8 partie Introduction à la mécanique des fluides

Transcription

8ème partie
Introduction à la mécanique des fluides
Notes de cours de
Licence de Physique
de A. Colin de Verdière
Introduction
Connaissant les difficultés pour traiter le mouvement de deux corps en interaction
gravitationnelle et l’impossibilité du calcul (autre que numérique) du mouvement à 3 corps,
on peut se demander si c’est bien raisonnable de se lancer dans l’analyse du mouvement d’un
fluide qui consiste de fait en une infinité de particules en interaction. La raison principale est
que l’on vit avec deux fluides « air et eau » présents partout autour de nous. L’un gaz, l’autre
liquide, avec des masses volumiques très différentes, ρair ≅ 1.2 kg m-3 (aux conditions
ordinaires de température et de pression -voir plus loin) et ρeau ≅ 103 kg m-3. On sait
intuitivement que l’on peut comprimer un gaz et réduire son volume mais que par contre c’est
très difficile pour un liquide. En dépit de ces différences, les principes de la Mécanique des
fluides sont généraux et vont s’appliquer aux gaz et aux liquides. Ces principes posés, des
approximations spécifiques devront être élaborées pour progresser dans la prédiction des
mouvements des fluides car les équations sont juste trop compliquées… Ces équations sont
générales et connues depuis l’époque d’Euler (1707-1738) et Lagrange (1736-1813). Par
contre les solutions exactes se comptent sur les doigts de la main ! L’art d’approximer les
équations générales pour un problème particulier est au cœur de la recherche en Mécanique
des fluides.
On peut citer quelques phénomènes qui apparaissent dans ces fluides en mentionnant les
vitesses caractéristiques impliquées et l’échelle spatiale de l’écoulement. Que veut-on dire par
échelle spatiale de l’écoulement ?
Imaginons un profil de vitesse observé
à une section d’une rivière.
u(x)
umax
On va définir la vitesse caractéristique
(ou l’échelle de vitesse) par :
L
U = max (|u(x)|)
x
(position ⊥
aux berges)
Maintenant l’échelle spatiale L est choisie pour estimer la dérivée du/dx de l’écoulement
appelée aussi cisaillement).
On definit :
L=
U
du
dx max
(voir sur le dessin à quoi correspond L). Si on a un phénomène périodique L correspondra à la
longueur d’onde/2π. Bien souvent on ne connaît pas assez bien l’écoulement pour être très
précis et seul l’ordre de grandeur de L sera estimé. La notion d’ordre de grandeur est
Mécanique Physique (S2) 8ème partie – page 1
importante. C’est typiquement la puissance de 10 la plus proche d’une quantité donnée A.
Plus précisément on va dire que A aura l’ordre de grandeur 10n si :
3 10n-1 < |A| < 3 10n
Bien souvent en physique une estimation de l’ordre de grandeur des quantités importantes
permet de faire le tri entre les processus physiques importants et ceux qui sont négligeables
pour l’observation que l’on est en train de faire. Listons quelques exemples de phénomènes et
les échelles associées :
Echelle
de vitesse U
Echelle
de longueur L
Mélange du lait dans votre café
qques cm s-1
1 cm
Fumées de cigarettes
qques cm s-1
1 cm
Mouvements dans une casserole d’eau
chauffée
qques cm s-1
1 cm
10 à 100 m s-1
1 m à 100 m
Vagues à la surface de l’eau
10 m s-1
(vitesse de phase)
1 m à 1 km
Musique (acoustique)
300 m s-1
(vitesse de phase)
1 mm à 100 m
Marées océaniques
10-200 m s-1
(vitesse de phase)
100 à 10 000 km
Circulation océanique
1 cm s-1
1 000 km
Mouvements dans un nuage convectif
10 m s-1
1 à 10 km
Tornades
100 m s-1
100 m
Ouragans tropicaux
50 m s-1
500 km
Circulation atmosphérique
10 m s-1
1 000 à 10 000 km
Mouvements internes
de la croûte terrestre (Fluide ?)
1 cm/an
1 000 à 10 000 km
10 km s-1
(vitesse de phase)
1 à 100 km
Ecoulements
Ecoulements autour d’un avion (voiture,
bateau)
Ondes sismiques (séismes)
Tableau 1
Dans la liste apparaissent des mouvement périodiques (musique, vagues, marées, ondes
sismiques) et pour ceux là, c’est la vitesse de propagation des ondes qui est donnée. Cette
vitesse de propagation qui n’a rien a voir avec la vitesse des particules (petite par rapport à la
vitesse de propagation). La liste est sans fin si on ajoute l’atmosphère des planètes, le soleil
etc…
Quels sont les paramètres importants qui gouvernent la physique de ces mouvements de
fluides sur la terre ?
(i)
gravité → g ≈ 10 m s-2
Evidemment la force gravitationnelle est la force fondamentale !
