un signal modulé par déplacement de
phase à M états (MDP-M) donne, en supposant les M phases indépendantes et équiprobables :
G( f ) =
A2T
sinc 2 (π ( f − f 0 )T ) + sin c 2 (π (− f − f 0 )T )
4
(
)
(1)
Le résultat est rigoureux pour M > 2, que la modulation soit synchrone ou non
synchrone. Par contre, dans le cas de la modulation de phase à deux états, il faut introduire un
terme correctif pour la modulation synchrone mais ce terme décroît très vite avec la fréquence,
si la fréquence porteuse f0 est grande devant la fréquence rythme.
On retiendra les conclusions suivantes :
15
1) La modulation par déplacement de phase est équivalente du point de vue spectral à
une modulation d' amplitude sans porteuse. On reconnaît en effet, dans l' expression (1) la
densité spectrale de puissance du signal NRZ, centrée sur la fréquence f0 de l' onde porteuse.
2) L' expression (1) ci-dessus montre que la densité spectrale de puissance du signal
MDP ne dépend pas du nombre M d' états de phase. Elle ne dépend que de la durée du
symbole T.
1
log 2 M , l' augmentation du nombreM d' états entraîne donc
T
une diminution d' occupation spectrale grâce à l' augmentation de
T.
A débit binaire fixé, Db =
Cette propriété explique le grand intérêt des modulations par déplacement de phase. On
peut en effet augmenter le nombre M d' états de phase, donc le débit binaire transporté sans
modifier l' occupation spectrale c' est-à-dire la bande de fréquence nécessaire à la transmission.
Cette propriété est aussi vérifiée par toutes les modulations dites “linéaires” (Amplitude
AM, Phase PSK et Amplitude-Phase combinées QuadratureAM).
Par opposition aux modulations d’amplitude (AM ou QAM) les modulations de phase
non filtrées sont à enveloppe constante. Ceci permet, comme pour la FM, de s’affranchir du
bruit d’amplitude en réception. L’information transmise sur la phase, n’est pas affectée par le
bruit d’amplitude.
L’intérêt des QAM sur les PSK tient au choix de répartition des états et donc à une
optimisation de la distance (minimale) entre chacun d’entre eux. La puissance d’émission est
alors réduite et les performances en détection sont augmentées.
16
"!#$
%'&)(*&+% ,.-0/*102)304657-*8:9+/0;*<=-0/*102)304657-*8=>0-*?@;*ACB*8@4DB*E
Pour une modulation par déplacement de phase à 2 états, le signal modulé non filtré peut
s' écrire sur la durée d' un intervalle de temps
Ts = Tb = T :
A ⋅ cos(2π f 0 t + ϕ 0 + φk ) ,
où ϕ0 est la phase aléatoire imposée par l' oscillateur etφκ est la phase qui transporte
l' information et vaut “0” ou “π”.
Si on multiplie le signal MDP-2 par un signal sinusoïdal de même fréquence et en phase
avec la porteuse véhiculée par le signal modulé ( ϕ 0 = ϕ1 ), on obtient :
A cos(2π f 0 t + ϕ 0 + φk ) ⋅ A cos(2π f 0 t + ϕ1 ) =
A2
[cos( 4π f0 t + ϕ0 + ϕ1 + φk ) + cos(φk + ϕ 0 − ϕ1) ]
2
Cette expression n’est valable que sur la durée de l’intervalle de temps t ∈ [kT , (k +1)T ] .
En supprimant le résidu de démodulation centré en 2f0 par un filtre passe-bas, il reste
(
)
alors le terme A2 2 ⋅ [cos(φk + ϕ 0 − ϕ1 )] .
La modulation ayant attribué la phase “π” à l' état logique “0” et la phase “0” à l' état
logique “1”, on obtient en réception en entrée et en sortie d’un circuit de décision à seuil s= 0 :
+
A2
⋅ cos(ϕ 0 − ϕ1 ) si φk = 0 et le circuit de décision restitue un état logique “1”.
2
−
A2
⋅ cos(ϕ 0 − ϕ1 ) si φk = π et le circuit de décision restitue un état logique “0”.
2
Nota : Le modulateur en anneau qui sera utilisé en T.P. affectera les phases inverses à
