Exercice 3

Université Henri Poincaré
ESSTIN
Markus Abel
Ecoulements multiphasiques 2011
http://www.stat.physik.uni-potsdam.de/ markus/mpf.html
Exercice 3
3.1
Trajectoire d’une petite bulle
Afin d’étudier le mouvement de petites bulles gazeuses dans un écoulement de liquide au voisinage
d’un paroi, on considère la configuration simple suivante:
• écoulement du liquide permanent, laminaire, unidirectionel dans la direction x (parallele a la
paroi) à gradient de vitesse χ constant, de vitesse U (y) = χy, y est la direction perpendiculaire
à la paroi
• paroi horizontale, gravitation parallele a l’axe y
• bulles de rayon constant a, ρP << ρF
• la traı̂nee d’une bulle obéit la loi de Stokes, CD = 24/ReP
• la force de portance et la force historique sont négligables
• il n’y a pas de changement de phase
Conditions initiales, t = 0: x = 0, y = a, vx (t), vy (t) sont les composantes de la vitesse de la bulle.
vx (0) = vy (0) = 0.
1. Donner l’expression du temps de relaxation τP de la bulle en fonction de son rayon et de la
viscosité cinematique νF du fluide
2. Ecrire les équations du mouvement de la bulle avec les forces de la masse ajoutée et la masse
déplacée
3. Mettre les equations en forme adimensionnelles normalisant le temps par le temps de relaxation de la bulle, la vitesse par la vitesse ascensionnelle limite, le coordonnées par la longueur
characteristique.
4. donner la trajectoire, c. à. d. x(t) et y(t)
3.2
Pluie et Brouillard
On s’intéresse à l’évaporation de gouttelettes d’eau tombant sous l’effet de la pesanteur dans une
atmosphère au repos. On néglige toute interaction entre gouttelettes de sorte que chacune d’elles décrit
une trajectoire verticale rectiligne, inépendante des autres. Les gouttelettes sont sphériques, la masse
volumique de l’eau est ρP = 1000kg/m3 et les propriétés de l’air ambiant, supposées indépendantes
de l’altitude, sont:
• masse volumique: ρF = 1.2kg/m3
• fraction massique de vapeur d’eau à saturation: Ysat = 0.008
• coefficient de diffusion vapeur - air: D = 2.4 · 10−5 m2 /s
• viscosité cinématique de l’air: νF = 1.5 · 10−5 m2 /s
1. Malgré la diminution de diamètre due à l’évaporation, on admet que la vitesse d’une gouttelette
à l’instant t est égale à la vitesse limite de chute d’une goutte de diamètre constant égal au
diamètre d(t) de la goutte à cet instant (cette hypothèse de quasi-stationnarité sera justifiée plus
loin). Déterminer cette vitesse limite de chute dans les deux cas d0 = 10µm et d0 = 1mm.
2. Montrer que dans le cas d0 = 10µm on peut supposer un nombre de Sherwood constant égal à
2. Déterminer alors la durée de vie théorique d’une telle gouttelette dans les deux cas suivants:
• atmosphère saturée à 90 %
• atmosphère saturée à 99.9 %
Commentez et justifiez l’hypothèse de la question précédente sur la vitesse de chute.
3. Estimer le nombre de Sherwood pour une goutte de diamètre 1 mm. Comment peut-on évaluer
la durée de vie dans ce cas? En tout état de cause, montrer que dans ce cas aussi l’hypothèse de
quasi-stationnarité de la première question est amplement justifiée.