Cours de méca du point L1 et IUT Mesures Physiques de l`UJF

Cinématique
Description «mathématique» du mouvement des corps (ici de
points matériels) sans en évoquer les causes .
Cette discipline de la mécanique fait appel à la géométrie
analytique et au calcul infinitésimal.
Introduite en 1700 par Pierre Varignon [1654-1722]
Johann Collot
[email protected] http://lpsc.in2p3.fr/atlas_new/teachingitem.htm
Mécanique L1 & IUT1
Un point matériel - de masse m - sans
dimension appréciable,
dans un espace « absolu », euclidien, à trois dimensions
homogène et isotrope : notre Univers « vide » et « infini »,
évolue selon un temps t «absolu» qui s'écoule en tout point de la
même manière,
en décrivant
une
trajectoire
et une accélération ,
 t 

m
Johann Collot
V t 
avec une vitesse,
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Mécanique L1 & IUT1
Référentiels, repères, vecteurs
De nombreuses grandeurs mécaniques sont modélisées par des
vecteurs
référentiel : une partie de l'espace, le laboratoire

U
Ux
Uy
Uz

u
 =U
U
u
repère fixe /réf.
Johann Collot
3 coordonnées
pour les 3
dimensions spatiales
Un module : U
une direction et un sens : u
où u est un vecteur unitaire
∥u∥=u=1
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Mécanique L1 & IUT1
vecteurs variables, différentielles et dérivées
différentielle == accroissement infinitésimal d'une grandeur
lié à l'évolution infinitésimale de variables


U t dt = 
U t d U
dt laps de temps infinitésimal mais
non nul

U t dt 
d
U
u t 

∀ t , u t  = 1

U t 
 t dt −
d
U =U
U t 
est la différentielle de
U t ⋅d u t 

dU
dt
d U t ⋅
u t 

U
est la dérivée
par rapport
au temps
(derivative)
d
U = d  U t  u
 t  
= d U t ⋅
u t U t ⋅d  
u t 
d u t 2  = d 1 = 0 = d 
u t ⋅
u t  = 
u t ⋅d 
u t   d 
u t ⋅
u t 
⇒2 
u t ⋅d 
u t  = 0
u t  (vecteur unitaire)
d 
u t  est orthogonale à 
Johann Collot
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Mécanique L1 & IUT1
différentielle d'un vecteur unitaire dans un plan
d v t 
rotation d'un vecteur sur un cercle de rayon unité
v t 
v t dt 
u tdt 

d
u t 

d 
u t   = d  v t 
d 
u t  d 
=

v t  = t  
v t 
dt
dt
est la vitesse angulaire
d

où t  =
dt ou de rotation (angular
−1
[] = rad s
d 
v t  = −d  u
 t 
Johann Collot
velocity)
d 
v t 
= −t 
u t 
dt
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Mécanique L1 & IUT1
différentielle d'un vecteur unitaire dans l'espace
C'est une rotation d'un vecteur unitaire
Soit t
  le vecteur rotation porté par l'axe de la rotation
, dont le module est la vitesse angulaire et dont
le sens représente le sens de rotation (règle du
tire-bouchon)
d u t  = sin  u t  d =sin  d 
u t 
d d
t
 
u t 

u tdt 

Rappel :
d
d ut 
= sin 
= sin  
dt
dt
d
u t 
=
u t 
 t ∧
dt
C orthogonal à A et B , sens
=
C
A∧ 
B défini par règle du tire-bouchon
C = sin  A B
Johann Collot
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Mécanique L1 & IUT1
Position, vitesse, accélération
 t 


OM t 
 t 
V
M
d 
OM t 

V t  =
dt
 t dt
⇒ d 
OM t  = V
 t  d 2 
d

V
OM t 
 t  =

=
dt
dt 2
O
Johann Collot
 t  = 
 t  dt
d V
−1
[V ] = m s
−2
[ ] = m s
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Mécanique L1 & IUT1
Coordonnées cartésiennes

OM t  = x t  i  y t  j  z t  
k
M
Les vecteurs de base ne varient pas !
d i = d j = d k = 0
d 
OM t  =dx t i  dy t  j  dz t  
k
z

k
y
dV x t 
dV y t
dV z t
k
i 
j 
dt
dt
dt
=  x t  i  y t  j  z t 
k
2
2
2
d x t   d y t   d z t  
=
i
j
k
2
2
2
dt
dt
dt
 =
t
j
O i
fixe/référentiel
Johann Collot
 t  = dx t  i  dy t  j  dz t  
V
k
dt
dt
dt
= V x t  i V y t  j V z t 
k
x
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Mécanique L1 & IUT1
Coordonnées cylindriques
Utilisées si rotation autour d'un
axe ici (o,z)
u

