Invent. math. 95, 615-628 (1989)

I~ventio~es
Invent. math. 95, 615-628 (1989)
mathematicae
9 Springer-Verlag 1989
Autour de la conjecture de L. Markus
sur les vari~t~s affines
Yves Carri&e
Institut Fourier, B.P. 74, F-38402 Saint Martin d'H&es, France
Summary. F o r any subgroup G of GL(IR"), we introduce some integer
disc G < n called the discompacity of G. This number measures to what extent
the closure of G is not compact. The Markus' conjecture says that a compact
affinely flat unimodular manifold is complete. Our main result (called the
<<discompact theorem>0 is that this conjecture is true under the assumption
that the linear holonomy i.e. the parallel transport has discompacity < 1.
Because disc S O ( n - 1, 1)= 1, this ensures that a compact flat Lorentz manifold M is geodesically complete. Hence, by a previous result of W. G o l d m a n
and Y. Kamishima [ G K ] , such a M is, up to finite covering, a solvmanifold.
This achieves the proof of a Bieberbach's theorem for compact Lorentz flat
manifolds.
Introduction
Une vari6t6 affine M de dimension n est une vari6t6 mode16e localement sur
des ouverts de l'espace affine ~ " avec des changements de coordonn6es qui
sont des 616ments du groupe Aft(R") des transformations affines de R". Ayant
fait le choix d'un point base dans M, une telle structure donne lieu fi une repr6sentation:
h: Tc, (M) ~ h(~, ( M))= F ~ Aft(lR").
Si on change de point base, la nouvelle repr6sentation est conjugu6e de la pr6c6dente. O n supposera que l'on a fix6 un point base une lois pour toutes et on
appellera h la representation d'holonomie de la vari6t6 affine M e t F son groupe
d'holonomie. Le rev~tement galoisien p: /~--*M associ6 au noyau de h est le
rev~tement d'holonomie. 11 a la particularit6 d'etre le plus petit rev~tement de
M fi avoir pour structure affine relev6e de M une structure qui provienne directement de celle de l'espace affine IR" via un diff6omorphisme local:
D:~
~ R ~.
616
Y. Carri6re
Ce diff6omorphisme local est appel6 le ddveloppement ou l'application ddveloppante de la vari6t6 affine M. I1 est 6quivariant par rapport fi la repr6sentation
d'holonomie:
VTe~h(m),
VxeSI:
D(y.x)=h(y)(D(x)).
La donn6e d'un rev~tement galoisien p: )f/--* M, d'une repr6sentation d'holonomie h et d'un d6veloppement D v6rifiant la condition pr6c6dente est 6quivalente
fi la donn6e d'une structure affine sur M. I1 est fi remarquer que la structure
affine du rev~tement universel M vient de 1t" par le d6veloppement induit:
/3:~--,~
o
,IR"
qui est souvent appel6 lui aussi le d6veloppement de la structure affine de M.
On dit que M est complete (il y a 6videmment une autre d6finition 6quivalente
que nous verrons apparMtre dans la suite) si M est affinement diffOomorphe
fi 1t", c'est-~-dire si le d6veloppement D est un diff6omorphisme. I1 y a beaucoup
de vari6t6s affines compactes incompl6tes (cf. [Be], [G 1-2], [ST] et IT] pour
des exemples). En dimension 3, celles qui sont compl6tes ont 6t6 classifi6es dans
EFG].
La representation d 'holonomie lindaire est le morphisme:
2: ~z,(M)
h
, Aff(~")
L
, GL(~")
off L e s t le morphisme naturel qui fi une transformation affine de IR" associe
sa pattie lin6aire. Le groupe 2(rq(M))=L(F) est appel6 le groupe d'holonomie
lin~aire. C'est au sens de la connexion affine plate associ6e/l la structure affine
donn6e sur M le groupe d'holonomie habituel de cette connexion.
Depuis l'origine de la notion de vari6t6 affine (ou de connexion plate sur
une vari&6) s'est pos6e la question de savoir quelles propri6t6s de L(F) autorisaient une relation 6troite ente la compacit6 et la compl6tude de la vari6t6.
Bien entendu, lorsque L(F)cSO(n), la vari&6 affine M est alors une varidtO
riemannienne plate et elle est compl&e d6s qu'elle est compacte (Hopf-Rinow).
Et m~me, d'apr6s Bieberbach, M est /t rev&ement fini pr6s un tore plat. Une
classification topologique pr6cise de ces vari6t6s n'est cependant pas achev6e
except6 en dimensions petites (cf. [Bu], [W]).
Motiv6 de mani6re 6vidente par la th6orie de la relativit6, L. Markus a conjectur6 dans [Mar] que cette propri6t6 (compacit6=>compl6tude) restait vraie pour
les varidtds lorentziennes plates, c'est-~i-dire lorsque L(F)~ SO(n--1, 1) le groupe
d'isom6tries de Lorentz. Nous montrerons en particulier cette conjecture (voir
6nonc6 ci-dessous). Dans le m~me article, L. Markus a &endu cette conjecture
au cas off il existe seulement un volume parallkle:
Conjecture (L. Markus [Mar] 1962). Une n-varidt~ affine unimodulaire
(L( F) c S L(II ")) compacte est nOcessairement complete.
Cette conjecture a 6t6 d6montr6e, entre autres, dans les cas particuliers suivants, tous d6pendant d'une hypoth6se <~alg6brique>> sur F (voir [ G H 2 ] pour
une liste plus exhaustive):
Th~or~me. La conjecture de Markus est vraie si
1) F est ab~lien (J. Smillie [Sm] 1977).
