Calculs algébriques

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Calculs algébriques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016
Enoncés
1
(a) x = 2x − 1
Calculs algébriques
Équations et systèmes
[1]
(b) 3x = 2 − x
(c) nx = 0 [π] (avec
n ∈ N∗ )
[π]
Sommes
Exercice 1 [ 02116 ] [Correction]
Observer que
q
q
√
√
3
3
x = 20 + 14 2 + 20 − 14 2
est solution d’une équation de la forme x3 = αx + β avec α, β ∈ R. Résoudre cette dernière
et déterminer x.
Résoudre les systèmes d’inconnue (x, y) ∈ R2 :
( 2
( 2
x + 2y2 = 1
x + y2 = 1
(a)
(b)
2
x + xy = 0
2xy = 1
(
(c)
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :
P
P
(a) ni=1 α + ai = α + ni=1 ai
P
P
P
(b) ni=1 ai + bi = ni=1 ai + ni=1 bi
P
P
(c) ni=1 αai = α ni=1 ai
P
P
P
(d) ni=1 ai bi = ni=1 ai ni=1 bi
P
α
P
(e) ni=1 aαi = ni=1 ai
P P
P P
(f) nj=1 ni=1 ai, j = ni=1 nj=1 ai, j ?
x2 = y
y2 = x
Établir l’une des trois formules suivantes :
Résoudre les systèmes suivants d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 :


x + 2y − z = 1



x−y+z=2
(a) 



xyz = 0
Résoudre le système


x + 2y − z = 1



x
− y + 2z = 2
(b) 


3x − y + z = 3
(a)


x+y+z=1



x
− y + 3z = 2
(c) 


2x − y + z = 3
Pn
k=1
k=
n(n+1)
2
(b)
Pn
k=1
k2 =
n(n+1)(2n+1)
6
(c)
Pn
k=1
k3 =
n2 (n+1)2
4
P
P
À partir des valeurs connues de nk=1 k et nk=1 k2 , calculer :
P
(a) nk=1 k(k + 1)
(b) 1.n + 2.(n − 1) + · · · + (n − 1).2 + n.1.


