Jusqu`où peut-on voir à l`horizon ? — Preuve des équivalents

Jusqu’où peut-on voir à l’horizon ?
—
Preuve des équivalents
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Rappels des notations
Deux fonctions f et g sont équivalentes au voisinage d’un point a (et on note f (x) ∼ g (x))
si :
f (x)
lim
=1
x→a g (x)
Une fonction f (x) est négligeable devant une fonction g (x) au voisinage d’un point a (et
on note f (x) = o(g (x))) si :
f (x)
=0
lim
x→a g (x)
1 Equivalent de
p
2x + x 2
Proposition. Au voisinage de 0,
p
p
2x + x 2 ∼ 2x
Démonstration. Pour tout x 6= 0,
s
p
r
2x + x 2
2x + x 2
x
= 1+
=
p
2x
2
2x
r
Comme lim
x→0
1+
x
= 1, on a donc
2
p
2x + x 2
lim p
=1
x→0
2x
2 Equivalent de cos−1
¡
1
1+x
¢
Lemme. Au voisinage de 0,
1
= 1 − x + o(x)
1+x
Démonstration. Pour tout réel x 6= −1 ,
1
x2
= 1−x +
1+x
1+x
De plus,
1
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x2
1+x
=
x
x x→0
−−−→ 0
1+x
2
donc
x
= o(x)
1+x
Lemme. Au voisinage à gauche de 1,
cos−1 (x) =
p p
p
2 · 1 − x + o( 1 − x)
Démonstration. C’est bien un développement au voisinage de 1 (et non de 0) que nous
allons faire ici. On commence par dériver la fonction cos−1 définie sur [−1; 1] et dérivable
sur ] − 1; 1[ :
−1
1
−1
=p
·p
∀x ∈] − 1; 1[, (cos−1 )0 (x) = p
2
1−x
1+x
1−x
On cherche ensuite à déterminer un équivalent de cette dérivée au voisinage à gauche de
1. Pour cela, on pose x = 1−h avec h > 0 pour se ramener à un développement au voisinage
de 0 :
1
−1
1
−1
·p
=p ·p
(cos−1 )0 (x) = p
1−x
1+x
h
2−h
1
−1
=p ·p q
h
2 · 1 − h2
On utilise ensuite le fait que lim q
h→0
1
1 − h2
= 1, ce qui donne :
−1 1
(cos−1 )0 (x) = p · p (1 + o(1))
2
h
µ
¶
−1
1
= p p +o p
2· h
h
Ainsi, en remplaçant h par 1 − x on a :
µ
¶
−1
1
) (x) = p p
+o p
1−x
2 1−x
−1 0
(cos
Pour trouver le développement de cos−1 au voisinage de 1, il suffit alors d’intégrer cette
dernière relation (bien sûr, il y a une propriété derrière qui autorise
ici à prendre une prip
mitive). Comme la primitive de p 1 qui s’annule en 1 est −2 1 − x, on a alors :
1−x
´
p
1 ³ p
cos−1 (x) − cos−1 (1) = − p −2 1 − x + o( 1 − x)
2
donc :
cos−1 (x) =
p p
p
2 · 1 − x + o( 1 − x)
Proposition. Au voisinage de 0,
µ
cos
¶
p
1
∼ 2x
1+x
2
Démonstration. On utilise les deux lemmes précédents en remarquant que si x tend vers
1
0 alors 1+x
tend vers 1. Ainsi, au voisinage de 0,
cos−1
µ
¶
1
= cos−1 (1 − x + o(x))
1+x
³p
´
p p
= 2 · 1 − (1 − x + o(x)) + o
1 − (1 − x + o(x))
p p
p
= 2 · x + o(x) + o( x)
p
p
= 2x + o(x) + o( x)
Nous voyons donc que
¡ 1 ¢ p
p
cos−1 1+x
2x + o(x) + o( x) p
=
= 1 + o(1) + o(1)
p
p
2x
2x
et que cette quantité tend bien vers 1 quand x tend vers 0.
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