Autour de la conjecture de L. Markus sur les vari&6saffines
617
2) F est nilpotent (D. Fried, W. Goldman, M. Hirsch [ F G H ] 1981).
3) F est r~soluble de rang < n (W. Goldman, M. Hirsch [ G H 2 ] 1986).
4) L(F) est distal (i.e. orthopotent d'aprOs [CG]) (D. Fried I F 2 ] 1986).
Lorsque M est compacte, l'6quivalence M compl6te,~-M unimodulaire a
6t6 d6montr6e dans les cas 1) 2) 3) par les mames auteurs (pour 4) c'est automatique) et dans d'autres cas particuliers.
L'id6e naturelle que nous avons ici pour aborder cette conjecture est d'introduire ce que nous appelons la discompacitO d'un sous-groupe G de GL(N").
C'est un entier naturel disc G < n qui mesure le degr6 de non-compacit6 de
G. On a par exemple disc S O ( n - 1 , i ) = 1 et disc SL(IR")=n--1. Notre r&ultat
principal dit essentiellement que la conjecture est vraie sous l'hypoth&e
disc L ( F ) < 1. Plus pr6cis6ment, nous montrons le
Th6or~me discompact. Soit M une n-vari~t~ affine compacte et L(F)cGL(P,~")
son groupe d'holonomie lin~aire.
i) Si disc L(F) < 1, alors M est affinement diff~omorphe fi l'espace affine R "
ou au demi-espace affine ~ + _-]0, + ~[- • ~-~"- 1
ii) Si de plus L(F) c SL(~,~"), alors seule la premiOre Oventualit~ peut se produire,
c'est-fi-dire que M est complkte. C'est le cas par exemple si M est lorentzienne
(L(r) ~ S O ( n - 1, 1)).
On obtient comme corollaire principal de ii) le r6sultat suivant ~ la Bieberbach)) d6montr6 jusqu'ici sous l'hypoth+se que M 6tait compl&e.
Corollaire A (W. G o l d m a n et Y. Kamishima [GK]). - Si M est une vari~t~
affine compacte, lorentzienne ( L ( F ) ~ S O ( n - 1 , 1)), alors M est fi rev&ement fini
pros une solvariOt~. En particulier, n 1(M) est virtuellement polycyclique.
On trouvera une d6monstration diffbrente et une classification pr6cise en
dimension 4 dans IF 3]. A l'issue de la d6monstration du th6or6me discompact,
nous en donnons une version (~feuillet6e)) (cf. 3.2.1) dont la cons6quence la
plus parlante, ~ notre sens, est le corollaire suivant obtenu grace ~ un th6or6me
de C. Palmeira [P]:
Corollaire B. Soit M une variOtO affine compacte de dimension n dont l'holonomie
lin~aire L ( F ) ~ GL(N") est constitute de matrices de la forme
b ' A e G, b e N * ,
off G est un sous-groupe de G L ( ~ ~- 1) avec disc G_-<1. Alors le rev~tement universel
1~1 est diffOomorphe fi ~ " (sans y &re nOcessairement affinement diffOomorphe).
Ceci est vrai par exemple s i n = 3 et G = SL(lR a) ou encore si G = S O ( n - 2 , 1).
Ce type de r6sultat, entre autres, nous incite h conjecturer que la condition
disc L(F)__< 2 et la compacit6 de M devraient suffire ~i assurer que M est contractile, voire diff6omorphe ~ IR~.
Au w i, nous rappelons quelques notions simples de g6om6trie affine qui
seront essentielles pour comprendre et dbmontrer nos r6sultats. Le w 2 est consacr6 ~t la notion de discompacit6. Nous notons au passage que cette notion
est reli6e ~ un proc6d6 naturel de compactification d'actions lin6aires qui nous
semble int6ressant, bien que nous ne l'utilisions pas ici directement. Nous pouvons alors darts le w 3 d6montrer le th6or6me discompact et sa version feuillet6e.
618
Y. Carri6re
1. Notions simples de g~om~trie affine
Nous garderons tout au long de ce texte les notations de l'introduction; M
d6signera toujours une vari6t6 affine de dimension n. Le terme de vari6t6 supposera toujours variOt4 connexe; une sous-vari6t6 sera toujours connexe mais a
priori seulement immerg~e, en particulier une telle sous-vari6t6 n'est pas n6cessairement propre (cf. [Mill ou [ G P ] pour toutes ces subtilit6s).
I.I. Droites et d-plans
Dans la vari6t6 affine M, la notion de droite a un sens. Une droite est une
courbe (i.e. une sous-vari6t6 de dimension un) A c M qui en coordonn6es affines
locales est un segment de droite. C'est encore une courbe qui est une g6od6sique
pour la connexion affine plate d6finissant la structure affine de M. La droite
A est compldte si la structure affine de A induite par celle de M l'est. Une
droite compl6te est forc6ment maximale. Ceci vaudrait aussi pour une g6od6sique
d'une connexion affine sans torsion ayant de la courbure.