x − ay + z = 2



x
+
(a + 1)z = 3



 x + ay + 3z = 4
d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 , a désignant un paramètre réel.
Exercice 9
Calculer
[ 02065 ]
[Correction]
n
X
(−1)k k
k=1
Résoudre les équations suivantes d’inconnue x ∈ R :
P
Montrer que la suite de terme général un = nk=1
1
n+k
est strictement croissante.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
Exercice 11
Montrer
[ 02067 ]
n
X
2
Soit n ∈ N. Résoudre, lorsqu’elle a un sens, l’équation :
[Correction]
∀n ∈ N,
Enoncés
k! ≤ (n + 1)!
n
X
cos(kx)
k=0
k=0
Exercice 12
Calculer
[ 02068 ]
[Correction]
[ 02069 ]
=0
Sommes doubles
n
X
k=1
Exercice 13
cosk x
k
(k + 1)!
P
P
P
À partir des valeurs connues de nk=1 k, nk=1 k2 et nk=1 k3 , calculer :
P
(a) 1≤i, j≤n (i + j)2
P
(b) 1≤i< j≤n i j
[Correction]
(a) Calculer
p
X
(c)
P
1≤i, j≤n
min(i, j)
kk!
k=1
(b) Soit p ∈ N. Montrer que pour tout n ∈ ~0, (p + 1)! − 1, il existe un uplet
(n0 , n1 , . . . , n p ) ∈ N p+1 tel que
P
Soit n ∈ N∗ . Calculer Cn = 1≤p<q≤n (p + q) en remarquant
X
∀k ∈ ~0 ; p, 0 ≤ nk ≤ k et n =
p
X
p + q = 2Cn + 2
1≤p,q≤n
nk k!
n
X
p
p=1
k=0
(c) Justifier l’unicité d’une telle suite.
Sommes géométriques
P
Calculer, pour tout θ ∈ R, la somme nk=0 eikθ .
P
Calculer, pour tout q ∈ C, la somme nk=0 q2k .
Produits
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :
Q
Q
Q
Q
Q
(a) ni=1 αai = α ni=1 ai b) ni=1 ai bi = ni=1 ai ni=1 bi c)
Qn
Qn
Qn
i=1 ai + bi =
i=1 ai +
i=1 bi ?
Exercice 21
Calculer
[ 02076 ]
[Correction]
n
Y
1+
k=1
P
Pour q ∈ C \ {1} et n ∈ N, on pose S n = nk=0 kqk .
En calculant qS n − S n , déterminer la valeur de S n .
1
k
!
Q
On désire calculer le produit P(x) = 0≤k≤n cos(2k x) pour tout x ∈ R.
(a) Commencer par traiter le cas x = 0
[π].
(b) Pour x , 0
Enoncés
Pour n ∈ N∗ , calculer
[π], simplifier sin(x)P(x) et exprimer P(x).
Soient a ∈ R et
3
A=
P=
n
Y
E(n/2)
X
k=0
2k
(1 + a )
!
!
E((n−1)/2)
X
n
n
et B =
2k
2k + 1
k=0
en formant un système dont A et B seraient solutions.
k=0
(a) Calculer P quand a = 1.
Soit n ∈ N. Calculer
(b) Calculer (1 − a)P quand a , 1 et en déduire la valeur de P.
(c) Comment expliquer la formule obtenue ?
Pour n ∈ N∗ , simplifier
En déduire
A=
n
Y
2k + 3
k=1
bn/3c
X
k=0
2k − 1
Exprimer 2 × 4 × · · · × (2n) puis 1 × 3 × · · · × (2n + 1) à l’aide de factoriels
!
!
!
n
X
p
q
p+q
=
k n−k
n
k=0
Montrer de deux manières que pour tout n ∈ N∗
n
Y
(4k − 2) =
k=1
n
Y
Développer (a + b + c)n .
(n + k)
k=1
Exercice 32
Formule du binôme
k=0 k
[ 02089 ]
[Correction]
(a) Soit n ∈ N. Calculer
(b) S 1 =
n
X
!
n
(−1)
k
k=0
Calculer pour tout n ∈ N∗ :
(a) S 0 =
!
!
!
b(n−1)/3c
b(n−2)/3c
X
X
n
n
n
,B =
et C =
3k
3k + 1
3k + 2
k=0
k=0
[Formule de Chu-Vandermonde] Soient n, p, q ∈ N tels que n ≤ p + q.
En développant de deux manières (1 + x) p × (1 + x)q , établir
Nombres factoriels
Pn n
!
n
X
n p
j
p
p=0
Pn
k=0
k
n
k
(c) S 2 =
Pn
k=0
k2
n
k
k
(b) Soient k, `, n ∈ N tels que ` ≤ k ≤ n. Comparer
! !
!
!
n k
n n−`
et
k `
` k−`
(c) Soit (xn ) une suite de réels. On pose
!
k
X
k
∀k ∈ N, yk =
x`
`
`=0
Enoncés
4
Exercice 37
Calculer
[ 02091 ]
[Correction]
n
X
!
2n + 1
Sn =
(−1)
k
k=0
k
Montrer que
∀n ∈ N, xn =
n
X
(−1)
n−k
k=0
!
n
yk
k
Soit n ∈ N avec n ≥ 2.
(a) On suppose que n est premier. Montrer
Coefficients binomiaux
∀k ∈ {2, . . . , n − 1} , n divise
Montrer que pour tout n ∈ N∗ et tout p ∈ ~1 ; n
!
!
n
n−1
p
=n
p
p−1
En déduire la valeur de
n
X
p=0
n
p
p
(b) Inversement, on suppose que n est composé. Montrer
∃k ∈ {2, . . . , n − 1} , n ne divise pas
Soient n ∈ N∗ .
Calculer, pour tout n, p ∈ N, la somme
∀1 ≤ k ≤ n,
!
n
X
p+k
k
k=0
Calculer pour n, p ∈ N∗ , la somme
 p
n Y
X