(ii)
rotationde la terre → Période de rotation 24 heures
On n’a pas beaucoup parlé de la rotation mais on sait que la terre n’est pas un
repère inertiel et que si l’accélération d’une particule devient de l’ordre de
l’accélération terrestre, on a des soucis à se faire. L’accélération due a la rotation
de la terre subie par un mouvement de vitesse U (mesurée par un observateur
terrestre) est O (ΩU) où Ω est la vitesse angulaire (2π/période) de la terre, un effet
de référentiel non inertiel due à l’accélération dite de Coriolis (en réalité
découverte par Laplace).
On s’aperçoit qu’il serait intéressant de savoir si gravité et/ou rotation sont importants dans
les écoulements de la Table 1. Pour ça il faudrait estimer les accélérations des particules de
fluide et les comparer à g et ΩU respectivement. Imaginons une particule de fluide passant
d’une vitesse nulle à une vitesse U sur une distance (échelle) L. Cela se passe forcément en
un temps O(L/U) et donc l’accélération typique d’une particule fluide est :
a=
U
U2
=
L/ U L
On est donc amené à comparer “a” à g et ΩU via les nombres sans dimensions :
F=
R0 =
U2
gL
U2
U
=
LΩU ΩL
Nombre de Froude
Nombre de Rossby
Si F >> 1
La gravité ne joue pas un rôle important et inversement si F<<1.
Si R0 >> 1
La rotation ne joue pas un rôle important et inversement si R0<<1.
Complétez les valeur de F et R0 dans le tableau 1 pour chaque écoulement1.
En discutant de la mécanique des corps solides on s’intéresse à des blocs de matière
indéformable. Par expérience on sait que si les forces appliquées ne sont pas trop fortes, le
corps se déforme juste un peu (en fait très peu) et que si on supprime la force, il reprend sa
1
Il existe un autre nombre sans dimension très important : le nombre de Reynolds que l’on verra plus loin.
forme initiale : dans ce régime dit élastique le corps a une mémoire de sa forme. On peut dire
que les atomes ne s’écartent pas beaucoup les uns des autres à cause de l’organisation en
réseau cristallin très ordonné qui prévaut aux échelles atomiques.
Par contraste un fluide n’a aucune mémoire de sa forme. Sa forme s’adapte aux frontières du
contenant. Une définition opérationnelle d’un fluide est la suivante :
« Sous l’effet d’une force de cisaillement, un fluide se met nécessairement en
mouvement : il y a écoulement ».
Je considère un petit bloc de fluide (isolé par une frontière fictive pointillée) à l’intérieur d’un
volume de fluide plus grand:
F
F
Les forces de cisaillement F sont des forces tangentielles, parallèles aux surfaces délimitant
le volume de contrôle. Notez que les deux forces sont opposées pour ne pas créer une nette
accélération de l’ensemble du bloc vers la droite (ou vers la gauche). Sous l’effet de ce
couple, le bloc de fluide se déforme (voir dessin). On peut se dire que la masse du bloc de
fluide que l’on suit doit être conservée. Si on suppose que le bloc est infini dans la direction
perpendiculaire à la page, et que sa masse volumique ρ est constante, cela implique que la
surface soit conservée au cours de la déformation et c’est ce que j’ai essayé de représenter sur
le dessin.
Si on continue notre comparaison entre la mécanique d’un bloc
solide et d’un bloc fluide, on sait que le mouvement du solide
indéformable s’analyse par la translation de son centre de masse et
de 3 rotations (maximum) autour de 3 axes passant par ce centre de
masse, soit 6 variables et leur 6 équations d’évolution. Maintenant
pour analyser le même bloc de fluide, il faut analyser le
mouvement de chaque particule de fluide qui le compose, a priori
un nombre infini de variables ! On peut essayer de réduire ce
nombre par une discussion sur la taille d’une particule fluide. Soit
λ la taille de cette particule de fluide. Alors pour un bloc fluide de
taille L il faut suivre le mouvement de (L/λ)3 particules et donc
3(L/λ)3 variables (3 composantes de la position).
λ
L
La question est : Quelle valeur choisir pour λ ?
Faut-il descendre à l’échelle moléculaire et suivre chaque molécule de fluide? Si on mesure la
vitesse dans un flux d’air laminaire avec une hélice et un compte tours on s’aperçoit que la
vitesse moyenne à l’échelle du capteur n’est pas erratique : elle est stable mais elle représente
de fait une moyenne des vitesses des milliards de molécules qui tapent sur l’hélice par unité
de temps. L’idée est donc que λ >> 10-10 m (distance intermoléculaire). Existe-il une borne
supérieure pour λ ? C’est une question très difficile à laquelle on ne peut pas apporter une
réponse définitive car cela dépend de l’écoulement ! (un résultat montré par Kolmogorov en
1941 dans sa théorie de la turbulence). A nouveau on peut adopter dans cette introduction une
position minimaliste et se dire que λ doit dépendre de l’échelle de l’écoulement qui
m’intéresse, l’échelle L du tableau 1. Si je prends λ << L je devrais être tranquille et avoir
assez de résolution pour d’écrire correctement l’écoulement choisi. Imaginons que l’on
prenne L/λ = 100 alors le nombre de particules à suivre est (100)3 et le nombre de
composantes de la position de ces particules est 3 106. Il faut résoudre 3 106 équations
couplées traduisant l’application de la 2 eme loi de Newton à chacune des particules, chiffre à
comparer à 6 pour le bloc solide indéformable. Ceci illustre la difficulté du problème. En
conséquence la turbulence (un écoulement riche en échelles spatiales) reste un des grands
problèmes non résolu de la physique dont l’étude reste fondamentale pour la vie sur cette
planète.