On peut aussi, grace/t la platitude de la connexion affine de M, consid6rer
les sous-vari6t6s totalement g6od6siques de dimension d. I1 y e n a localement
dans toutes les directions des d-espaces tangents ~ M. Nous les appellerons
des d-plans. Cette d6finition vaudrait aussi pour une connexion affine sans torsion, mais en g6n6ral, si d > 1 il n'y en a pas (m~me localement) sans hypoth6se
forte sur la courbure du type courbure parallkle. Un d-plan est complet si toute
droite (i.e. 1-plan) qu'il contient est compl6te. Dans M, un d - p l a n / 7 n'a aucune
raison d'etre plong6 ni propre (et si M est compacte et I7 maximal, ~ moins
que H soit ferm6, ce qui est rare, il n'est jamais propre). Les choses s'am61iorent
grandement dans le rev~tement d'holonomie 33:
1,1. Proposition. Dans 33 un d-plan H est toujours gt la fois plongO et propre.
Si H est maximal, il est ferm&
DOmonstration. L'image D(II) est un ouvert connexe d'un d-plan dans IR"; si
/ / a v a i t des points multiples, D(11) en aurait aussi et si H s'accumulait localement
le long d'une transversale, il en irait de m~me pour D(//), ce qui est impossible.
Si/-/est maximal, il ne peut avoir localement de point fronti6re. []
Attention! Je ne dis pas que la restriction de D ~ / - / e s t injective ...
1.2. Exponentielle d'un point
U n sous-ensemble point6 (E, x), x ~ E c M, est 4toil~ en x si tout point y e E est
joint dans E ~ x par un segment de droite (non n6cessairement unique). Un
tel segment est appel6 rayon issu de x. Une application dans une autre vari6t6
affine N: f : ( E , x ) ~ N est 4toil~e si la restriction de f a chaque rayon issu
de x est affine. En particulier, le sous-ensemble point6 (f(E), f ( x ) ) c N e s t 6toi16
en f ( x ) dans N.
Autour de la conjecture de L. Markus sur les vari6t6s affines
619
Soit f u n difJ~omorphisme local 6toi16 d'un ouvert 6toi16 (U, 0 ) = n t " dans
M tel que f ( 0 ) = x. On dit que f est une exponentielle en x ~ M . Une exponentielle
maximale n'est pas uniquement d6finie, contrairement/l ce qui se passe en g6om+trie riemannienne, et m6me si M est compacte, l'ouvert Um~ n'est pas n6cessairemerit 6gal /l IR". S'il l'6tait, M serait compl6te ce qui donne l'autre d6finition
6quivalente de la compl6tude annonc6e dans l'introduction. Par contre, l'image
d'une exponentielle maximale est uniquement d6finie et on la notera Ex = Exp (x),
c'est l'exponentielle du point x. On peut donner une d6finition 6quivalente de
E~ qui <~oublie>> le choix d'une exponentielle maximale: Ex est le plus grand
sous-ensemble (nOcessairement ouvert) ktoil~ en x.
Une exponentielle f : (U, 0) ~ IR" --, M n'a aucune raison d'etre injective (m~me
ph6nom6ne qu'en g6om6trie riemannienne, mais il n'y a pas de notion de rayon
d'injectivit6). Une fois de plus, les choses s'arrangent dans le rev~tement d'holonomie/~:
1.2. Proposition. Une exponentielle en x ~ M est toujours injective. La restriction
de D gt E ~ , x 6 M est injective; en particulier, le segment joignant deux points
de IPl, s'il existe, est unique.
DOmonstration. Soit une exponentielle en x e ~ r, la compos6e D o f est une exponentielle en D(x)~D(IV4)=IR" qui ne peut ~tre qu'injective. []
Ceci nous permettra par la suite de voir sans ambigu'ft6 possible E~, x e 3 d
c o m m e 6tant D(E~)~ ~,". Attention! Je n'ai jamais dit que D(E~)= ED(x).
1.3. Convexit~
Un sous-ensemble C d'une vari6t6 affine est convexe si deux points quelconques
de C peuvent ~tre joints dans C par un segment de droite (non n6cessairement
unique). Autrement dit un convexe est un ensemble ktoilO par rapport d I'un
quelconque de ses points. Une application affine transforme convexes en convexes.
La r6gularit6 recontr6e pour les ensembles 6toil6s de A~ se transmet aux convexes:
1.3.1. Proposition. Si C est un convexe de ~l, alors la restriction de D & C est
injective. Plus g~n~ralement, si C1 et C2 sont deux convexes des 1Q, ators si
C~ c~C24:0, on a:
D 1(D(CO~D(C2))n(C1 ~ C 2 ) = C 1 n C 2 .
Dkmonstration. Soit x e C ~ et y e C 2 tels que D(x)=D(y) et z e C t c ~ C 2 . Alors
on a x = y car sinon le segment bris6 x z y se transformerait par D e n un unique
segment, ce qui est impossible. []
Cette simple proposition <~ensembliste>> sera fondamentale lorsque nous
identifierons l'exponentielle Ex d'un point x~/V~ avec D(Ex) (voir 3.1).
1.3.2. Proposition (Lemme 3 de [Kos]). - Si l'exponentielle Ex d'un point x~l(4
est convexe, alors Ex = 1VI et donc, en particulier, 1(4 s'identifie via D d u n ouvert
convexe de IR".
620
Y. Carri6re
Nous allons donner une br6ve d6monstration du r6sultat sous l'hypoth6se
plus forte dont nous disposerons en 3.1 que pour tout point x~ M, Ex est convexe.
Montrons que sous cette hypoth6se, l'application x~ M~--, E , est localement constante et donc constante 6gale fi ~ par connexit6. En effet, si y ~ E x , par la
convexit6 de E~, on a E x = E y . On obtient l'6galit6 E~=Ey (et donc le r6sultat)
en utilisant maintenant la convexit6 de Ey.