(i +
j=1
!
n
k
!
(a) Justifier
i=0
!
n
k


j)
Montrer que pour tout n ∈ N∗
(b) En déduire que pour tout entier k vérifiant 1 ≤ k ≤ n/2
!
!
n
n
<
k−1
k
et pour tout entier k vérifiant n/2 ≤ k ≤ n − 1
!
!
n
n
<
k+1
k
(c) Comment interpréter simplement les inégalités qui viennent d’être obtenues ?
Exercice 40
Montrer
! X
n
n
X
1
(−1)k+1 n
=
k
k
k
k=1
k=1
!
!
n
n−k+1 n
=
k
k
k−1
[ 03689 ]
[Correction]
!
2n
22n
∀n ∈ N ,
≥
2n + 1
n
∗
Corrections
Corrections
5
Exercice 4 : [énoncé]
On a



 x − ay + z = 2

x + (a + 1)z = 3



 x + ay + 3z = 4
On remarque
x3 = 6x + 40


x − ay + z = 2



ay + az = 1
⇐⇒ 


 (1 − a)z = 0
Si a = 1 alors le système a pour solution les triplets
4 est solution apparente de cette équation.
(3 − 2z, 1 − z, z) avec z ∈ R
x − 6x − 40 = (x − 4)(x + 4x + 10)
3


x − ay + z = 2



ay + az = 1
⇐⇒ 



ay + z = 1
2
√
√
Si a , 1 alors le système équivaut à
Les solutions de l’équation sont 4, −2 + i 6, −2 − i 6. Le nombre x correspond à la
seule solution réelle donc x = 4.


x − ay = 2



ay = 1



 z=0
Si a = 0, il n’y a pas de solutions.
Si a , 0, 1 alors le système possède pour solution l’unique le triplet
(a) Si (x, y) est solution alors (2) =⇒√ x(x + y) = 0 donc x = 0 ou y = −x.
Si x = 0 alors (1) donne y = ±1/ √
2.
Si y = −x alors (1) donne x = ±1/ 3.
Inversement : ok n
√
√
√
√
√
√ o
Finalement : S = (0, 1/ 2), (0, −1/ 2), (1/ 3, −1/ 3), (−1/ 3, 1 | 3) .
(b) Si (x, y) est solution alors (1) − (2) donne (x − y)2 = 0 d’où x = y puis (1) donne
x = y = ± √12 .
n √
√
√
√ o
Inversement : ok. Finalement S = (1/ 2, 1/ 2), (−1/ 2, −1 | 2) .
(c) Si (x, y) est solution alors (1) et (2) donnent x = x d’où x = 0 ou x = 1.
Si x = 0 alors y = 0. Si x = 1 alors y = 1.
Inversement : ok. Finalement S = {(0, 0), (1, 1)}.
(3, 1/a, 0)
(a) x = 2x − 1
[1] ⇐⇒ −x = −1
[1] ⇐⇒ x = 1
(b) 3x = 2 − x
(c) nx = 0
[π] ⇐⇒ 4x = 2 [π] ⇐⇒ x =
o
n
h i
π
kπ
[π] ⇐⇒ x = 0
n ,S= n |k ∈Z .
1
2
[1], S = Z.
n
o
h i
π
kπ+2
4 ,S=
4 |k ∈Z .
4
(a) Si (x, y, z) est solution alors (3) donne x = 0, y = 0 ou z = 0.
Si x = 0 alors y = 3, z = 5. Si y = 0 alors x = 32 , z = 12 . Si z = 0 alors x = 53 , y = − 13 .
n
o
Inversement : ok. Finalement S = (0, 3, 5), ( 32 , 0, 21 ), ( 53 , − 31 , 0) .
n
o
(b) S = 89 , 94 , 79 .
n
o
(c) S = 54 , − 38 , 18 .
b) c) f)
Chacune des formules peut être acquise en raisonnant par récurrence.
(a) En séparant la somme
n
X
k=1
k(k + 1) =
n
X
k=1
k2 +
n
X
k=1
k=
n(n + 1)(n + 2)
3
n
X
6
En écrivant au numérateur k = (k + 1) − 1
(b) On réécrit
1.n + 2.(n − 1) + · · · + (n − 1).2 + n.1 =
Corrections
k(n + 1 − k)
n
X
k=1
k=1
et on réorganise
n
X
k(n + 1 − k) = (n + 1)
n
X
k−
k=1
k=1
n
X
k=1
k2 =
n
n
X (k + 1) − 1 X 1
k
1
=
=
−
(k + 1)! k=1 (k + 1)!
(k
k!
+
1)!
k=1
=
n(n + 1)(n + 2)
6
!
n
n
X
1 X
1
1
−
=1−
.
(k
k! k=1 + 1)!
(n + 1)!
k=1
(a) En écrivant k = (k + 1) − 1
D’une part
2p
X
(−1)k k =
p
X
p
X
(−(2` − 1) + 2`) = p
et d’autre part
2p+1
X
(−1)k k = p − (2p + 1) = −(p + 1)
k=1



