REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DU TEMPS UNIVERSEL

REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DU TEMPS UNIVERSEL
DANS LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ
Par CH. WILLIGENS
(IKTERLAKEN)
Si l'on considère la tranformation de Lorentz :
(O
^y. = y.»
** = *•.
* = v:c0,
p =
qui correspond à une translation du système Sa(xa, ya, z%f ua) par rapport au système
St(xlt y4, z4, w4) avec une vitesse v et si l'on pose(1)
(2)
ul = cit + r,
u% =
c%t—r,
on obtient :
r ( i + ß ) = (ßc 8 -c 4 )Z + aßav
Supposons l'observateur dans le système S4 et posons ct = c0 vitesse de la
lumière, différentions la relation précédente en posant, conformément à la définition.
de Minkowski, dxu = 6, nous obtenons
Pc, —cQ = o;
(') Cf. Ed. Guillaume, La théorie de la relativité en fonction du temps universel (Arch, dessciences physiques et naturelles (4), 46, p. 281, 1918).
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CH. WILLIGENS.
soit ca = -~, par suite
r
aß
ß—i
«n portant cette valeur de u dans les relations (a) nous obtenons:
i
,
P—i
/
«. — C . T . —
ß
f
a(J
as,.
En permutant les indices et en remplaçant « par —a nous obtenons en outre
<3'>
{
\
M« =
"C
o n T.
a
=
,_,
Cj — !——
Xi.
aß
En remplaçant dans la première relation (i) ua par sa valeur en fonction de Z et
de a?a on obtient la relation
(4)
xi = x9 + vt
Les paramètres T4 et T8 peuvent être considérés comme représentant le temps
local. Si l'observateur est sur S4 tous les points de SB sont au repos relatif et on tire
dx
de la première relation (3), en posant —jf = o,
dr = dt.
On voit que toutes les horloges locales vont également vite el sont synchrones
avec l'horloge universelle. Par contre, il y a un déphasage constant entre une horloge
locale et l'horloge universelle.
De la relation d-zi = dt résulte que Ton doit obtenir les mêmes équations différentielles, quel que soit le mode de représentation de la mesure du temps. On doit
en tout cas parvenir à des résultats identiques, les formules établies n'étant que des
conséquences de la transformation de Lorentz. Les résultats différents, obtenus pour
la question du déplacement des raies spectrales annoncé par M. Einstein, font sentir
la nécessité d'un nouvel examen, les expériences n'ayant pas été concluantes.
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Cherchons une interprétation du temps Z, dans.les diagrammes connus qui servent à représenter la transformation de Lorentz.
Le preïaier mode de représentation, consiste à introduire dans la transformation
de Lorentz des quantités imaginaires en posant :
<* = ai,
c0 =
—c0i.
Si Ton considère un système d'axes rectangulaires oxlf ouit le système oxt, ou%
s'en déduira par une rotation d'un angle —cp autour de l'origine, tel que
1
a = tg cp,
b = — = = . = cos cp,
ab = sin cp,
Vi+a*
1 ab
+6
ab b
i—
2
cp
la première relation (3') prend la forme
<B)
W
C9T4
9 l
= — xjè— + ——*
*• ° 2 COS©
qui représente une droite parallèle à la bissectrice de oxk et ox%. On peut mettre
-cette expression sous la forme
<5')
c0T4 = m# 4 -t-c 0 Z-
—.
Laissons Z constant et faisons varier m, ce qui revient à faire yarier a. La droite
•enveloppe une courbe définie par les relations :
xt = — cJ
/0T4_ç0Z
l\m
(i-m*)*
i — Um* — m*
(x-m8)8
"
La forme de cette courbe est donnée par la figure i.
Nous avons un système de courbes homothétiques avec Torigine comme centre et
le temps Z comme rapport d'homothétie.
La valeur de a étant donnée, si nous menons à la courbe correspondant à la
valeur t du paramètre la tangente parallèle à la bissectrice de l'angle xioxt, cette
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GH.