Pour des d6tails sur les questions de convexit6 dans les vari6t6s affines nous
renvoyons le lecteur fi [-Be], [-Kos] et plus r6cemment [-Kob].
2. Discompacit6 et compactification
Soit G un sous-groupe de GLOR"), nous voulons mesurer le degr6 de noncompacit6 de G. Dire que G est relativement compact revient/t dire que G ne d6forme
les ellipso'ides de R " que dans un rapport born& I1 s'agit donc de r6pondre
fi la question: Dans quelle mesure G d6forme-t-il les ellipso'ides ou encore comment G fait-il d6g6n6rer fi l'infini les formes quadriques > 0 ? En fait, nous sommes en train de chercher une <~bonne compactification, associ6e & l'action de
G sur R " (voir 2.3), adapt6e ~t notre probl6me. Ceci semble 6troitement li6 fi
un 6nonc6 de G. D ' A m b r a [ D ' A ] discutant la non-compacit6 du groupe d'isom&
tries d'une vari6t6 lorentzienne (non n6cessairement plate) compacte.
2.1. La discompacitO d 'un sous-groupe de GL(F,.")
Soit R " muni de sa m6trique euclidienne standard et F~c R " une suite de ferm6s.
Nous dirons que Fi converge dans la boule standard B" si les compacts F~n B"
convergent p o u r la distance de Hausdorff vers un compact K c B". Un ellipsoi'de
(plein) est la boule unit6 (compacte) d'une certaine forme quadratique > 0 sur
~". Appelons g l'ensemble des ellipsoides de IR" :
2.1.1. Proposition-D6finition. Une suite ei~g si elle converge dans B" a pour limite
un convexe compact C de B". Ce convexe C n'est autre que la trace sur B"
d 'un ellipso~'de dkg~n~rk, c'est-~-dire du produit d'un ellipsoi'de plein dans un d'-plan
avec un d"-plan. Ou encore la trace sur B" de la boule unitk (non compacte)
d'une forme quadratique > 0 de rang d', d~finie dans le (d'+ d")-plan correspondant. La codimension de C sera appel~e la discompacit~ de la suite ei e t notre
disc (el).
On v&ifie que disc (ei) est aussi le nombre d'axes principaux dont les longueurs tendent vers 0. I1 d6coule de cette remarque la proposition suivante
qui est une simple application du principe du maxmin. On pourra consulter
([A] pp. 116-117) p o u r une d+monstration.
2.1.2. Proposition. Soit e'~= e~c~ F.~" la suite d'ellipso~'des traces dans un sous-espace
vectoriel p.m ~ ~ , des el. On a alors l'in~galit~, disc (e'i)<=disc (el).
Cette proposition sera utile dans la d6monstration du th6or6me discompact
pour pouvoir affirmer que si l'on coupe une suite d'ellipsoides el de discompacit6
__<1 par un plan ( m = 2), la suite d'ellipses obtenue dans ce plan est/t son tour
de discompacit6 < 1.
Autour de la conjecture de L. Markus sur les vari6t6s affines
621
2.1.3. D6finition. Soit d c ~ , la discompacit~ de ~r not6e disc d , est la plus
grande discompacit6 des suites de d convergeant dans B".
Revenons au sous-groupe G ~ GL(R"); G agit naturellement sur o~:
2.1.4. Proposition-D6finition. Soit e ~ et d ( e ) = G.e (l'orbite de e sous l'action
de G). Le nombre d i s c , ( e ) est ind6pendant de e~g, on le notera disc G et
on l'appellera la discompacit~ ou le degrk de non-compacit~ de G.
Ce nombre pourrait encore &re appel6 ~ordre de discompacit6)) et s'il est
6gal ~i d, on dira que G est d-discompact. Cette d6finition est valable pour
une action lin6aire en dimension finie. I1 semble naturel de l'6tendre/t une action
non-lin6aire d'un groupe d'hom6omorphismes G de R " ayant 0 pour point fixe,
il suffit de remplacer par exemple la dimension ordinaire par la dimension de
Hausdorff. Maintenant, le nombre disc G est un r6el de [0, n] ! Une autre d6finition analogue serait concevable en dimension infinie: il s'agirait de mesurer
quel point une telle action est 61oign6e d'une action unitaire. Ces notions
seraient certainement int6ressantes ~t utiliser dans la th6orie des feuilletages,
des pseudo-groupes de diff6omorphismes et plus g6n6ralement dans celle des
syst6mes dynamiques .... Revenons sur terre, c'est-~i-dire dans le cadre des
actions lin6aires en dimension finie.
2.2. Le cas d'un sous-groupe de Lie r~ductif connexe de GL(IR")
On peut lire de mani6re 6quivalente la discompacit6 de G sur la nature des
d6compositions de Cartan des matrices M(g),g~G repr6sentant (dans la base
canonique de IR") les 616merits de G"
M(g) = Ra D(g) R2,
off R1, R z e O ( n ) et D(g) (d6finie A ordre des 616ments pr6s) est diagonale >0.
Se donner D(g) revient ~ se donner les longueurs des axes principaux de
l'ellipsoide g(B"). La discompacit6 de G se lit sur les suites D(g,), g,~ G convergeant vers une matrice diagonale > 0 ~ termes 6ventuellement + ~ (repr6sentant
~i ordre pr6s les longueurs des axes de l'ellipsoide d6g6n6r6 limite correspondant
cf. 2.1.1). II suffit de trouver une suite dont la limite a l e m a x i m u m de z6ros.