Le volume de la particule fluide ayant été ainsi plus ou moins défini on peut déduire la masse
volumique comme ρ = ∆M/∆V où ∆M est la masse contenue dans le volume ∆V.
De façon similaire on attribuera un vecteur vitesse U à un point x d’un fluide à un instant
donné t. En pratique les vitesses ainsi définies et la masse volumique seront supposées des
fonctions continues par morceaux (souvent dérivables aussi) de la position et du temps. La
notion mathématique associée à la continuité et à la dérivation implique de faire tendre le petit
volume de la particule ∆V vers zéro. Mais physiquement on vient de voir que l’on ne fait pas
ça car on ne veut pas se retrouver dans le
domaine moléculaire. L’idée sous jacente est
que les prédictions faites sous ces hypothèses
doivent être confrontées avec succès aux
observations. Pour autant peut on négliger
Allure de la tâche de colorant à 3 instants
totalement les mouvements moléculaires ? On
peut faire l’expérience suivante (par la
pensée) : on colore un petit volume de fluide au repos à t = 0. Même si notre U tel que
précédemment défini est nul et reste nul, il est observé une diffusion du colorant qui se
produit lentement mais inexorablement jusqu’au moment où la couleur sera uniforme (et pâlie
bien sûr) dans tout le volume disponible. Dans cet état final, les molécules de colorant se sont
réparties uniformément par collisions aléatoires avec leurs voisines non colorées. Un tel effet
moléculaire est représenté par un processus de diffusion dont l’intensité est gouvernée par les
vitesses moléculaires et les distances moyennes entre molécules. Il sera nécessaire d’inclure
cet effet si on veut que la solution des équations de cette Mécanique dite des Milieux Continus
représente le comportement des fluides réels. En particulier les mathématiciens du 19 eme
siècle avaient démontré l’impossibilité de vol d’un avion en l’absence de mouvements
moléculaires.
Les forces dans un fluide
Si je prend un petit volume élémentaire de fluide δV au sens défini plus haut, il va subir deux
types de forces :
ρδV
(i)
les forces de volume
Dans un champ de gravité, le poids W
poids W
s’écrira : W = ρ δVg avec ρ la masse volumique. Ce sont des forces qui agissent à
distance et qui sont proportionnelles au volume.
(ii)
les forces de surface : Ce sont les forces
exercées par un morceau de fluide sur un autre
morceau adjacent au premier : des forces de
contact mécanique fluide-fluide. L’expérience
suivante aide à en comprendre la nature.
F
Force de
surface
Il y a des molécules qui s’agitent dans la chambre du piston à gauche. Elles cognent la surface
(hachurée) du piston. Une balle qui rebondit perpendiculairement sur un mur voit sa quantité
de mouvement mv devenir – mv après réflexion. Ce faisant elle a exercé une impulsion sur le
mur qui est juste 2 mv et la force moyenne est juste cette impulsion divisé par le temps moyen
de collision. On peut imaginer la même chose pour les molécules qui rentrent en collision
avec le piston. Pour maintenir le piston (qui coulisse sans frottements) il faut donc exercer une
force F qui équilibre les forces dues aux impacts moléculaires de l’autre coté de la paroi du
piston. Si on double la surface du piston, le fluide étant dans le même état (masse volumique,
température), on s’aperçoit que la force F double et donc que la force est proportionnelle à la
surface A. Du coup c’est intéressant de définir la pression comme :
p = F/A
Ceci doit être complété en ajoutant que la force correspondante est normale à la surface
séparant deux morceaux de fluide. En généralisant on définit la pression en un point par :
F
avec
n
δA
n normale à la surface δA.
F = - p n δA
(1)
Ici F est la force exercée par le fluide vers lequel n pointe (à droite) sur le fluide situé à
gauche de la surface. Evidemment la 3ème loi de Newton reste valable et la force exercée par
le fluide de gauche sur le fluide de droite est juste – F. Mais pourquoi y a t-il un signe – dans
(1) ? Parce qu’un fluide ne peut subir que des compressions, c'est-à-dire des forces dirigées
vers l’intérieur du volume considéré. Les tensions sont interdites ! En conséquence on met un
signe – pour que p soit défini positif.
Mais p dépend-il aussi de
l’orientation n de la surface ? On
p3
dx2
x2
g
peut répondre à cette question en
p2
x3
p1
considérant un volume de contrôle
x1
dx3
dx1
sous forme de prisme triangulaire
élémentaire.
