Intégration par parties Calcul de volumes - XMaths

Intégration par parties
On suppose que toutes les fonctions utilisées ont des primitives sur les intervalles
considérés
b
b
b
⌠ u(t).v'(t)dt =  u(t).v(t) - ⌠ u'(t).v(t) dt


⌡
⌡
a
a
a
Exemple
π
Pour calculer ⌠
⌡ t sin t dt , on pose
u(t) = t
v'(t) = sin t
u'(t) = 1
v(t) = - cos t
0
π
π
π


⌠
Alors ⌠
⌡ t sin t dt = (t)(- cos t) - ⌡ (1)(- cos t)dt
0
0
π
0
π
π
0
0




Donc ⌠
⌡ t sin t dt = - tcos t - - sin t
0
π
= - t cos t + sin t)
π
0
Donc ⌠
⌡ t sin t dt = - π cos π + sin π - (- 0 cos 0 + sin 0) = π
0
Calcul de volumes
Pour un volume V de hauteur H dont
la section avec un plan à la hauteur
h a pour aire S(h), on a
h
H
V=⌠
⌡ S(h) dh
H
S(h)
0
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TS - Fiche de cours : Intégrales
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