Le nombre obtenu est bien entendu 6gal ~ disc G.
Si G est un sous-groupe r6ductif connexe de GLOR"), alors G admet une
d6composition de Cartan interne:
G=KTK,
off K c G est un compact maximal et T e s t un tore r6el maximal (je remercie
Michel Brion d'avoir 6clairci mes id6es sur cette question). I1 est clair que
disc G = d i s c T. Ceci permet le calcul de l'ordre de discompacit6 de la plupart
des groupes classiques int6ressants"
2.2. Proposition. On a l e s propri~t~s suivantes:
O) disc G = O,*~G est relativement compact dans GL(~,3).
i) disc G = n dos que G contient un sous-groupe fi un param~tre d'homoth~ties,
c'est le cas si G = GL(F,~") ou si G est un groupe de similitudes euclidiennes, lorentziennes etc . . . .
622
Y. Carri6re
2) disc SL(IR") = n - 1 et disc S L ( ~ " ) = 2 (n - 1).
3) disc O(p, q) = n - p
si O(p, q ) c GL(IR") dOsigne le groupe laissant invariante la f o r m e
quadratique
x 2 + ... + x v2 - xp2 + ~ ... - x v2 +~, p > q. En particulier,
disc S O ( n - 1, 1)= 1.
4) disc Sp(~x 2n) = n, off Sp(~x 2") est le groupe symplectique.
En somme, la notion de discompacit6 6tablit de mani6re assez pr6cise la
~hi6rarchie des g6ometries)~ que tout g6om6tre ressent lorsqu'il cherche h les
comparer ~t la g6om6trie euclidienne.
2.3. C o m p a c t i f i c a t i o n naturelle sous-jacente
On va reconsid6rer section 2.1. Contentons nous du cas off G est un sous-groupe
r6ductif connexe dans S L ( R " ) . Soit K c G un sous-groupe compact m a x i m a l .
On peut toujours supposer que K c S O ( n ) . Posons eo=B" l'ellipso'ide (i.e. la
boule) standard, alors G'~o ~ - G / K = S l'espace riemannien sym6trique associ6
G. Soit ~ l'ensemble des compacts de s o muni comme dans 2.1 de la distance
de Hausdorff. Du fait que G ~ SL(IR"), il est facile de v6rifier que l'application
f : e e G.e,o~-~e,n e,o e ~ est injective, ce qui r6alise S ~ - G / K comme sous-ensemble
de ~ . L'action de G sur S e ~ est continue et se prolonge ~ l'adh6rence (compacte)
~ c ~ . On a obtenu ainsi une compactification naturelle de l'espace sym6trique
S, pour laquelle les points h l'infini sont repr6sent6s par des ellipso'l'des d6g6n6r6s
de dimension d dans IR", 0 < d < n ou ce qui revient au m~me par des formes
quadratiques > 0 correspondantes (cf. 2.1.1). Cependant, cette identification n'est
pas une projectivisation habituelle mais une esp6ce de (~projectivisation h bord ~.
J'aurais envie d'appeler cet objet (~la grassmannienne m6tris6e ~, car il y a dedans
des sous-espaces vectoriels pourvus d'une m6trique > 0 , 6ventuellement d6g6n~r6e. De toute faqon, cette compactification me para~t avoir un int6r~t 6vident
dans la mesure off il est clair que si G = S O ( n - 1 ,
1), alors S=~-I "-~ l'espace
hyperbolique de dimension n - 1 et alors S est la compactification habituelle
de Poincar& Cependant c'est le fait que la discompacit6 de S O ( n - 1 , 1) est 1
qui donne un bord ~ S lisse. Dans le cas g6n6ral, le bord est stratifi6 par la
dimension d des ellipsol'des limites, seuls ceux de dimension maximale constituant une vari6t6 lisse. Je m'arr~te ici sur ce sujet pour rejoindre m o n propos
principal.
3. Lien de la discompacit~ de L (F) avec la convexit~ et la compl~tude de ~ /
Revenons aux vari6t6s affines et h la conjecture de Markus. Tout ce qui pr6c6de,
h l'exception de la digression que nous venons de faire en 2.3, est utile pour
lire cette partie.
3.1. DEmonstration du thOorOme d i s c o m p a c t
Soit M une n-vari6t6 affine compacte, on suppose que le groupe d'holonomie
lin6aire L ( F ) = G L ( ~ " )
a une discompacit6 disc L ( F ) < l . Nous allons tout
Autour de |a conjecture de L. Markus sur les vari~t6s affines
623
d'abord montrer, et c'est le point d~licat, que le rev6tement d'holonomie
est convexe. Pour ceci, d'apr~s la proposition 1.3.2, il suffit de montrer qu'en
un point x de A~, fix6 pour le reste de la preuve, t'exponentielle Ex est convexe.
D'apr6s 1.2, on peut identifier E~ avec D(ExJ~N". Pour simplifier les notations,
pour tout A c U/l, nous poserons D(A)= A*.
Soit maintenant y et z deux points distincts de Ex, il s'agit donc de montrer
qu'il existe un segment les joignant ou ce qui revient au m6me que le segment
S = [y*, z*] est tout entier dans E*. On veut par cons6quent prouver que l'on
peut ~ remplir >>le triangle x* y* z* dans E*.
