Etude de continuité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016
Enoncés
1
Etude de continuité
Exercice 1 [ 01793 ] [Correction]
Étudier la continuité sur R de l’application
p
f : x 7→ bxc + x − bxc
Exercice 2 [ 01794 ] [Correction]
Étudier la continuité de
f : x 7→ bxc + (x − bxc)2
Exercice 3 [ 01795 ] [Correction]
Soit f : R → R définie par
(
f (x) =
si x ∈ Q
sinon
1
0
Montrer que f est totalement discontinue.
Exercice 4 [ 01796 ] [Correction]
Soit f : R∗+ → R une fonction telle que x 7→ f (x) est croissante et x 7→
décroissante.
Montrer que f est continue.
f (x)
x
est
Exercice 5 [ 01797 ] [Correction]
Soient f : I → R et g : I → R deux fonctions continues.
Montrer que sup(f, g) est une fonction continue sur I.
Exercice 6 [ 00240 ] [Correction]
Étudier la continuité de la fonction
xn
n∈N n!
f : x 7→ sup
définie sur R+ .
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Par opération f est continue sur chaque Ik = ]k ; k + 1[ avec k ∈ Z.
Il reste à étudier la continuité p
en a ∈ Z.
Quand x → a+ : f (x) = bxc +px − bxc → a = f (a) car E(x) → a.
Quand x → a− : f (x) = bxc + x − bxc → a − 1 + 1 = a = f (a) car bxc → a − 1.
Par continuité à droite et à gauche, f est continue en a.
Finalement f est continue sur R.
2
donc a1 limx→a+ f (x) ≤ a1 f (a) ≤ a1 limx→a− f (x) puis
limx→a+ f (x) ≤ f (a) ≤ limx→a− f (x) car a > 0.
Par suite limx→a+ f (x) = f (a) = limx→a− f (x) et donc f est continue.
Exercice 5 : [énoncé]
sup(f, g)(x) = max(f (x), g(x)) =
par opérations.
Exercice 6 : [énoncé]
La suite (un ) avec un =
Exercice 2 : [énoncé]
Soit a ∈ R.
Cas a ∈
/ Z.
Au voisinage de a,
xn
n!
1
2
|f (x) − g(x)| +
1
2
(f (x) + g(x)) est continue
converge vers 0 donc supn∈N
xn
n!
existe dans R.
x
un+1
=
un
n+1
f (x) = bac + (x − bac)2
donc f est continue en a.
Cas a ∈ Z.
Quand x → a+ , f (x) → a = f (a).
Quand x → a− , f (x) → a − 1 + (a − (a − 1))2 = a = f (a).
Donc f est continue en a. Finalement f est continue sur R.
Exercice 3 : [énoncé]
Soit a ∈ R.
Il existe une suite (un ) de nombre rationnels et une suite (vn ) de nombres
irrationnels telles que un , vn → a.
On a f (un ) = 1 → 1 et f (vn ) = 0 → 0 donc f n’a pas de limite en a et est donc
discontinue en a.
Pour n ≥ bxc on a n + 1 ≥ x donc un+1 ≤ un .
Pour n < bxc on a n + 1 ≤ x donc un+1 ≥ un .
Par suite
xn
xbxc
f (x) = sup
=
bxc!
n∈N n!
f est clairement continue en tout a ∈ R+ \ N et continue à droite en tout a ∈ N.
Reste à étudier la continuité à gauche en a ∈ N∗ .
Quand x → a− :
f (x) =
xa−1
aa−1
aa
xbxc
=
→
=
= f (a)
bxc!
(a − 1)!
(a − 1)!
a!
Finalement f est continue.
Exercice 4 : [énoncé]
Soit a ∈ R∗+ .
Puisque f est croissante limx→a− f (x) et limx→a+ f (x) existent, sont finies et
limx→a− f (x) ≤ f (a) ≤ limx→a+ f (x).
f (x)
f (x)
+
−
Puisque x 7→ f (x)
x est décroissante limx→a
x et limx→a
x existent, sont
f (a)
f (x)
−
≤
≤
lim
.
finies et limx→a+ f (x)
x→a
x
a
x
1
+
Par opérations sur les limites limx→a+ f (x)
x = a limx→a f (x) et
f (x)
1
limx→a− x = a limx→a− f (x)
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