Supposons que sous l’effet de ces forces, le prisme accélère avec une accélération a. La 2ème
loi s’écrit dans la direction 2 :
- ρ δV g + p1 dx1 dx3 – p3 cos α dl dx3 = ρ δV a2
où dl = ( dx12 + dx 22 )1/2 , δV = ½ dx1 dx2 dx3 et α est l’angle entre la normale à l’hypoténuse et
la direction x2.
Dans la direction 1 :
p2 dx2 dx3 – p3 sin α dl dx3 = ρ δV a1
Mais comme
dx2 = sin α dl et dx1 = cos α dl

1
 p1 − p3 = 2 ρdx1 (a2 + g)
les deux équations se réécrivent : 
 p − p = 1 ρdx a
3
2 1
 2
2
Si maintenant on fait tendre le prisme vers 0 (dx1, dx2 et dx3 → 0) tout en gardant sa forme ( α
= cste) et que les accélérations restent finies alors nécessairement :
p1 = p 2 = p 3
Comme les forces de pressions varient comme dx2 et que masse × accélération varie comme
dx 3 ces dernières sont d’un ordre de grandeur plus faibles lorsque dx → 0. Ceci garantit que
la pression s’exerce de la même façon dans toutes les directions et donc que p est indépendant
de n. Ce type d’argument avec passage à la limite est utilisé très souvent en Mécanique des
Fluides alors que l’on sait que si on fait tendre le volume du prisme vers zéro, on tombe dans
le royaume moléculaire où vitesse et accélération ne sont pas bien définies. La mécanique des
milieux continus est basée sur ce type de démarche.
Unités de pression : le pascal, 1 Pa = 1 N m-2 ; le bar, 1 bar = 105 Pa.
La notion de pression introduit la force mécanique normale à une surface de contact entre
deux volumes de fluide. Notre définition du fluide faisait intervenir des forces tangentielles à
cette surface de contact.
L’origine de ces forces tangentielles est
différente car elle dépend du mouvement relatif
de couches de fluides de vitesses différentes.
δ
Imaginons une couche de fluide allant à la
vitesse U vers la droite au-dessus d’une couche
de fluide allant à la vitesse –U vers la gauche.
On observe au cours du temps que le saut de
t=0
t
vitesse se lisse. L’effet est assez facile à
comprendre si on pense à nouveau aux mouvements moléculaires sous-jacents. Quand une
molécule rapide du haut se retrouve en bas elle va transmettre sa quantité de mouvement à des
molécules plus lentes et inversement ces dernières vont ralentir la couche du haut. L’effet est
diffusif exactement comme pour le colorant. Comme c’est de la quantité de mouvement qui
est échangée, tout se passe comme si le fluide du dessus exerçait une force tangentielle sur le
fluide du dessous (le pointillé est la surface de contact). Cette force dépend certainement de la
différence des vitesses entre les deux couches mais on conçoit que cela doive dépendre aussi
de l’épaisseur δ de la couche de transition entre les deux valeurs de la vitesse. Si δ est petit,
une molécule traverse aisément du dessus au dessous alors que si δ est grand, la distance à
parcourir nécessite pas mal de temps pour que la molécule rapide transfère sa quantité de
mouvement à la couche du dessous. Le transfert ne sera pas efficace car la molécule rapide
aura subi beaucoup de collisions avec les molécules de la zone de transition.
On s’aperçoit que la quantité naturelle dont dépend la force tangentielle est la dérivée de la
y
vitesse, dérivée par rapport à la
coordonnée y dont l’axe est
n
perpendiculaire à la vitesse. Cette
dérivée dU/dy est appelée cisaillement
F
U
de vitesse.
δA
En définitive, la force F tangentielle
exercée par le fluide du dessus sur le
fluide du dessous (et – F celle exercée par le fluide du dessous sur le fluide du dessus) a une
intensité donnée par :
F
dU
=µ
δA
dy
Une expression déjà donnée par Newton dans ses Principia où µ est le coefficient de viscosité,
une caractéristique du fluide qui mesure l’efficacité du transfert moléculaire de quantité de
mouvement. Il est déterminé expérimentalement pour chaque fluide :
à 10°C
air
eau
µ (kg m-1 s-1)
1.7 10-5
1.3 10-3
ρ(kg m-3)
1.25
103
ν = (µ/ρ) m2 s-1
1.36 10-5
1.3 10-6
Tableau 2
L’hydrostatique
Une des grandes difficultés de la mécanique des fluides (outre le fait du nombre de particules
à suivre) réside dans le fait que certaines forces s’exercent sur des surfaces de contact et
d’autres sur des volumes. On va voir comment on peut résoudre cette difficulté en considérant
tout d’abord des fluides au repos .ie. l’hydrostatique. Y a-t-il quelque chose d’intéressant dans
cette physique ? Oui définitivement !
