Son et musique série de fourier

SON ET MUSIQUE
SÉRIE DE FOURIER
Série de Fourier.
Un fonction périodique de période T1 (et de fréquence f1 = 1 / T1) peut se décomposer en une somme de
fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de la fréquence f1, appelée fréquence fondamentale.
s( t) = A0 + ∑ A i cos (2 π f i t + φi)
i
les fréquences fi (pour i > 1) sont appelées "harmoniques", les coefficients Ai sont appelées "coefficients
de Fourier", les coefficients φi "phase à l'origine".
La série peut également s'écrire :
s(t) = a 0 + ∑ a i cos (2 π f i t) + b i sin( 2 π f i t)
i
Calculs des coefficients de Fourier d'une fonction périodique.
Les coefficients Ai et φi (ou ai et bi) peuvent être calculés si on connaît l'expression de la fonction s(t).
La fonction périodique est alors caractérisée soit par le signal s(t), soit par son spectre en fréquence A(f).
En physique, la décomposition en série de Fourier est utilisée dans l'étude des sons, en électricité,
électronique, en optique, en mécanique....
Les calculs sur des fonctions périodiques (théoriques ou expérimentales) peuvent être effectués par des
circuits électroniques ou par des programmes informatiques, qui permettent soit d'analyser s(t) et trouver
le spectre en fréquence A(f), soit de créer le signal s(t) à partir de A(f).
Quelques exemples autour de la même fréquence fondamentale f1 = 440 Hz (La3)
Synthèse d'un signal périodique avec l'application de G.Tulloue.
serie_fourier.odt
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TS-SPE-JFC
Enregistrement et analyse du même signal avec le logiciel WinOscillo de J.N.Haas
x (×10%)
WinOscillo v0.88
x (×1%)
WinOscillo v0.88
4
10
2
8
6
0
4
-2
2
0
-2
0
2
0
2
4
t (ms)
6
f (kHz)
Son réel créé par un harmonica.
x (×10%)
WinOscillo v0.88
x (×1%)
2
WinOscillo v0.88
5
4
1
3
0
2
-1
1
-2
0
-2
0
2
0
2
t (ms)
f (kHz)
On remarque que l'amplitude A1 du fondamental
n'est pas forcément la plus importante : il arrive
même qu'elle soit nulle.
serie_fourier.odt
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TS-SPE-JFC
Son sinusoïdal pur (monochromatique).
x (×1%)
WinOscillo v0.88
x (×1%)
WinOscillo v0.88
14
10
12
5
10
0
8
-5
6
4
-10
2
-15
0
-2
0
2
0
1
2
t (ms)
Le spectre d'un signal sinusoïdal pur se réduit à la
fréquence fondamentale ; c'est par exemple le La
du diapason, ou le son créé par une flûte.
Le logiciel "Harmonie" de N.Bonnin permet de
synthétiser un son à partir des différentes
harmoniques, de modifier son enveloppe et de
l'enregistrer (format .wav)
(cliquer sur l'image ci-dessous pour écouter le son ).
serie_fourier.odt
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3
f (kHz)
TS-SPE-JFC