Si AclR", on note pA l'homoth~tique de A dans le rapport p (le centre
6tant en x*). Pour un Po petit, 0 < p o < 1, poS est darts un voisinage convexe
de x* dans E*. Par ailleurs, du fait que E* est ouvert on est stir qu'un petit
voisinage des segments [x*, y*] et [x*, z*] est dans E*, ce qui donne la Fig. 1
de d6part, les parties gris6es et grasses 6tant darts E*.
y~
Z~
Fig. 1
En utilisant encore le fair que E* est ouvert, on constate que l'ensemble
/={p,0<o_<_l, pS~*}
est un intervalle non vide (poe/), ouvert dans [0, 1]. Appelons Ps sa borne
sup6rieure (on retrouve ici un argument similaire fi celui de [F 13, p. 577). Pour
prouver notre r6sultat, il nous reste /~ montrer que ps~l. En effet, on aura
alors par connexit6: 1 E I ~ , S ~ E * . Si ce n'6tait pas le cas, on aurait un point
co qui serait le premier /t partir de PsY* sur p,~S f i n e pas ~tre dans E*. Tout
ceci est indiqu6 sur la Fig. 2, les parties gris6es et grasses 6tant toujours dans
E*.
.,D s y ~
s
•
.
,
--...-~
Fig. 2
.D s z ~
624
Y. Carri6re
I1 nous r e s t e d prouver qu'un tel co ne peut exister. C'est le moment crucial
de la preuve o~ nous allons utiliser la compacit6 de M e t l'hypoth6se
disc L(F) < 1.
Le rayon ouvert r* issu de x* et aboutissant ~ 09 (sans l'atteindre) est dans
E*. I1 correspond done d u n rayon incomplet r~, de M. Mais M ~tant cornpacte,
le projet6 i0(ro~) de ce rayon est r6current dans un ouvert convexe de M que
l'on peut toujours supposer ~tre un ellipsoide du type 89
off e0 est un ellipsoi'de dans ~ et 89
d6signe l'homoth6tique de rapport 89du projet6 (le centre
6tant celui de l'ellipso'ide). Appelons 7~ les lacets de premier retour dans 89
(on rejoint iei l'argument de r6currence de IF1], p. 578). Ceci, traduit dans
/f/, dit que le rayon ro, coupe les ellipso~'des ~ieo ~<dans leur partie m6diane)~
comme indiqu6 sur la Fig. 3.
eo
T, %
/2 %
Fig. 3
Consid6rons maintenant la suite 71e*=h(yi)(~) d'ellipsoi'des de IR". Plus
exactement, eonsid6rons la suite de leurs traces 7i ~* c~ C* sur l'ensemble C* c E*,
C* = u p S , p < p, indiqu6 sur la Fig. 2. Ces traces sont celles de la suite d'ellipses
pleines 7~e~ n H dans le p l a n / 7 contenant C*. Comme disc L(F) < 1, par d6finition, la suite Vi~ est de discompacit6 < 1 et d'apr6s 2.1.2, la suite d'ellipses
7~5" n / / e s t aussi de discompacit6 < 1, ce qui veut dire que la suite des longueurs
de leurs grands axes ne tend pas vers 0. Comme les 7~e* n C* sont disjoints,
il est g6om6triquement clair que (quitted extraire une sous-suite) les ~ e* n H
convergent vers un segment de droite a ayant m pour point int6rieur.
Ps Y~
x
.
~ r. ........
~
"
d
9 9 ._t./t//,ll
/2
Fig4.
Vl#~/,~
eo
.0 s z ~
Autour de la conjecture de L. Markus sur les vari6t6s affines
625
Je dis q u e c r ne peut pus 6tre transverse fi p~S. En effet, on aurait alors
un rayon r* ~ C* passant par a comme indiqu6 sur la figure. Ce rayon couperait
une infinit6 de fois les 71e*nC* avant d'arriver ~ son point aboutissant. En
appliquant la proposition 1.3.1 aux convexes Ca = C s (correspondant fi C*) et
C 2 = l ' u n des 7ieo, on en d6duit imm6diatement que le rayon correspondant
r c C s couperait fi son tour une infinit6 de fois les 7leO avant d'Otre maximal.
Ceci voudrait dire que le projet6 0(r) serait r6current dans i0(eo) avant d'Otre
maximal, ce qui est impossible.
Doric n6cessairement a est confondu avec psS. Mais ceci conduit encore
fi la m~me contradiction pour les rayons passant par les points de cr proches
de 09 du c6t~ de psy* qui par d6finition de a~ s'ach6vent apr~s p~S. Donc 09
ne peut exister et par cons6quent S c E * . On a ainsi d6j~t prouv6 que Ex est
convexe et donc d'apr~s 1.3.2 que M est identifi6 via D h un ouvert convexe
de ~ " .
I1 est maintenant facile de v6rifier en reprenant la d6monstration pr6c6dente
que le bord de M (s'il n'est pas vide) est constitu6 d'un ou deux hyperplans
parall61es qui sont donn6s comme ~des limites possibles des suites d'ellipso'/des
7~eo relatives /t des rayons incomplets~. Le cas de deux hyperplans est exclu
car sinon la forme lin6aire valant 0 sur l'un et 1 sur l'autre serait invariante
par F et donc donnerait une fonction sans extremum local sur M. Ceci contredirait la compacit6 de M (ce type d'argument apparait d6j~ dans I F 4 ] ) et prouve
que Air est un espace ou un demi-espace affine; d ' o f i).