Considérez de l’eau au repos dans un bocal.
Je choisis un volume sous la
forme d’un petit cylindre dont les
1
génératrices sont parallèles à g.
z
En dehors de cela le volume est
g
arbitraire. On a dessiné les forces
h
y
Poids
de surface toutes normales aux
surfaces du cylindre. Pourquoi ?
2
x
Parce qu’on sait que si on met
des forces tangentielles le fluide
va s’écouler. Or par hypothèse il est repos. En statique on exige évidemment que la somme
des forces soit nulle.
Quelles sont les forces exercées sur le volume (δA, h) du cylindre ? Le poids et les forces de
pression de contact. On va supposer que ρ est constant (ce qui est une très bonne
approximation pour l’eau) et donc l’équilibre de la composante z des forces est :
- p1 δA + p2 δA - ρ δA h g = 0
soit :
p2 = p 1 + ρ g h
Considérons maintenant ce qui se passe dans le plan
horizontal xy :
On voit que compte tenu de la symétrie par rapport au
centre du cercle, la pression doit être uniforme sur la
surface de contrôle pour que la somme de ces forces
toutes radiales soit nulle.
δA
Les lois de l’hydrostatique pour un fluide au repos en résultent :
1) La pression augmente linéairement avec la profondeur.
2) La pression est constante dans un plan horizontal.
Note : Si h = 10 m d’eau, on voit que l’augmentation de pression est à peu près 103⋅10⋅10 =
105 Pa = 1 bar. C’est à peu près la valeur de la pression atmosphérique. Mais on ne sait pas
encore ce qu’est la pression atmosphérique !
La pression atmosphérique
On a découvert la pression atmosphérique en
faisant l’expérience suivante : On prend un tube
d’environ 1 m rempli de mercure et on place
l’extrémité ouverte sur un récipient aussi
rempli de mercure. Aussi bizarre que cela
paraisse le mercure ne s’écoule pas du tube
dans le récipient. Il s’écoule un peu mais pas
beaucoup et ça se stabilise dans la
configuration dessinée.
B
h
A C
Plus rien ne bouge, c’est un problème de
statique ! L’extrémité du tube au-dessus de B est vide, donc la pression en B doit être nulle2.
La colonne BC étant à l’équilibre, on a :
pC = p S + ρ g h
où ρ est la masse volumique du mercure et ps la pression dans le vide au dessus de B.
Maintenant sur la surface horizontale la pression en A à l’extérieur du tube est égale à la
pression en C à l’intérieur du tube ( règle 2 de l’hydrostatique). L’origine de la pression en A
2
Comme on le sait « la nature a horreur du vide » et des molécules de mercure passent de la phase liquide à la
phase gazeuse et une pression de vapeur dite saturante, pS, s’établit au dessus de B.
est forcément reliée à l’existence d’un air pesant au-dessus du baromètre (car c’est bien de lui
qu’il s’agit sur la figure !), c'est-à-dire de la présence d’une atmosphère et on a ainsi :
pA = ρ g h
où pA est la pression atmosphérique (on a pris ps=0). Avec ρ ∼ 13.4 103 kg m-3, h = 760 mm,
et g = 9,81ms-2 :
pA ∼ 105 Pa = 1 bar
Le bar est la valeur typique de la pression atmosphérique. On voit que si on veut comparer les
valeurs de la pression atmosphérique en différents points, il faudra faire attention aux
variations de g et de ρ (expansion thermique) pour convertir les hauteurs barométriques en
pression. Mais la pression atmosphérique elle même est largement déterminée par l’équilibre
hydrostatique dans l’air au dessus d’un point donné. Ceci reste vrai pour une atmosphère en
mouvement tant que les phénomènes sont de grande échelle horizontale par rapport à la
profondeur du fluide3 et donc pour les structures associées au temps qu’il fait. Ainsi une basse
(haute) pression sur les cartes de prévision des journaux correspond elle à une distribution de
la masse volumique faible (élevée) et donc à une distribution de température haute (basse) au
dessus du point considéré. En météorologie on veut savoir comment p varie dans le temps et
dans l’espace car des variations de pression sur l’horizontal vont naître des accélérations et
donc des vents.
Les corps flottants
Comme vous l’avez remarqué, on flotte dans l’eau et on ne sent plus
son poids : tout se passe comme si la gravité avait disparu. Comment
est-ce possible ? Imaginons un sac de plastique de masse négligeable
rempli d’eau que l’on immerge dans une piscine : il est alors en
équilibre hydrostatique. Quelles sont les forces appliquées sur ce sac ?
Son poids bien sûr, ρVg où V est le volume d’eau contenu dans le sac.
Mais aussi les forces de pression normales avec la pression p qui augmente linéairement avec
la profondeur (règle 1 de l’hydrostatique). Les pressions étant plus élevées en bas, la force
nette intégrée sur la surface du sac est dirigée vers le haut. Cette force est ce qu’on appelle la
force d’Archimède. On se dit que cela doit être assez difficile à calculer car il faut faire une
intégrale sur la surface de forces normales à la surface élémentaire avec p qui varie
linéairement sur la verticale ; si le calcul est difficile, le résultat lui est très simple ! Comme le
sac est en équilibre hydrostatique, cette intégrale n’est pas autre chose que le poids du sac
ρVg .