n/2
(−1) k = 

(−1)n (n + 1)/2
k=1
n
X
k
si n est pair
si n est impair
En étant attentif à l’expression de la somme associée à un+1 , on a
un+1 − un =
n+1
X
k=1
=
k=1
p
X
(k + 1)! − k! = (p + 1)! − 1
k=1
`=1
k=1
Ainsi
kk! =
n
X 1
1
−
n + 1 + k k=1 n + k
1
1
1
1
1
+
−
=
−
> 0.
2n + 2 2n + 1 n + 1 2n + 1 2n + 2
Par récurrence sur n ∈ N, sachant
(n + 1)! + (n + 1)! = 2.(n + 1)! ≤ (n + 2)!
(b) Par récurrence forte sur p ≥ 0.
Pour p = 0 : ok
Supposons la propriété établie jusqu’au rang p ≥ 0.
Soit n ∈ ~0, (p + 2)! − 1.
Réalisons la division euclidienne de n par (p + 1)! : n = q(p + 1)! + r avec
0 ≤ r < (p + 1)!.
Puisque 0 ≤ n < (p + 2)! on a 0 ≤ q ≤ p + 1.
Pp
Par hypothèse de récurrence, on peut écrire r = k=0
nk k! et en prenant n p+1 = q on a
P p+1
n = k=0 nk k!.
Récurrence établie.
Pp
Pp 0
(c) Supposons n = k=0
nk k! = k=0
nk k! avec les conditions requises.
Si n p < n0p alors
p
X
nk k! ≤ n p p! +
k=0
p−1
X
k.k! = (n p + 1)p! − 1 < n0p p! ≤
k=0
p
X
n0k k!
k=0
Ceci est absurde donc nécessairement n p ≥ puis par symétrie n p = n0p .
On simplifie alors le terme n p p! et on reprend le principe pour conclure à l’unicité.
n0p
Si θ , 0 [2π] alors
n
X
k=0
eikθ =
ei(n+1)θ − 1
eiθ − 1
Corrections
(somme géométrique de raison eiθ , 1)
Si θ = 0 [2π] alors
n
n
X
X
eikθ =
1 = n + 1.
k=0
7
on obtient
n
X
cos(kx)
cosk x
k=0
=
sin(n + 1)x
sin x(cos x)n
Finalement, pour les x considérés
k=0
n
X
cos kx
2n+2
P
Si q2 , 1 alors nk=0 q2k = q q2 −1−1 (somme géométrique de raison q2 )
P
Si q2 = 1 alors nk=0 q2k = n + 1.
k=0
cosk x
= 0 ⇐⇒ sin(n + 1)x = 0 ⇐⇒ x = 0
Si x = 0 mod π alors x n’est pas solution car
n
X
cos(kx)
On a
k=0
qS n − S n =
n
X
kqk+1 −
k=0
n
X
kqk =
k=0
n+1
X
(k − 1)qk −
k=1
n
X
mod π/(n + 1)
Finalement
cosk x
=n+1
(
kπ
S=
| k ∈ Z et(n + 1) - k
(n + 1)
kqk
k=0
)
En combinant les deux sommes
n
X
qS n − S n = nqn+1 −
qk =
k=1
puis
Sn =
n+2
nq
nqn+2 − (n + 1)qn+1 + q
q−1
− (n + 1)q
(q − 1)2
n+1
P
P P (a) 1≤i, j≤n (i + j)2 = ni=1 nj=1 i2 + 2i j + j2 puis
X
+q
1≤i, j≤n
(b)
L’équation a un sens pour x , π/2 mod π. En exploitant cos(kx) = Re(eikx ), on peut
écrire
 n

n
X
X eikx 
cos(kx)