OM t  =t  u  z t  
k
tourne autour de (o,z) avec le vecteur de
d t  
rotation : t

k
  = t  k =
d u


z
o
M

k

x
Johann Collot
dt
d u

= t
 ∧ u =
d t  
d t 
k ∧u =
u
dt
dt
d t 
=−
u
dt
dt
u
M'
dt
y
u
oxyz fixe / référentiel
 distance à l'axe [ 0 ,∞ [
 azimut [0, 2]
z hauteur ] −∞ ,∞ [
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Mécanique L1 & IUT1
Coordonnées cylindriques suite ....

d t  u z t  k  d t
d u d z t 
d

OM

k
 t  =
V
=
=
u  t 

dt
dt
dt
dt
dt
d t 
d z t  
=
u  t t  u
k = V  u  V  uV z 
k
dt
dt
vitesse orthoradiale
vitesse radiale


z
o
M

k


2
d
t 
d  t  d u 
d t 

t  =
u



t  u

2
dt
dt
dt
dt
2
d u
d  t 
d z t  
t 
u  t t 

k
2
dt
dt
dt
u
M'
u
oxyz fixe / référentiel
Johann Collot
 t  =

d 2 t 
2
u 
d  t 
d t 
t  u 
t  u
dt
dt
dt
2
d t 
d z t  
t 
u − t t t  u 
k
2
dt
dt
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Mécanique L1 & IUT1
Coordonnées cylindriques suite ....
 t  = [

2
d t 
dt
2
d t 
d t 
d 2 z t  
−t  t  ] u  [ 2
t    t 
] u 
k
2
dt
dt
dt
2
accélération centripète
accélération de Coriolis
Coordonnées polaires
2
dz
d z
=
=0
Mouvement plan ⇒ z = cte ⇒
2
dt
dt
Si de plus =cte=0 et =cte=0 ⇒ mvt circulaire uniforme
 t  = 0 0 u
V

Johann Collot
 t  = −0 20 u


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Mécanique L1 & IUT1
Coordonnées sphériques
Corps en rotation autour d'un point

OM t  = r t  ur
z
r rayon , distance à l'origine [ 0 ,∞ [
 M

r
k
o

x
u
ur
u 
[0 , ]
 angle
[0 , 2 ]
azimutal
M'
oxyz fixe / référentiel
Johann Collot
y
 angle polaire
u ⊥ à ur et 
k
u ⊥ à ur et u
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Mécanique L1 & IUT1
Coordonnées sphériques
z
θ est modifié par une rotation autour de u
Φ est modifié par une rotation autour de 
k


k
o
Le vecteur rotation total est donné par :
d t 
d t  


t  =
u 
k
dt
dt

k =cos  ur −sin  u

x
u
ur
r
u
M
y
M'
oxyz fixe / référentiel
d  ur 
d t
d t  
d t 
d t 





= t ∧ u r = 
u 
k ∧u r =
u 
k ∧ur
dt
dt
dt
dt
dt
d t
d t 

=
u 
sin t  u
dt
dt
d  u 
d t 
d t 



= t ∧u = −
ur
cost  u
dt
dt
dt
d  u 
d t  
d t
d t 



 ∧u =
= t
k ∧u  = −
cos t  u −
sin  ur
dt
dt
dt
dt
Johann Collot
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Mécanique L1 & IUT1
Coordonnées sphériques
z
d
r
t

V t  =
ur  r t  t
 ∧ur 
dt
ur
u
d t 
d t  
d r t 
M
=
ur  r t [
u 
k ]∧ur 

dt
dt
dt

u
k
r
d
t
d
t

d r t 
y
=
ur  r t 
u  r t  sint 
u
o
dt
dt
dt
M'

d r t 
=
ur  r t  ̇t  u  r t  sin t  ̇t  u
x
dt
oxyz fixe / référentiel
d t 
d t 
̇t  =
̇t  =
dt
dt 2
 t =  d r t  −r t   ̇t 2 −r t  sin 2 t   ̇t 2  u 

r
dt 2
d ̇t 
d r t 
2
̇t   r t 
− r t sint cos t  ̇ t 2  u 
dt
dt
d ̇t 
d r t 
2
sint  ̇t   2r t cost  ̇t  ̇tr tsin t 
 u
dt
dt
Johann Collot
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Mécanique L1 & IUT1
Coordonnées curvilignes : repère de Frénet

T

B
d
À un instant t, la trajectoire (qui n'est
pas plane) est contenue dans un plan, ici
celui de la feuille . Un cercle tangente la
ds
s t  trajectoire .

