Dans une horloge à balancier, un ressort permet

Dans une horloge à balancier, un ressort permet au balancier de remonter
toujours à la même hauteur, et de battre les secondes de façon régulière : sans
se ressort, le balancier remonterait un peu moins haut à chaque fois et les
secondes seraient de plus en plus courtes.
En cherchant à concevoir un pendule qui battrait des secondes régulières sans
l’aide d’un ressort, Christian Huyghens, vers 1670, eut l’idée de faire balancer
une masse au bout d’un fil, entre deux lames incurvées limitant son mouvement ;
et il chercha quelle forme il fallait donner à ces lames.
La théorie des « développées » et des « développantes » était née ...
Dans ce problème, on va étudier la forme des lames correspondant à une trajectoire parabolique de la masse.
Partie A
1. Soit P la parabole d’équation y = x2 dans le repère orthonrmal (O; #»
ı , #»
 )
d’unité graphique 5 cm.
Placer avec précision les points de P d’abscisse x, pour x élément de [−1, 5; 1, 5]
au pas de 0,1.
2. Soit T un point d’une courbe C. On appelle « normale » en T la droite
passant par T et perpendiculaire à la tangente à C en T .
Soit T un point de P d’abscisse t et H sa projection orthogonale sur l’axe
(O; #»
 ). On pose t 6= 0. Soit N le point où la normale en T coupe l’axe
#»
(O;  ).
a) Montrer que la distance HN est une constante que l’on calculera.
b) Utiliser ce résultat pour tracer les normales correspondantes aux points
placés au 1..
3. Déterminer graphiquement combien de normales à P passent par le point
R(0, 48; 1, 74) et par le point S(0, 80; −0, 44) ?
A quelles valeurs de t correspondent ces normales ?
4. Combien de normales à P peut-on tracer à partir d’un point quelconque du
plan ? Discuter suivant la position de M .
Partie B
1. a) Ecrire une équation de la normale à P au point T d’abscisse t.
b) Soit M (x; y) un point du plan. Montrer que la normale à P au point T
passe par M si et seulement si :
1
x
t +
−y t=
2
2
3
!
Une fois x et y fixés, cette équation est une équation du 3ème degré d’inconnue t.
!
1
3
2. Soit f la fonction définie sur R par : f (t) = t +
− y t où y est un réel
2
fixé.
a) Dresser le tableau de variations de f et tracer l’allure de sa courbe représentative.
b) A l’aide des courbes précédentes, donner le nombre de solutions de solux
tions de l’équation f (t) = .
2
En déduire, suivant les valeurs de x et de y, le nombre de normales passant
par M .
3. Montrer que les cas où il a deux normales à P passant par M sont caractérisés
par la relation :
Ç å2/3
1
x
(1)
y=3
+
4
2
4. On appelle G la courbe d’équation (1).
Tracer les courbes C et G dans un même repère.
Etablir que la courbe G partage le plan en deux régions selon le nombre de
normales à C que l’on peut tracer depuis un point.
Partie C
On s’intéresse ici à la position d’une normale (T N ) par rapport à la courbe G.
Ç å1/3
x
.
Pour simplifier les calculs, on pose, pour tout point de G : a =
4
1. Montrer que :
M ∈ G ∩ (T N ) ⇔ 2a3 + 3ta2 − t3 = 0
(2)
2. Combien y a-t-il, a priori, de points d’intersection de G et d’une normale
(T N ) ?
t
3. Vérifier que a = est solution de l’équation (2).
2
4. En déduire une factorisation de 2a3 + 3ta2 − t3.
5. Calculer en fonction de t les deux autres racines de (2).
6. Qu’observe-t-on ? Qu’est-ce que cela signifie géométriquement ?
En mathématique, une courbe G est la « développée » d’une courbe C si les
tangentes à G sont les normales à C. En ses inverse, C est la « développante »
de G.