Dans le second cas, F laisserait invariant un hyperplan de ~ " . Mais d'apr6s
([-GH 1], Theorem 2.8, p. 644), si L(F)=SL(R"), le groupe d'holonomie ne peut
laisser invariant un sous-espace affine propre, d'ofi ii). []
On obtient imm6diatement le corollaire A en appliquant ii) et la proposition
2.2. D'autres corollaires pourraient suivre que le lecteur 6tablira au gr6 de ses
motivations g6om6triques propres .... Remarquons pour finir que toujours
d'apr6s 2.2, le groupe O(n-1, 0) est de discompacit6 1. I1 est clair que le produit
d'un tore plat qI"-~ par un cercle de H o p f S~ = ] 0 , + ~ [ / h , o f h est une h o m o th6tie, donne une vari6t6 affine compacte M dont l'holonomie lin6aire est dans
O(n-1, 0). Le cas o f A4 n'est qu'un demi-espace affine peut donc se produire
sous l'hypoth6se disc L ( F ) = 1. Mais 6videmment ici, il n'y a pas de volume
invariant.
3.2. Version feuilletOe
Les arguments essentiels de la d6monstration que nous venons de faire vont
nous permettre d'6tablir sans difficult6 une version de notre th6or6me darts le
contexte des travaux de D. Fried I F 2 ] et W. Goldman et M. Hirsch [ G H 2 ] .
Ce contexte est celui o f l'holonomie lin6aire L(F) laisse invariant un sous-espace
vectoriel V=N." de dimension d. Ceci revient /l dire que dans une base off
les d premiers vecteurs engendrent V, les matrices de L(F) sont de la forme
(A
: ) o f f le bloc A est de dimension d. Darts cette situation, V donne un
feuilletage affine o~v de M par des d-plans affines (voir 1.1) et on a le
626
Y. Carri6re
3.2.1. Th~or~me discompact feuillet6. Supposons que M est compacte et que l'on
a disc L(F)lv<-l. Alors le feuilletage ~- reIevO de ~ v dans NI a ses feuilles
fermEes et affinement diff~omorphes ~ ]Rd,]0, + ~ [ x ~,d 10U ]0, 1 [ X ~ d - 1.
DEmonstration. Une feuille L de ~ v est en particulier un d-plan maximal de
)Q qui est ferm6 d'apr+s la proposition 1.1. Je dis que L e s t fi exponentielle
convexe. Pour voir ceci, on reprend la d6monstration pr6c6dente avec maintenant x, y, z e L et y, z~Ex. On constate que seule la propri6t6 que la discompacit6
de L(F) en restriction /t V soit __<1 intervient pour prouver que y e t z sont
joints par un segment. Ainsi on prouve encore que L e s t ~i exponentielle convexe
donc convexe d'apr6s 1.3.2. On conclut de m~me que L e s t affinement IRd,
]0, + o0 [ • lRd- 1 ou ]0, 1 [ • F , J - l ce dernier cas ne pouvant ~tre exclu comme
pr6c6demment sauf lorsque, par exemple, L donne une feuille compacte dans
M. []
3.2.2. Proposition. Si de plus ~ v est de codimension 1 ou est riemannien,
c'est-~-dire si L(F) est constituE de matrices de la Jbrme ( o
; ) avec B~lR* ou
B60(n--d), alors le revdtement universel f4 est difJ~omorphe f i ~ " (sans y Otre
nEcessairement affinement diffEomorphe ).
DEmonstration. C o m m e le feuilletage ~ v a ses feuilles ferm6es et diff6omorphes
~t ~d, il en est de m~me du feuilletage ,~-v relev6 dans 1~. En codimension
1 (i.e. d = n - 1 ) , d'apr6s C. Palmeira [P], ceci assure que /~t est diff6omorphe
~i IR". Dans le cas riemannien ~ v est d6fini par une fibration localement triviale
sur R , - d de fibre IRa donc contractile. Par cons6quent cette fibration est triviale,
ce qui assure encore que M est diff6omorphe h IR". []
Ceci s'applique par exemple aux situations off les blocs A sont dans G avec
G = SO ( d - 1 , 1) ou SL(IR2), ce qui donne en particulier le corollaire B de l'introduction, I1 est facile de voir que dans le cas off n = 3 et G=SL(IR2), lefeuilletage
~ v a toutes ses feuilles diff6omorphes h des tores, des cylindres ou des plans.
En particulier, d'apr6s le ~th6or6me des b o u t s , de G. Duminy, dans ce cas,
~ v n'a pas de minimal exceptionnel, ce qui permettrait d'envisager une classification plus pr6cise.
3.3. Remarques et questions finales
On peut donner la d6finition naturelle suivante: un sous-ensemble A c ~ " est
d-convexe si chaque fois que C c R " est un convexe compact de dimension d
e t a C c A alors C c A. La 1-convexit6 revient ~ la convexit6 ordinaire. On serait
bien tent6 de g6n6raliser le th6or6me discompact en m o n t r a n t que si M est
compacte et disc L(F)< d, alors ~ est ~ exponentielle d-convexe (i.e. D (Ex)= IR"
est d-convexe, Vx e/V~). On aimerait bien aussi montrer de plus que si disc L(F) < 2
alors )~r est contractile. Sans autre id6e suppl6mentaire, la d6monstration que
nous avons faite ne fournit pas ces g6n6ralisations qui cependant n'admettent
pas de contre-exemples 6vidents. Une autre direction qui nous semble attirante
Autour de la conjecture de L. Markus sur les vari6t6s affines
627
est l'6tude des feuilletages transversalement affines fi holonomie lin6aire de discompacit~ 1. Parmi ces feuilletages, il y a tous ceux de codimension 1. Y a-t-il
pour ces feuilletages un analogue du th6or6me discompact? Est-ce-que le b o n
point de vue ne serait pas de consid6rer l'hypoth6se disc L(F)< 1 c o m m e une
g6n6ralisation naturelle de la codimension 1 ?