la convention utilisée ci-dessus.
Remarque : Pour réaliser une démodulation cohérente, il est indispensable de générer
à la réception un signal sinusoïdal de même fréquence et en phase avec la porteuse du signal
MDP-2 reçu. Avec les deux porteuses en quadrature ( ϕ 0 − ϕ1 = ± π 2 ), aucun signal utile ne
serait restitué.
17
Le problème de la récupération de la porteuse ne sera pas étudié au cours de la
manipulation. Pour des précisions sur ce sujet, on se reportera aux références (page 22).
!"#
Pour reconstituer le message d' information transmis à l' aide d' une MDP-2 différentielle, il
suffit de comparer sur un intervalle de temps Ts = T les phases de la porteuse du signal MDP2 différentiel sur 2 intervalles consécutifs de durée T.
Le signal MDP-2 différentiel est donc divisé en deux signaux dont l' un est retardé deT.
Ces deux signaux sont alors multipliés entre eux à l' aide d' un modulateur en anneau.
Retard Ts
Signal MDP-2
Différentiel
x(t)
x(t−T)
Modulateur
MD−140
Filtre Passe-Bas
FB 4855
x(t)
figure 1-13 : Schéma de principe de la Démodulation Différentielle à deux états de phase.
Le signal MDP-2 différentiel non filtré, s' écrit sur l' intervalle de temps
t ∈ [(k −1)T , kT ] :
x(t ) = A ⋅ cos(2π f0 t + ϕ 0 + φ k −1 )
et sur l' intervalle suivantt ∈ [kT , (k +1)T ] :
x(t ) = A ⋅ cos( 2π f 0 t + ϕ 0 + φk )
L’écart de phase ∆φ = φk − φk −1 ∈ {−π , 0, π } est significatif de l' information binairebk
correspondant à l' intervalle[kT , (k +1)T ] .
Le produit x(t − T ) ⋅ x(t ) sur l' intervalle[kT , (k +1)T ] est égal à :
x(t − T ) ⋅ x(t ) = A2 cos( 2π f 0 [t − T ] + ϕ 0 + φk −1) ⋅ cos(2π f 0 t + ϕ 0 + φk )
Soit :
x (t − T ) ⋅ x (t ) =
18
A2
[cos( 4π f0 t − 2π f0 T + 2ϕ0 + φk + φk −1) + cos(∆φ + 2π f0 T )]
2
Après filtrage passe-bas il reste :
A2
⋅ cos(∆φ + 2π f0T ) sur l' intervalle[kT , (k +1)T ]
2
— Si la modulation est synchrone : 2π f0T = n ⋅ 2π , et ce terme n’est pas gênant.
— Si la modulation n’est pas synchrone : 2π f 0T = n ⋅ 2π + ϕ1 .
A2
⋅ cos(∆φ + ϕ1 ) . Le terme ϕ1 peut être très gênant et
2
un réglage du déphasage entre x(t) et x(t−T) est alors nécessaire.
La sortie du filtre passe bas est alors
La modulation ayant attribué un saut de phase de “π” à l' état logique “1” et un saut de
phase de “0” à l' état logique “0”, le circuit de décision restitue directement l’inverse du signal
d' origine. Lafigure 1-14 ci-dessous illustre ce principe :
Suite {bk} NRZ
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
Tb
Suite {dk}
NRZ par transitions
Différentielle
synchrone
MDP-2
Différentielle
synchrone
Décalée de Ts
Signal démodulé
filtré Passe-Bas
Suite inversée ˆ
Binaire NRZ {bk}
1
figure 1-14 : Modulation et démodulation MDP-2 différentielles
19
Un modèle simplifié du canal de transmission réel par modulation cohérente est donné
par la figure 1-15 ci-dessous :
A
He(f)
B
Hr(f)
C
D
Hpb(f)
E
Echantillonnage
Filtre
d'
émission
Porteuse émission
Filtre de
réception
Bruit
BABG
Filtre
Passe-Bas
Décision
Porteuse réception
en phase avec porteuse émission
figure 1-15 : Synoptique de la chaîne de transmission.
Il est parfois nécessaire de filtrer le signal modulé et ceci pour deux raisons :
- à l' émission pour limiter la bande occupée par le signal pour pouvoir émettre sur des
canaux adjacents.
- à la réception pour sélectionner le canal désiré et réduire la puissance de bruit.
Examen des signaux (sans bruit) :
g(t)
x A (t ) = ∑ k ak ⋅ g (t − kT )
V
avec g (t ) = V
t
⋅ Π T (t − T2 )
0
x B (t ) =
( ∑ k ak ⋅ g (t − kT ) ) ⋅ cos(2π f0 t + ϕ )
xC (t ) = 