= Re 
kx
k x
cos
cos
k=0
k=0
ce qui apparaît comme une somme géométrique.
eix
Si x , 0 mod π alors q = cos
x , 1 et
n
X
eikx
1 cosn+1 x − ei(n+1) x
=
cosk x cosn x
cos x − eix
k=0
Il reste à en déterminer la partie réelle. Puisque
n
X
eikx
1 cosn+1 x − cos(n + 1)x − i sin(n + 1)x
=
−i sin x
cosk x cosn x
k=0
(i + j)2 = n
P
1≤i< j≤n
ij =
Pn−1 Pn
i=1
j=i+1
ij =
1≤i< j≤n
P
1≤i, j≤n
i2 + 2
i=1
X
(c)
n
X
min(i, j) =
X
ij =
n X
n
X
ij + n
i=1 j=1
n
X
j2 =
j=1
n2 (n + 1)(7n + 5)
6
Pn−1 Pn
i=1 i
j=i+1 j puis
n−1
X
n(n − 1)(n + 1)(3n + 2)
n+i+1
(n − i) =
i
2
24
i=1
Pn Pi
i=1
j=1
min(i, j) =
1≤i, j≤n
j+
Pn
j=i+1
i puis
n
X
i(i + 1)
i=1
2
+ i(n − i) =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Après réorganisation des termes
X
1≤p,q≤n
p + q = 2Cn + 2
n
X
p
p=1
Or
2
n
X
Corrections
(b) Si a , 1 alors
p = n(n + 1)
n
(1 − a)P = (1 − a)(1 + a)(1 + a2 ) · · · (1 + a2 )
Par application de la formule (a − b)(a + b) = a2 − b2 on obtient
p=1
et
8
n
n X
n
X
(1 − a)P = (1 − a2 )(1 + a2 ) · · · (1 + a2 )
p + q = n2 (n + 1)
et en répétant l’opération
p=1 q=1
d’où
Cn =
n+1
(1 − a)P = (1 − a2 )
(n − 1)n(n + 1)
2
On conclut
n+1
1 − a2
1−a
(c) La formule obtenue correspond à celle exprimant la somme
P=
b)
1 + a + a2 + a3 + · · · + a2
k=1
−1
En effet si l’on développe le produit définissant P, on obtient que P est la somme des
termes
Pn
i
a i=0 εi 2 avec ε0 , . . . , εn ∈ {0, 1}
n
Y
n
Or tout entier k compris entre 0 et 2n−1 s’écrit de façon unique sous la forme
! Y
n
k+1 23
n+1
1
=
=
···
=n+1
1+
k
k
1
2
n
k=1
n
X
k=
εi 2i avec ε0 , . . . , εn ∈ {0, 1}
i=0
et donc
(a) Si x = 0
[2π] alors P(x) = 1. Si x = π
[2π] alors P(x) = −1.
(b) En exploitant successivement la formule sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
sin(x)P(x) = sin x. cos x. cos 2x . . . cos 2 x =
n
1
2n+1
n+1
sin 2
x
Pour n ≥ 2, on a
n
Y
2k + 3
donc
P(x) =
n
P = 1 + a + a2 + a3 + · · · + a2 −1
sin(2n+1 x)
2n+1 sin(x)
k=1
2k − 1
=
(2n + 3)(2n + 1)(2n − 1) × . . . × 5
(2n − 1)(2n − 3) × . . . × 5 × 3 × 1
puis après simplification
n
Y
2k + 3
k=1
et pour n = 1
(a) Si a = 1 alors
P=
n
Y
k=0
2 = 2n+1
2k − 1
=
(2n + 3)(2n + 1)
3
n
Y
2k + 3
k=1
2k − 1
=5
ce qui rend la formule précédente encore valable.
Corrections
9
(b) ((1 + x)n )0 = n(1 + x)n−1 donne
En extrayant un 2 dans chaque facteur
n
X
!
n k−1
k x = n(1 + x)n−1
k
k=1
2.4.6 × · · · × (2n) = 2n 1.2.3 × · · · × n = 2n n!
En introduisant les facteurs pairs intermédiaires
donc
1.2.3.4.5.6 × · · · × (2n) × (2n + 1) (2n + 1)!
=
1.3.5 × · · · × (2n + 1) =
2.4.6 × · · · × (2n)
2n n!
S 1 = n2n−1
(c)
(x((1 + x)n )0 )0 = (nx(1 + x)n−1 )0 = n(1 + x)n−1 + n(n − 1)x(1 + x)n−2
donne
(1) Par récurrence sur n ∈ N∗ :
Pour n = 1 : ok
Supposons la propriété établie au rang n ≥ 1.
n+1
Y
(4k − 2) =
n
Y
k=1
k=1
(4k − 2) × (4n + 2) =
HR
k=1
(n + 1 + k) = (n + 2)(n + 3) . . . (2n + 2) =
n
Y
(n + k) × (4n + 2)
k=1
n
Y
(n + k) ×
(2n + 1)(2n + 2)
n+1
donc
(n + 1 + k) =
k=1
n
Y
A+B=
A−B=
(n + k) × (4n + 2)
n
X
p=0
k=1
!
n
X
n
= (1 + 1)n = 2n
p
p=0
(−1) p
!
n
= (1 − 1)n = 0n = 0
p
donc
A = B = 2n−1
(4k − 2) = 2n
k=1
et
On a
et
Récurrence établie.
(2) Directe :
n
Y
!
n k−1
x = n(1 + x)n−1 + n(n − 1)x(1 + x)n−2
k
S 2 = n2n−1 + n(n − 1)2n−2 = n(n + 1)2n−2
k=1
k=1
n+1
Y
k2
donc
et
n+1
Y
n
X
n
Y
(2k − 1) = 2n (1 × 3 × . . . × (2n − 1)) =
k=1
n
Y
(n + k) = (n + 1)(n + 2) . . . (2n) =
k=1
(2n)!
n!
Par la formule du binôme
!
n
X
nπ
π
n p
j = (1 + j)n = 2n ei 3 cosn
3
p
p=0
(2n)!
n!
On a aussi
A + B + C = (1 + 1) = 2n
et par ce qui précède
(a) Par la formule du binôme
S 0 = (1 + 1) = 2
n
n
nπ
A + jB + j2C = 2n ei 3 cosn
π
3
Corrections
10
(c) On a
puis aussi par conjugaison
nπ
A + j2 B + jC = 2n e−i 3 cosn
π
3
n
X
(−1)n−k
k=0
On en déduit
Or
!
! !
! !
n X
k
n
n
X
X
X
n
n k
n k
yk =
(−1)n−k
x` =
x`
(−1)n−k
k
k `
k `
k=0 `=0
`=0
k=`
n
X
!
2 nπ
π
2n
(n − 2)π
π
A=
1 + 2 cos
cosn
,B =
1 + 2 cos
cosn
3
3
3
3
3
3
n
(−1)
k=`
avec
et
C=
2
(n + 2)π
π
1 + 2 cos
cosn
3
3
3
n
n
X
!
Le coefficient de xn dans (1 + x) p × (1 + x)q = (1 + x) p+q est p+q
n .
p
q
Lorsqu’on développe le produit (1 + x) × (1 + x) , on obtient un xn en croisant un xk de
(1 + x) p par un xn−k de (1 + x)q (pour 0 ≤ k ≤ n). Le coefficient de xk dans (1 + x) p est kp
q
et le coefficient xn−k dans (1 + x)q est n−k
donc le coefficient de xn dans
p
q
(1 + x) × (1 + x) est
!
!
n
X
p
q
k n−k
k=0
d’où l’égalité.
k=0
On a
!
n
n!
p
=p
p
p!(n − p)!
On en déduit
! X
n
n
X
n
=
p
p
p
p=0
p=1
! 

