Modèle mathématique.

3ème. Correction du Contrôle sur l'arithmétique.
Exercice 1 : (4points)
Quatre affirmations sont données ci-dessous :
Affirmation 1 : 531 et 456 sont premiers entre eux.
Faux car 531 et 456 sont tous les 2 des multiples de 3
(5+3+1 = 9 et 4+5+6 = 15, la somme des chiffres qui les
Affirmation 2 : 4 a exactement deux diviseurs.
Faux car 4 a seulement 3 diviseurs :
1 4
2 (2)
composent est multiple de 3) ; leur PGCD est donc au
moins égal à 3.
Affirmation 4 : Deux nombres impairs sont toujours premiers
Affirmation 3 : 0,97  103 est une écriture scientifique
entre eux.
Faux car une écriture scientifique ne commence jamais
Faux car 15 et 25 sont impairs et leur PGCD est 5 et non 1.
par 0,... ce devrait être 9,7 x 10…
Exercice 2 : (3 points)
1 1
1
1. Que faut-il ajouter à + x pour obtenir 1 ? Justifier la réponse.
2 4 6
1 1
1 1
1
12
1 13
11
24
+ x = +
=
+ =
. Il faut donc rajouter
pour obtenir
= 1.
2 4 6 2 24 24 24 24
24
24
3,2 x 103 x 5 x (102)3
2. Calculer l'expression : A =
(donner le résultat sous sa forme la plus simple).
4 x 102
32 x 101 x 5 x 103 x 102x3
A=
4 x 102
4 x 8 x 5 x 1013+6+2
=
4
= 8 x 5 x 104
= 40 x 104
= 4 x 105 = 400 000
Exercice 3 : (3points)
Un jardinier désire planter une haie autour d’une parcelle rectangulaire de 10,4 m sur 640cm. Il plante un arbre à chaque
sommet du rectangle. La distance entre 2 arbres doit toujours être la même et doit être égale à un nombre entier de
centimètres.
1) Quelle est la plus grande distance possible entre deux arbres ? Justifier votre réponse.
10,4m = 1 040 cm. Il faut chercher le PGCD de 1 040 et de 640 par la méthode d’Euclide :
a
b
reste
1040
640
400
640
400
240
400
240
160
240
160
80
160
80
0
PGCD (1 040 ; 640) = 80.
Il y a donc 80cm au maximum entre 2 arbres.
2) Combien d’arbres doit-il planter ? Justifier votre réponse.
Dans la longueur, il y a 1 040 : 80 = 13 soit 13 arbres.
Dans la largeur, il y a 640 : 80 = 8soit 8 arbres.
En tout, il faut chercher le périmètre du rectangle : (13arbres+8arbres)x2 = 42arbres.
Exercice 4 : (3 points)
3795
1. Montrer, sans calculs, que la fraction
n’est pas irréductible.
6555
3795
n’est pas irréductible car son numérateur et son dénominateur sont des multiples de 5.
6555
3795 5
2. Calculer B =
+ . On détaillera les calculs et on donnera la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
6555 57
Il faut chercher le PGCD de 3 795 et de 6 555 pour réduire la 1ère fraction :
Méthode d’Euclide :
PGCD(6 555 ; 3 795) = 345.
a
b
reste
6 555 : 345 = 19
6555
3795
2760
3795 : 345 = 11
3795
2760
1035
3795 11
Donc
= .
6555 19
2760
1035
690
1035
690
345
690
345
0
3795 5
B=
+
6555 57
11 5
= +
19 57
33 5
=
+
57 57
38
=
57
2x19
=
3x19
2
=
3
Exercice 5 : (5 points)
Sam a préparé une pizza géante de 220 cm sur 132 cm. Il veut des découper des pizzas carrées de côté un nombre entier
de cm, toutes identiques de façon à ne pas avoir de chutes.
1) a) Peut-il découper des carrés de 8 cm de côté ?
220 : 8 = 27,5 ça ne donne pas un résultat entier donc
ça ne va pas.
b) Peut-il découper des carrés de 7 cm de côté ?
220 : 7  31,4 donc ça ne va pas non plus.
2) Finalement, Sam veut obtenir les pizzas les plus grandes
possibles en s’aidant d’un tableur dont il a fait une copie
d’écran ci-contre.
a) Que doit-il taper dans la cellule C4 pour étirer la formule
ensuite ? Il doit taper =A4  B4
b) Compléter le tableau ci-contre. PGCD(220 ; 132) = 44
c) Chaque pizza carrée sera vendue 15€. Combien va lui rapporter la vente de toutes les pizzas de la plaque ?
