Recette maximale Une boulangerie vend quotidiennement

Seconde
Correction du Dm sur le second degré
Recette maximale
Une boulangerie vend quotidiennement une baguette.
La quantité vendue q est fonction du prix p de vente de la baguette en euros : q = 100 (9 − 7p)
1. On complète le tableau :
0,5
p
0,7
0,9
1,1
1,5
q
550
410
270
130
-150
Recette
275
287
243
143
-225
2. De quelle nature est la fonction qui à p associe q ?
q = −700p + 900, q , fonction de p est une fonction affine.
3. Exprimer la recette journalière r en fonction de p. De quelle nature est cette fonction ?
Nous avons : r = p × q = p × 100 (9 − 7p) = 900p − 700p2 = −700p2 + 900p.
r fonction de p est une fonction polynôme de degré 2.
4. Quel prix conduit à la recette journalière maximale ? La représentation graphique de la fonction r, dans un
repère orthonormé, est une parabole.
Il y a deux méthodes pour trouver l’extrémum :
9
7
0 + 79
9
Ainsi l’extrémum de la fonction est atteint pour p0 =
=
.
2
14
9
2025
9
9−7×
=
.
Cet extrémum est r0 = 100 ×
14
14
7
2025
D’autre part r(0) = 0 <
, et nous savons qu’une fonction du second degré admet un unique extrémum.
7
2025
≃ 289, 29 euros.
On peut donc dire que la fonction r admet un maximum en p0 et ce maximum est r0 =
7
• On résout r(p) = 0,
100 p(9 − 7p) = 0,
p = 0, ou p =
• On passe par la forme canonique de la fonction r.
"
#
"
2 2 #
2
9
9
81
9
9
2
2
r(p) = −700p + 900p = −700 p − p = −700
= −700
p−
.
−
−
p−
7
14
14
14
196
2
2
81
2025
9
9
+ 700 ×
+
= −700 p −
Et donc r(p) = −700 p −
14
196
14
7
2
9
2025
9
2025
− 700 p −
≤
et nous avons l’égalité pour p0 =
.
Or
7
14
7
14
9
2025
D’où la fonction r admet un maximum en p0 =
et ce maximum est r0 =
≃ 289, 29 euros.
14
7
Lycée Marie Curie
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Francis Rignanese