Maintenant je remplace ce sac d’eau par une pierre qui a exactement la même forme que le
sac et je la maintiens par un fil qui passe par le centre de masse. Clairement les pressions
exercées par l’eau sur la pierre sont exactement les mêmes que dans le cas du sac d’eau.
On conclut :
3
La profondeur de l’atmosphère a considérer pour les structures énergétiques du temps (dépression de 1000 km)
est de l’ordre de 15 km.
« Un fluide au repos exerce sur un corps immergé une force de flottabilité dirigée
vers le haut qui est égal au poids du volume de fluide déplacé par le corps. »
L’équilibre de la pierre est donc (dans la direction z vers le haut) :
T + ρVg - ρpierre Vg = 0
avec T la tension du fil
T = (ρierre - ρ) V g
ou
Si on coupe le fil, évidemment la pierre accélère vers le bas et tombe au fond. L’équilibre au
fond se fait avec la réaction normale N du fond de la piscine sur la pierre (égale à la tension
du fil comme vous vérifierez).
Finalement tout se passe comme si le poids apparent d’un corps de densité ρ* dans le fluide
était (ρ* - ρ) V g. Si ρ * = ρ (le sac d’eau) on s’est effectivement débarrassé de la gravité.
Note : L’application majeure concerne les bateaux mais
dont on n’a aucune envie qu’ils finissent comme la
pierre au fond de l’eau. Comment est-ce possible ?
Il est en équilibre sous l’effet de son poids et de la
force de pression sur le volume immergé.
air
eau
(Il y a aussi une force de pression due à l’air sur la partie émergée : faut-il s’en préoccuper ?).
Poids = ρ Vi g
Ainsi
On appelle déplacement d’un bateau sa masse propre car la masse d’eau déplacée ρ Vi est
aussi égale à sa masse. Imaginons le bateau à sec et l’eau montant le long du bord. Le bateau
va flotter lorsque le volume immergé sera suffisant pour accommoder le déplacement. Bien
entendu des vagues vont perturber cet équilibre et il faudra examiner la stabilité de l’équilibre.
La dynamique des fluides
On ne va pas dériver les équations de la mécanique des fluides dites de Navier-Stokes car on
ne saurait pas trop quoi en faire. Par contre il y a un certain nombre de lois intégrales qui
permettent de dire pas mal de choses si le flot est connu. C’est une approche diagnostique.
(i)
Les forces sur un élément de volume
Pour traduire la 2ème loi de Newton pour un
petit volume de fluide, il faut écrire que les
forces sur un élément de volume élémentaire
δV sont égales à la masse de l’élément de
volume, ρδV fois l’accélération a de
l’élément de volume. Pour le poids c’est
facile, simplement ρδV g. Par contre c’est
y
x
x
x + dx
z
beaucoup moins apparent pour les forces de surface. Considérons d’abord les forces de
pression sur un petit parallélépipède et commençons par regarder dans une direction x :
La force de pression en x est p(x) dydz et en x + dx, p(x + dx)dydz. Il apparaît une force nette
dans la direction x s’appliquant sur le volume dxdydz si p(x+dx) est différent de p(x) :
[p(x) – p(x + dx)] dydz
En faisant un développement limité de Taylor de p(x + dx) à l’ordre 1 :
p(x + dx) = p(x) +
∂P
⋅ dx
∂x
Donc si dx est infinitésimal, la force nette est :
-
∂P
∂P
⋅ dx dy dz = δV
∂x
∂x
Ainsi la force par unité de volume dans la direction x est-elle -
∂P
.
∂x
∂
d
(plutôt que
) car p est aussi fonction de y,
∂x
dx
z, voire de t et là on doit dériver juste par rapport à x en gardant constant y, z et t. La même
opération peut être faite sur les deux autres directions et la force nette par unité de volume
s’écrit vectoriellement :
On utilise la notation de dérivée partielle
- ∇p
∂ ∂ x 


où ∇ = ∂ ∂ y  est l’opérateur vectoriel gradient.


 ∂ ∂z 
Ainsi pour mettre un fluide en mouvement, il faut un gradient de pression et la force pointe
dans la direction opposée au gradient des hautes vers les basses pressions.
Imaginons le champ de pression illustré par les
contours p = cste dans le plan de la page avec p0
< p1 .