WILLIGENS.
tangente sera le lieu des points correspondants aux événements simultanés à l'instant Z dans les systèmes S4 et g a .
Nous voyons que la simultanéité est donnée par un élément tangentiel de la
courbe.
Si nous choisissons un système d'axes correspondant à une autre valeur de ay
nous aurons une autre tangente, mais la valeur de Z restera la même.
FlG. I.
De la relation xt = x% + vt résulte, si l'on prend deux points A et B d'abscisses a?4A, #aA, œ4B, a?aB,
la contraction de Lorentz disparaît.
Le second mode de représentation de la transformation de Lorentz consiste à
envisager un plan dans lequel la rotation est remplacée par le glissement sur ellesmêmes de deux hyperboles équilatères conjuguées
x\ — u\ =
±i.
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Si dans la relation
(6)
C Tl
» -
aß
X +
>
ß
l
on pose
tzl
aß
on obtient
(60
, 1— F
C0T4==^4 + C0Z^—-2;
les axes oa?a et OM2 sont deux diamètres conjugués des hyperboles indiquées cidessus, et tels que
ig(xtox„) = a.
FlG. 2.
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CH. WILLIGENS.
Le demi diamètre de l'hyperbole est toujours choisi comme unité sur les directions correspondantes. On vérifie sans peine que la droite (6) est parallèle à la droite
de jonction des points d'intersection de out et owa avec l'une des hyperboles. Elle
découpe donc sur ces deux axes des longueurs mesurées par les mêmes nombres,
comme la bissectrice dans le cas précédent.
L'enveloppe de la droite (6') est représentée par les relations
\x, = cj
_
I > 4 î ^ - V
On vérifie sans peine que cette courbe est de quatrième ordre et de troisième
classe, doublement tangente à la droite de l'infini aux points cycliques. Elle est
ainsi caractérisée, comme une hypocycloïde à trois rebroussements (*).
Le temps Z est de nouveau défini comme rapport d'homolhétie des courbesCelte représentation est indiquée dans la figure 2. On peut faire des remarques
tout à fait analogues à celles du cas précédent.
Faisons, pour terminer, une application de la formule
(4)
xl =
x^-hvt.
Considérons trois systèmes S4, Sa, S3, animés les uns par rapport aux autres
vitesses vlt%, %i\t%,
v3l.
En nous servant de la forme
(5)
tt
=
_tg^ +
2
Cj
COS cp
et en observant que cp est l'angle de rotation des axes pour passer d'un système à
l'autre, on peut facilement construire trois droites ti a , Za 3 , Z3, répondant à la mêmevaleur de Z, les indices indiquant seulement pour quelle association de systèmes
cet élément langentiel définit la simultanéité (fig. 3).
(*) Cremona, Sur Vhypocycloïde à trois rebroussements (Journal de Creile, i860).
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/11,
FIG.
3.
Prenons sur /4 a un point M4 a qui sera projeté sur oxt en M'4S et sur oxa en
M' a4 . La perpendiculaire de M4 a sur o#2 coupe la bissectrice bt a de l'angle xtox%
en H qui se projette en K sur oxt. Nous avons
OM'
xt,
OK = xm
donc
KM'^^x^x^v^t.
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6io
GH. WILLIGENS.
Si par un procédé analogue nous construisons vi3 t et que nous portions dans
le système trirectangle S4, dans lequel est supposé situé l'observateur, les longueurs
obtenues, nous obtenons les positions S et S3 4 des systèmes Sa et Sa vus depuis S4
{fig- 4).
, /
VI4,
u> u
\Au
\AM.
4
[£L
Z2&2L
FIG.
4.
Si nous répétons la même construction, en transportant l'observateur successivement dans Sa et dans Sa, nous avons l'aspect des trois systèmes qui est différent
suivant celui dans lequel se trouve l'observateur. Ce dernier système est indiqué en
trait plus fort dans la figure et il est caractérisé par un seul indice.
La différence de dispositif met donc en évidence une aberration, variable suivant
le système de l'observateur.
MÉMOIRES
QUATRIÈME SECTION