(
Ts
avec ϕ V.A. équirépartie sur [ 0, 2π]
( ∑ k ak ⋅ g (t − kT ) )⋅ cos(2π f0 t + ϕ ) ∗ he (t )
)
xD (t ) =  ∑ k ak ⋅ g (t − kT ) ⋅ cos(2π f0 t + ϕ )  ∗ he (t ) ∗ hr (t )


xD (t ) = ∑ k ak ⋅ p (t − kT ) ⋅ cos(2π f 0 t + ϕ 0 ) avec p(t ) = g (t ) ∗ 12 α he (t ) ∗ 12 α hr (t )
(
)
en supposant He(f) et Hr(f) passe bande et à symétrie hermitienne autour de f0.
xE (t ) = ∑ k ak ⋅ r (t − kT ) avec r (t ) = p(t ) ∗ h pb (t )
Soit au total : R( f ) = G ( f ) ⋅ 12 Αhe ( f ) ⋅ 12 Αhr ( f ) ⋅ H pb ( f ) .
20
Théoriquement, le spectre du code binaire NRZ a un support infini. Donc tout filtrage
de ce signal introduit une déformation, qui se manifeste par un traînage de l’impulsion
temporelle.
Le traînage d’une suite d’impulsions implique une IES (interférence entre symboles).
Mais il ne faut pas oublier qu' en transmission numérique l’information est quantifiée et le
récepteur doit prendre une décision de nature discrète avec une périodicité de Ts (par exemple
“+1” ou “ −1”). Peu importe donc la forme du signal reçu pourvu que la décision puisse se
faire sans ambiguïté.
Impulsion
émise au point A
V
g(t)
0
r(t)
Filtrage Passe Bas
1
2
t
Impulsion
reçue au point E
α h e (t) ∗ 12 α hr (t) ∗ h pb (t)
t0−2T
Equivalent
Bande de Base
t0−3T
T
t0+2T
t0
t0−T
t0+T
t
t0+3T
Filtrage Passe Bande
he (t) ∗ hr (t)
Impulsion
émise au point B
Impulsion
reçue au point D
figure 1-16: Déformation par filtrage d’impulsions en BdB et sur fréquence porteuse.
Le signal MDP-2 observé en sortie du filtre passe-bas (au point E) est de la forme
xE (t ) = ∑ k ak ⋅ r (t − kT ) . Il est en suite échantillonné avec la période symbole tous les T= Ts
pour donner les échantillons xE (t0 + nT ) = ∑ k ak ⋅ r (t0 − ( k − n)T ) qui sont présentés au
comparateur à seuil.
xE (t0 + nT ) = an ⋅ r (t0 ) +
I .E.S. ∑
m=k −n≠0
ak ⋅ r (t0 − mT )
21
Il y a ou non de l' interférence entre symboles selon la forme de l' impulsion
r(t) aux points
d’échantillonnage. Si r (t0 − mT ) = 0 ∀m ≠ 0 , il n’y a pas d’I.E.S.; ces conditions dites
“critère de Nyquist” sont équivalentes dans le domaine fréquentiel à :
∑ m R ( f − mT ) = T ⋅ r (t0 )
La réalisation la plus usitée de ces conditions est le filtre global en cosinus surélevé (voir
figure 1-8 page 12).
Probabilité d’erreur. (Canal à Bruit Additif Blanc Gaussien).
Si la condition de Nyquist est réalisée, le calcul de la probabilité d' erreur est aisé dans le
cas d' une modulation cohérente. A l' entrée de l' échantillonneur, point
E figure 1-15, le signal
reçu est de la forme :
xE (t ) = ∑ k ak ⋅ r (t − kT ) + n(t )
Expression dans laquelle r(t) contient le formant NRZ, les filtres émission et réception en
équivalent bande de base et le filtre passe-bas de post-démodulation.
Avec r(kT+ t0)= 0 pour k
ak = ±1
!
ek = ak ⋅ r (t0 ) + nk où
n(t) est le bruit gaussien centré filtré stationnaire et nk = n(kT + t0 )
échantillon.
en est un
Quel que soit l’instant d’échantillonnage, nk est donc une variable aléatoire
gaussienne centré de variance σ2.
Par suite, dans le cas de symboles ak indépendants et équiprobables :
Pr{Erreur} = Pr{ ek < s=0 / ak =+1 }·Pr{ ak =+1 } + Pr{ ek > s=0 / ak =−1 }·Pr{ ak =−1 }
1
1
Pr{Erreur} = ⋅ Pr{ nk < − r (t0 ) } + ⋅ Pr{ nk > + r (t0 ) }
2
2
∆ 1
1
 r (t ) 
Pr{Erreur} = 2 ⋅ ⋅ Pr{ nk > r (t0 ) } = Q  0  avec Q ( x ) =
2
2π
 σ 
⌠ +∞