La force est perpendiculaire aux contours (on les
appelle isobares) et dirigée des hautes pression
vers les basses pressions. Sur le dessin ci-dessus
le fluide va accélérer vers les basses pressions.
p1
p0
Considérons maintenant les forces tangentielles liées à la viscosité du fluide et pour cela le
volume suivant :
y
u(y)
y + dy
dz
y
dx
Supposons pour simplifier que l’écoulement est dans la direction x et ne dépend que de y ; la
force dans la direction x est :
[F (y + dy) – F(y)] dx dz
F(y) = µ
Mais
du
dy
Ainsi par un développement limité de F (y + dy) = F(y) +
µ
et la force par unité de volume est µ
dF
dy, on obtient :
dy
d2u
δV
dy 2
d2u
.
dy 2
Pour que de telles forces changent l’accélération il faut que la dérivée seconde de u varie.
L’apparition de ces dérivées secondes dans les équations du mouvement complique assez
sévèrement la recherche de solutions. Et la question se pose de savoir si on a réellement
besoin de ces forces visqueuses. Un ordre de grandeur peut nous aider à y voir un peu plus
clair.
Accélération × Masse ∼ ρ δ V ×
Force visqueuse ∼ µ ×
U
T
U
δV
L2
lorsque le flot d’échelle U varie sur l’échelle L. Une échelle de temps T naturelle est de
prendre T = L/U. Ainsi :
 L2 
Masse × accélération

= O

Force visqueuse
Tµ ρ
µ/ρ = ν est ce qu’on appelle la viscosité cinématique (voir tableau 2) et :
L2
Tµ ρ
=
UL
ν
= Nombre de Re ynolds
Pour beaucoup des écoulements du tableau 1, le nombre de Reynolds est très grand ce qui
veut dire que les forces de viscosité sont négligeables (sur la base de cet argument
rudimentaire). A l’inverse cela veut dire que les
forces de viscosité vont être importantes si
l’écoulement est lent et de petite échelle
spatiale. Ce sera le cas lorsque le fluide
couche limite
s’écoulera au voisinage d’une paroi solide qui
freine localement l’écoulement.
La mécanique des fluides non visqueux (on dit aussi parfaits) est très développée car elle est
plus facile mais la négligence totale des forces tangentielles crée parfois des difficultés
ennuyeuses lors de la comparaison avec les fluides réels : un avion ne pourrait pas voler dans
un fluide parfait ! Ainsi dire que la viscosité est nulle (nombre de Reynolds infini) ou dire que
la viscosité tend vers zéro (nombre de Reynolds très grand) conduit à des conclusions
opposées dans certains cas.
(ii)
la conservation de la masse
Si on prend une photographie avec un certain temps de
pose ∆t de petites billes flottant dans un écoulement on
va obtenir des petits segments qui donnent le
déplacement des billes pendant ∆t. Si on divise la
longueur des segments par ∆t et que l’on sait orienter le
déplacement, on obtient une image quasi instantanée du
champ de vitesse u(x, t).
Si on reprend des photos successives et que u ne
change pas on dit que l’écoulement est
stationnaire (ou permanent). Ce sera souvent le
cas si l’écoulement est forcé de la même façon
pendant une longue période : à partir d’un
moment il n’évolue plus. Plutôt que de regarder
des petites flèches, on préfère souvent visualiser
les lignes tangentes à u en tous points, appelées
lignes de courant (en pointillés sur le dessin).
Considérons maintenant un ensemble de lignes
de courant émanant d’une petite surface δA. On
appelle cela un tube de courant. Considérons la
masse qui rentre dans le tube à la position 1
pendant le temps δt et sortant en 2 :
Masse entrant en 1
ρ1 u1 δt δA1
Masse sortant en 2
ρ2 u2 δt δA2
2
1
δA
En effet u1 δt est le déplacement des particules qui rentre dans le tube pendant δt. Maintenant
la masse ne peut pas sortir par la surface latérale du tube puisque le flot est tangent à cette
surface ; si de plus on suppose que la masse volumique du fluide dans le tube ne varie pas
dans le temps, la conservation de la masse implique que :
ρ1 u1 δA1 = ρ2 u2 δA2
Le débit (massique) ρ u δA est un invariant du tube de courant. Lorsqu’on pourra supposer
que la masse volumique varie peu, ce qui est une approximation très correcte pour les
écoulements qui ne subissent pas de trop grandes variations de température et/ou de pression,
le débit volumique uδA devient l’ invariant du tube de courant. Cette dernière relation est
souvent appelée continuité. Elle prédit immédiatement que si les lignes de courant sont
serrées, l’écoulement est rapide et inversement.
Imaginons un flot dans un tuyau de section variable.
Le flot accélère par continuité lorsque la section
diminue pour conserver le débit. Mais on a déjà vu que
si un flot accélère, la pression diminue donc la pression
doit baisser lorsque la section diminue. Une
remarquable relation, la relation de Bernoulli permet de
rendre cela quantitatif.
(iii)
A
B
la relation de Bernoulli
Considérons le tube de courant suivant d’un écoulement stationnaire de masse volumique
constante.