1
n−`

=
0

k−`
(−1)n−k
si ` = n
sinon
!
n
yk = xn
k
n−1
(n − 1)!
=n
=n
(p − 1)!(n − p)!
p−1
!
!
!
n
X
n
n−1
=n
p
p−1
p=1
!
n−1
X
n−1
= n(1 + 1)n−1 = n2n−1
=n
k
k=0
n!
(n−k)!(k−`)!`! .
(a) Par la formule du binôme
k=0

!


n
1
n
(−1)
= (1 + (−1)) = 
0

k
k=0
k
(−1)
k−`
n
X
On a
!
n
X
p+k
n
X
! !
!X
!
n
n k
n−` n
k−` n − `
= (−1)
(−1)
k `
` k=`
k−`
k=`
Par suite
Exercice 31 : [énoncé] P P
k
(a + b + c)n = nk=0 k`=0 nk ell
an−k bk−` c` et nk k` =
n−k
k
!
!
!
!
p
p+1
p+2
p+n
=
+
+
+ ··· +
0
1
2
n
En regroupant les deux premiers termes par la formule du triangle de Pascal
!
!
!
!
n
X
p+k
p+2
p+2
p+n
=
+
+ ··· +
k
1
2
n
k=0
si n = 0
sinon
(b) On a
puis
k!
n!
(n − `)!
n n−`
n k
n!
=
=
=
k ell
k!(n − k)! `!(k − `)! `!(n − `)! (n − k)!(k − `)!
ell k − `
!
!
!
!
!
!
!
!
n
X
p+k
p+3
p+n
p+n+1
=
+ ··· +
=
k
2
n
n
k=0
On commence par exprimer le produit comme un rapport de nombres factoriels

 p
n
n Y
X
 X

(i + p)!