⌡x
e
−
u2
2 du
Considérons maintenant la chaîne de transmission en équivalent Bande de Base (BdB) :
22
R( f )
H( f )
{ak}
G(f)
A B 12 A H e ( f )
C
1
2 A Hr ( f )
H pb(f)
D
E
Bruit Blanc équivalent de DSP N0
figure 1-17: Équivalent BdB de la liaison MDP-2.
Si le filtrage réception est adapté au filtrage émission, c' est-à-dire que :
1 Α ( f ) ⋅ H ( f ) = G( f ) ⋅ 1 Α ( f ) ⇔ R( f ) = 1 | G ( f ) ⋅ Α ( f )|2
pb
He
2 Hr
2 He
4
+∞
alors : r (t0 ) = ∫ | R( f ) | df =
−∞
+∞
⌠

⌡
−∞
+∞
∆ ⌠

| G ( f ) ⋅ 12 ΑH e ( f ) |2 df =
⌡
| H ( f ) |2 df =
−∞
+∞
⌠

⌡
h 2 (t ) dt
−∞
L’équivalent bande de base du bruit blanc de DSP N0/2 est un bruit blanc de DSP N0.
Le bruit blanc gaussien filtré au point E est donc de puissance Pn = σ2 avec :
2
σ = N0
+∞
⌠

⌡
−∞
| 12 ΑH r ( f ) ⋅ H pb ( f ) |2 df = N 0
+∞
⌠

⌡
−∞
| H ( f ) |2 df = N 0
+∞
⌠

⌡
h 2 (t ) dt
−∞
D’après la convention choisie pour les équivalents BdB, la puissance Ps du signal MDP2 émis au point C de la figure 1-15 est la moitié de la puissance du signal équivalent BdB au
point C de la figure 1-17 qui vaut :
1 +∞
1 +∞
2
⌠

PC = ⌡ | H ( f ) | df = ⌠⌡ h 2 (t ) dt
T −∞
T −∞
En effet d' après la formule de Bennett, la D.S.P de la suite i.i.d a{k} à valeurs dans {±1}
2
et mise en forme par le filtre H(f) est : 1 H ( f ) .
T
Avec Ts = Tb = T, l’énergie par bit émise en MDP-2 est Eb = Ps ⋅ T =
PC
⋅T
2
On a alors r (t0 ) = 2 ⋅ Eb et σ 2 = 2 ⋅ Eb ⋅ N 0
 2 Eb
 r (t ) 
D' où :Pr{Erreur} = Q  0  = Q 
 σ 
 N0



23
La courbe correspondante est donnée sur la figure de la page ci-contre ainsi que celle de
la MDP-2 différentielle.
En pratique, les hypothèses du critère de Nyquist sont irréalisables et il est nécessaire de
faire un compromis "Puissance du bruit - Interférence entre symboles". En effet un filtre trop
étroit diminuerait la puissance de bruit mais introduirait une forte I.E.S. Un filtrage trop large
ne perturbera pas le signal mais laissera passer une plus grande puissance de bruit (Voir en
annexe le sens du "diagramme de l' oeil"
).
Il semble admis que la largeur de bande optimale du filtre équivalent ramené autour de la
fréquence porteuse soit de 1,1 à 1,2 fois le débit numérique binaire du signal modulant.
Avec un tel filtre, la courbe donnant le taux d' erreur réel se trouvera donc
nécessairement décalée vers la droite, par rapport à la courbe théorique. De sorte que pour
obtenir un taux d' erreur donné, il faudra un rapportEb/N0 (ou puissance du signal sur
puissance de bruit) supérieur à celui prévu théoriquement. C' est ce décalage (en dB) qui
mesure en fait la qualité de la chaîne de transmission.
24
!"
1.
J.Wozencraft & I.Jacobs : “ Principles of communication engineering” (John Wiley & son (1965))
2.
H.Taub & D.Schilling : “ Principles of communication systems” (Mac. Graw Hill (1986))
3.
S.Benedetto, Biglieri & Castellani : “ Digital transmission theorie” (Prentice-Hall (1987))
4.
B.Sklar : “ Digital communications” (Prentice-Hall (1988))
5.
J.G.Proakis : “ Digital communications” (Mac. Graw Hill (2001))
6.
S.Haykin : “ Communications Systems” (John Wiley & son (2001))