Z2
u2
P2
δA2
g
δA1
u1
Z1
P1
En l’absence de viscosité, les seules forces de surfaces sont les forces de pression. Nous allons
simplement appliquer que le travail des forces pendant un certain intervalle de temps est égal
à la variation de l’énergie cinétique. Pendant δt, il y a une masse ∆m qui rentre dans la section
1 et la même qui sort en 2. Comme on l’a vu :
∆m = ρ u1 δt δA1 = ρ u2 δt δA2
Le travail des forces de gravité correspond à déplacer cette masse ∆m de z1 en z2 :
Wg = - ∆mg (z2 – z1)
Le travail des forces de pression est nul sur la paroi latérale du tube (puisque F
perpendiculaire à u) et se limite au travail sur les 2 sections 1 et 2 :
Wp = p1 u1 δt δA1 – p2 u2 δt δA2
(le signe – apparaît en 2 car la force est opposée au déplacement).
La variation d’énergie cinétique correspond juste à la différence entre ce qui sort et ce qui
rentre pendant δt (« l’intérieur » du tube lui a une énergie cinétique constante).
∆Ec =
1
1
∆m u 22 − ∆m u 12
2
2
On écrit Wg + Wp = ∆Ec pour obtenir :
1
1

δV ρ u 22 − ρ u 12  = δV ρg (z1 – z2) + (p1 – p2) ρV
2
2

En simplifiant par δV, on voit que la quantité :
1
ρ u 2 + ρgz + p = cste
2
le long d’un tube de courant.
C’est à nouveau un invariant du tube et pas autre chose qu’une conservation de l’énergie pour
un fluide. Le premier terme est l’énergie cinétique / unité de volume, le deuxième est
l’énergie potentielle / unité de volume et le troisième la pression est aussi une sorte d’énergie
potentielle des forces de contact à l’échelle macroscopique. En effet on peut dire que la force
de pression / unité de volume - ∇p dérive d’un potentiel qui est justement p. Les forces de
surfaces normales apparaissent ainsi conservatives mais attention les forces tangentielles liées
à la notion de viscosité (que je n’ai pas considérées ici) ne le sont pas et deviennent
responsables de la dissipation d’énergie dans un fluide.
Si on applique ce théorème (à z constant) dans le tuyau (page 14) la différence de pression
amont-aval peut s’exprimer entièrement en fonction des vitesses amont :
pA – p B =
Mais si AA VA = ABVB
PA – PB =
(
1
ρ VB2 − VA2
2
)
 A2

1
ρVA2  A2 − 1
2
 AB 
Ainsi de la mesure de la différence de pression entre A et B on peut remonter à la vitesse VA
et donc au débit.
Exemple 1 : La formule de Torricelli
A
z=h
On veut connaître la vitesse du jet en sortie.
Lorsque le flot dans le bocal est stationnaire,
on peut appliquer la relation de Bernoulli sur la
ligne de courant qui connecte la surface libre
B
en A (qui descend) au point de sortie B. Entrée
z=0
et sortie se font à la pression atmosphérique.
De plus si la surface dans le bocal est grande
par rapport à l’aire de l’orifice de sortie, la continuité nous indique que la vitesse en A est
négligeable devant celle en B. Ainsi :
patm + ρ g h = patm +
en A
1
ρ V2
2
en B
v = (2gh)1/2
et la vitesse en B :
De façon assez surprenante la vitesse de sortie est celle de la chute libre car il n’y a aucun
travail net des forces de pression. Si la vitesse en A est négligeable, le seul rôle des forces de
pression est de permettre à la vitesse de sortie d’être horizontale (si l’orifice est sur le côté).
Exemple 2 : la portance des avions
On peut peut-être se dire que les avions flottent dans l’air comme les bateaux dans l’eau à
cause de la force d’Archimède. La masse volumique de l’air étant si faible, l’effet est
complètement négligeable et il faut chercher autre chose.
Sur la figure ci-dessus on voit les lignes de courant d’un écoulement autour d’une plaque
plane. Il s’agit d’une solution théorique mais l’écoulement autour d’une aile épaisse ressemble
remarquablement à cette figure. Considérez les deux lignes de courant 1 et 2 : 1 passe audessus de la plaque et 2 au-dessous. Les deux partent de l’amont (à gauche) où les conditions
de pression et de vitesse sont identiques. On va comparer les pressions et vitesses aux points
A et B, juste au-dessus et juste au-dessous de la plaque. On peut écrire pour les deux lignes de
courant :
Pour 1 :
p∞ +
1
1
ρ U ∞2 = PA +
ρ U 2A
2
2
Pour 2 :
p∞ +
1
1
ρ U ∞2 = PB +
ρ U 2B
2
2
soit :
pB – pA =
1
ρ ( U 2A - U 2B )
2
Comme le flot en A est rapide (lignes de courant serrées) et lent en B (lignes de courant
étalées), PB – PA est positif et donc la force exercée par le fluide en mouvement sur la plaque
est vers le haut. La « portance » de l’aile est due à cette accélération du fluide plus importante
au-dessus qu’au dessous de la plaque.

8 partie Introduction à la mécanique des fluides

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