Remerciements. J'ai du plaisir fi remercier ici m o n ami Etienne Ghys et avec lui l'Squipe de g6om6trie
de Lille qui m'ont invit6 fi exposer le germe de ces r6sultats (le cas Iorentzien) aux journ6es de
g6om6trie du Cap Gris-Nez. Ceci m'a encourag6 ~, un moment o/l je flottais entre doute et conviction.
Je remercie 1'6quipe de th6orie spectrale et g6om6trie de Grenoble poar des discussions qui ont
soutenu ma recherche. J'ai souvent pens6 a ma premi6re rencontre avec David Fried au moment
oa il blair en train d'6crire [F 1]. Les premiers arguments de cet article ont +t~ le point de d6part
de mon inspiration.
R6f6rences
[A]
Arnold, V.: Les m6thodes math6matiques de la m6canique classique. Moscow: Edition
MIR 1976
Benzecri, J.P.: Vari6t6s localement affines et projectives. Bull. Soc. Math. France 88, 229-332
[Be]
(1960)
Buser, P.: A geometric proof of Bieberbach's theorems on crystallographic groups. L'Ensei[Bul
gnement Math. 31, 137 145 (1985)
[CG] Conze, J.P., Guivarch, Y.: Remarques sur la distalit6 dans les espaces vectoriels. C. R.
Acad. Sci. Paris 278, 1083 1086 (1974)
[D'A] D'Ambra, G.: Isometry groups of Lorentz manifolds. Invent. Math. 92, 555 565 (1988)
Fried, D.: Closed similarity manifolds. Comment. Math. Helv. 55, 576--582 (1980)
[FI]
Fried, D.: Distality, completeness and affine structures. J. Diff. Geom. 24, 265-273 (1986)
[F2]
Fried, D.: Flat spacetimes. J. Diff. Geom. 26, 385 396 (1987)
iF31
Fried, D.: Polynomials on affine manifolds. Trans. Am. Math. Soc. 274, 709 719 (1982)
[F4]
Fried, D., Goldman, W.: Three-dimensional affine crystallographic groups. Adv. Math. 47,
[FG]
1-49 (1983)
[FGH] Fried, D., Goldman, W., Hirsch, M.: Affine manifolds with nilpotent holonomy. Comment.
Math. Helv. 56, 487-523 (1981)
Goldman, W.: Two examples of affine manifolds. Pac. J. Math. 94, 327-330 (1981)
[G1]
Goldman, W.: Projective structures with fuchsian holonomy. J. Diff. Geom. 25, 297-326
[G23
(1987)
[GH 1] Goldman, W., Hirsch, M.: The radiance obstruction and parallel forms on affine manifolds.
Trans. Am. Math. Soc. 286, 629 649 (1984)
[GH2] Goldman, W., Hirsch, M.: Affine manifolds and orbits of algebraic groups. Trans. Am.
Math. Soc. 295, 175-190 (1986)
[GK] Goldman, W., Kamishima, Y.: The fondamental group of a compact flat Lorentz space
form is virtually polycyclic. J. Diff. Geom. 19, 233-240 (1984)
Guillemin, V., Pollack, A.: Differential topology. New York: Prentice Hall 1974
[GP]
[Kob] Kobayashi, S.: Projectively invariant distances for affine and projective structures in Differential Geometry, Vol. 2, pp. 127 152, Banach Center Publications, Polish Scientific Publishers,
Warsaw, 1984
Koszul, J.L.: Vari6t6s localement plates et convexit6. Osaka J. Math. 2, 285- 290 (1965)
[Kos]
Markus, L.: Cosmological models in differential geometry, mimeographed notes. University
{Mar]
of Minnesota, 1962
Milnor, J.: Topology from the Differentiable viewpoint. Univ. Press of Virginia, 1965
[Mil]
Palmeira, C.F.B.: Open manifolds foliated by planes. Ann. Math. 11)7, 109 131 (t978)
[P]
Smillie, J.: Affinely flat manifolds, Doctoral Dissertation, University of Chicago, 1977
[Sm]
Sullivan, D., Thurston, W.: Manifolds with canonical coordinates: some examples. Enseign.
[ST]
Math. 29, 15-25 (1983)
628
Y. Carri+re
[T]
Thurston, W.: The geometry and topology of 3-manifolds, chapter 3. Princeton University,
1978
Wolf, J.: Spaces of constant curvature. New York: McGraw-Hill 1967
[W]
Note. W. Vannini m'a signal6 qu'une vari6t~ lorentzienne non n~cessairement plate mais homog~ne
i.e. ayant un groupe transitif d'isom6tries est toujours g6od6siquement compl6te d'apr6s J. Marsden.
On completeness of homogeneous pseudo-riernannianmanifolds. Indiana Univ. Math. J. 22, 1065-1066
(1973)
Oblatum 3-II-1988 & 22-VIII-1988