(i + j) =
i!
i=0
i=0 j=1
puis on introduit un coefficient du binôme

 p
!
n
n Y
X
X


i+ p

(i + j) = p!
i
i=0
i=0 j=1
La somme introduite peut être calculée grâce à la formule de Pascal
 p

!
n Y
X


p+n+1
(p + n + 1)!


(i + j) = p!
=
n
(p + 1)n!
i=0 j=1
Par récurrence sur n ≥ 1 sachant :
! X
! n+1
!
n+1
n+1
X
(−1)k+1 n + 1
(−1)k+1 n X (−1)k+1 n
=
+
k
k
k
k
k
k−1
k=1
k=1
k=1
Or
n+1
X
(−1)k+1
k=1
k
! X
!
n+1
(1 − 1)n+1
1
n
(−1)k+1 n + 1
1
−
=
=
=
k−1
n
+
1
k
n
+
1
n
+
1
n
+
1
k=1
donc
! X
n+1
n+1
X
(−1)k+1 n + 1
1
=
k
k
k
k=1
k=1
11
Par décalage d’indice
Sn =
n−1
X
k=0
(−1)
k+1
!
!
n
2n X
k 2n
+
(−1)
k
k
k=0
Après simplification,
S n = (−1)n
!
2n
n
(a) On suppose n premier. On sait
!
!
n
n n−1
=
k k−1
k
donc
!
!
n
n−1
k
=n
k
k−1
ce qui permet d’affirmer que n divise l’entier k nk . Or n est premier et donc premier
avec
n k puisque k < n. Par le théorème de Gauss, on peut alors affirmer que n divise
k .
(b) Supposons maintenant n composé. On peut introduire p un facteur premier de n avec
p < n. Nous allons alors montrer que n ne divise par np ce qui permet de conclure.
Par l’absurde, supposons que m = 1n np soit un entier. On peut écrire
(n − 1)! = m.p!(n − p)!
Puisque p divise n, on peut aussi écrire n = pq avec q entier et donc
(pq − 1)! = mp! (p(q − 1))!
Dans les produits définissant (pq − 1)! et (p(q − 1))!, on retrouve les mêmes
multiples de p, à savoir p, 2p, . . . (q − 1)p. On peut donc écrire
(pq − 1)! = ka et (p(q − 1))! = kb
Exploitons
!
!
!
2n + 1
2n
2n
=
+
k
k−1
k
On obtient
Corrections
n
X
! X
!
n
2n
k 2n
Sn =
(−1)
+
(−1)
k−1
k
k=0
k=0
avec k regroupant le produit des multiples de p précédents et a et b non divisibles par
p.
La relation initiale se simplifie alors pour donner
a = mp!b
k
ce qui entraîne que a est divisible par p. C’est absurde !
Corrections
12
(a) On peut écrire
(n − k + 1)
n!
n!
=
k!(n − k)!
k
(k − 1)!(n − k + 1)!
ce qui donne directement la relation soumise.
(b) Si 1 ≤ k ≤ n/2 alors 2k < n + 1 et donc n − k + 1 > k puis
!
!
!
n
n−k+1 n
n
=
>
k
k
k−1
k−1
La deuxième inégalité s’en déduit par la relation de symétrie
!
!
n
n
=
k
n−k
(c) Pour n fixé, la suite finie des coefficients binomiaux croît puis décroît en étant
extrémale en son milieu.
On a
!
2n
X
2n
= (1 + 1)2n = 22n
k
k=0
Or, pour n fixé, la suite finie des coefficients binomiaux est maximale en son milieu donc
!
!
2n
2n
∀0 ≤ k ≤ 2n,
≤
k
n
et donc
2n
2
!
2n
≤ (2n + 1)
n
puis l’inégalité proposée.

Calculs algébriques

Transcription

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