N
R t 
 unitaire et tangent à la trajectoire
T
0
dirigé dans le sens du mouvement,
donc dans le plan de la feuille

N unitaire et normal à T
dirigé vers le centre du cercle tangent
d 
d T
=
N
dt
dt

 vecteur unitaire
B = T ∧ N
s t  abscisse curviligne le long de la trajectoire
Johann Collot
binormal
d s t  = R t d t 
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Mécanique L1 & IUT1
Coordonnées curvilignes : repère de Frénet

T

B
d
ds

N
R t 
ds 


d T = d N =
N
R t 

d T
N
=
ds
R t 
s t 
ds 

V = T = V T
dt
0
dV 
d T
dV 
d T ds

 t  =
T V
=
T V
dt
dt
dt
ds dt
dV 
V2 
=
T
N
dt
R t 
V dt = ds T
t
V t dt = ds ⇒ s t =∫ V t dt
t0
Johann Collot
vrai dans tous les systèmes de
coordonnées
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Mécanique L1 & IUT1
Trajectoires

u
s t 
équation paramétrique en fonction de t
droite , mouvement rectiligne
avec
x t  = u s t  x
x
O
0
y t  = u y s t  y 0
z t  = u z s t z 0
u 2x  u 2y  u 2z = 1
s t fonction arbitraire de t
mvt uniforme si s t  = a t
mouvement circulaire de rayon r
s t 
x t  = r cos
0   x 0
r
s t 
y t  = r sin 
0  y 0
r
z t  = z 0
Johann Collot
s t fonction arbitraire de t
mvt uniforme si s t  =  r t
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Mécanique L1 & IUT1
Trajectoires
mouvement hélicoïdal de rayon r o et de pas p
r t  = r 0
t  = 2
s t 
 2 r   p
2
2
0
0
z t  = p
s t 
2 r   p
2
2
s t fonction arbitraire de t
 z0
0
p
2  r0
Johann Collot
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Mécanique L1 & IUT1
Mouvement absolu et Mouvement relatif
décrits dans des repères absolu et relatif .


 M / A À un instant t, R peut avoir un
V
repère R R / O '
repère
M
mouvement de translation par
relatif
A
rapport
à
A
et
tourner
sur

V O' / A
absolu
O'
lui-même, c-à-d autour de O'
O

OM =
OO ' 
O' M
d 
OO '  d 
O' M  
 R / O ' ∧

V M/A =

= V O ' / A V M / R 
O' M
dt
dt
 R/ O ' 
 M / A

d V
d V M / R  d  

 R /O ' ∧ d  O ' M 
=O ' / A

∧
O ' M 
dt
dt
dt
dt
 R/ O ' 
d 

 R/ O ' ∧ V
 R /O ' ∧ 
 R/ O ' ∧



 M / R
=  O ' / A  M / R  R/ O ' ∧ V M / R 
∧
O ' M 
O' M 
dt
 R/ O ' 
d 
 R/ O ' ∧V M / R 
 R/ O ' ∧ 
 R/ O ' ∧


=  O ' / A  M / R 
∧
O ' M 2 
O' M 
dt

 M / A=
 R / O ' = 0 (pas de rotation de R) V M / A= V O ' / A V M / R et
si 
Johann Collot
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 M / A =
 O ' / A 
 M/R

Mécanique L1 & IUT1
Récapitulatif
Vecteur :
 U x , U y ,U z  ou U
 =U
U
u avec ∥u∥=1
Différentielle d'un vecteur : d U = U tdt −U t 
Dérivée d'un vecteur :
 t dt −U
 t 

U
dU
=
dt
dt
Dérivée et différentielle d'un vecteur unitaire :
∥u t ∥=1
d
u t ⊥
u t 
d u t 
=t
u t 
 ∧
dt
d t 
∥
 t ∥=
dt
vecteurs position, vitesse, accélération :

OM t 
Johann Collot

d

OM t 

V t =
dt
 t  d 2 
d

V
OM t 

 t =
=
dt
dt 2
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Mécanique L1 & IUT1
coordonnées cartésiennes :
Récapitulatif

OM t = x t  i  y t  j  z t  k
d x t   d y t   d z t  

V t =
i
j
k
dt
dt
dt
2
2
d V x t 
d V y t 
d V z t   d 2 x t 
d
y
t

d
z t  





 t =
i
j
k=
i
j
k
2
2
2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
coordonnées cylindriques : (savoir retrouver)
d u
d u
d t 
d t 
=
u
=−
u
dt
dt
dt
dt
d t 
d z t  

V t =
ut  t  u 
k
dt
dt
2
2
d
t

d
t

d
t

d
z t  
2
 t =

−t
t


u

2
t
t


u


k


2
2
dt
dt
dt
dt

OM t =t  u t  z t  
k
Johann Collot
[email protected] http://lpsc.in2p3.fr/atlas_new/teachingitem.htm
Mécanique L1 & IUT1
Récapitulatif
coordonnées polaires : (dans un plan)

OM t =t  u t 
coordonnées cylindriques avec : z=cte
dz d 2 z
= 2 =0
dt dt
repère de Frénet :
ds t  


V t =V t  T t =
T t 
dt
2
dV
t

V
t  


 t  =
T t 
N t 
dt
R t 
t
s t =∫ V t dt
t0
Johann Collot
[email protected] http://lpsc.in2p3.fr/atlas_new/teachingitem.htm
Mécanique L1 & IUT1