Il va faire des pizzas carrées de 44cm de côté.
Dans la longueur, il y aura 220cm : 44 cm = 5 pizzas
Dans la largeur, il y aura 132cm : 44 cm = 3 pizzas
En tout, il faut chercher l’aire du rectangle, donc en tout il y a 5 x 3= 15 soit 15 pizzas à 15€ pièce.
15 pizzas x 15€ = 225€ pour la vente de toutes les pizzas.
Exercice 6 : (2 points)
A la fin d'une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les 397 ballons de baudruche qui ont
servi à la décoration. Il reste alors 37 ballons.
397  37 = 360.
360 ballons ont été utilisés la 1ère année.
L'année suivante, les mêmes enfants se partagent les 598 ballons utilisés cette année-là et il en reste alors 13.
598  13 = 585.
585 ballons ont été utilisés la 2ème année.
Il faut chercher leur PGCD.
Méthode d’Euclide :
a
b
reste
585
360
225
360
225
135
225
135
90
135
90
45
90
45
0
PGCD(585 ; 360) = 45.
Au maximum, 45 enfants étaient présents.
3ème. Contrôle sur l'arithmétique.
NOM : …………………………………
Prénom : …………………………………
Acquis
En cours
Non Acquis
Calculer un enchaînement de fractions
Calculer une expression numérique avec puissances
Calculer et utiliser le PGCD de 2 nombres entiers
Résoudre un problème concret grâce au PGCD
Exercice 1 : (4 points)
Pour chacune des quatre affirmations données ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse
en argumentant la réponse.
531 et 456 sont premiers entre eux.
4 a exactement deux diviseurs.
........................................................................................ .....................................................................................................
........................................................................................ .....................................................................................................
Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux.
0,97  103 est une écriture scientifique
........................................................................................ .....................................................................................................
........................................................................................ .....................................................................................................
Exercice 2 : (3 points)
1. Que faut-il ajouter à
1 1
1
+ x pour obtenir 1 ? Justifier la réponse.
2 4 6
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
3,2 x 103 x 5 x (102)3
2. Calculer A =
(donner le résultat sous sa forme la plus simple).
4 x 102
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
Exercice 3 : (3points)
Un jardinier désire planter une haie autour d’une parcelle rectangulaire de 1 040 cm sur 640cm.
Il plante un arbre à chaque sommet du rectangle. La distance entre 2 arbres doit toujours être
la même et doit être égale à un nombre entier de centimètres.
1) Quelle est la plus grande distance possible entre deux arbres ? Justifier votre réponse.
2) Combien d’arbres doit-il planter ? Justifier votre réponse.
Exercice 4 : (3 points)
3795
n’est pas irréductible.
6555
3795 5
2. Calculer le PGCD de 3 795 et de 6 555 puis calculer B =
+ . On détaillera les calculs
6555 57
et on donnera la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
1. Montrer, sans calculs, que la fraction
Exercice 5 : (5 points)
Sam a préparé une pizza géante de 220 cm sur 132 cm. Il veut des découper des pizzas carrées
de côté un nombre entier de cm, toutes
identiques, de façon à ne pas avoir de
chutes.
1. a. Expliquer s'il peut découper des carrés
de 8 cm de côté ? ....................................................................................................
....................................................................................................
b. Expliquer s'il peut découper des carrés
de 7 cm de côté ? .............................................................
....................................................................................................
2) Finalement, Sam veut obtenir les pizzas les plus grandes possibles en s’aidant d’un tableur
dont il a fait une copie d’écran ci-dessus.
a) Que doit-il taper dans la cellule C4 pour étirer la formule ensuite ? .................................................
b) Compléter le tableau ci-dessus.
c) Chaque pizza carrée sera vendue 15€.
Combien va lui rapporter la vente de toutes les pizzas de la plaque ?
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
Exercice 6 : (2 points)
A la fin d'une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les 397
ballons de baudruche qui ont servi à la décoration. Il reste alors 37 ballons.
L'année suivante, les mêmes enfants se partagent les 598 ballons utilisés cette année-là et il
en reste alors 13.
Combien d'enfants, au maximum, étaient présents ?
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.