LA REGULATION P.I.D 1. Introduction Encore utilisé en raison du

LA REGULATION P.I.D
1. Introduction
Encore utilisé en raison du poids du passé, à la fois matériel et culturel :
matériel : grâce à la découverte de l’ampli…cateur opérationnel, le premier P.I.D. est commercialisé en 1930; puis dans les années 1940 beaucoup d’installations P.I.D. pneumatiques voient
le jour; à partir des années 1970 l’arrivée des circuits intégrés permet la commande numérique
beaucoup moins restrictive que le P.I.D..
culturel : après plus de 70 ans d’expérience, la régulation P.I.D. reste encore la plus utilisée
et bien qu’implantée en numérique, c’est toujours la version initiale du continu.
2. Principe
P=kp
"
?
- +
ki
I=
p
-
-
u
6
D=kd p
PID parallèle
u = u0 + kp (" +
1
i
F"!u = kp 1 +
F"!u
1
+
ip
dp
,
i
Z
et
t
"d +
d
0
d
d"
)
dt
R
d
constantes d’ et de
dt
(1)
Z
ki
d
= kp + + kd p; ki et kd gains d’ et de
p
dt
action P : améliore la précision statique, déstabilise,
action I : annule l’erreur statique, déstabilise, ( PI pour qu’aux HF il reste P),
action D : stabilise, ( PD pour qu’aux BF il reste P).
3. Avantages et inconvénients : réglabilité
avantages : matériel standardisé, conception et méthodes de calcul standard et simples,
souvent empiriques;
Pr I. Zambettakis
inconvénients :
à peu près correct pour les bons systèmes, mais pas utilisable pour les systèmes à faible
réglabilité, c’est-à-dire rapides (temps de montée) relativement au temps de retard (retard
pur + temps de décollement) :
tm
<4
tr + td
plus la réglabilité augmente, plus le régulateur PID peut être simple :
tm
> 10
tr + td
tm
> 7:5
tr + td
tm
> 4
tr + td
action P
action PI
action PID
jamais utilisable pour les systèmes fortement non linéaires ou pour les systèmes multivariables (non découplés).
4. Changements brusques de consigne et bruits de mesure
(a) …ltrage de la dérivée
l’action D pure est irréalisable, il faut la …ltrer suivant :
1+
dp
d
N
=
p
N dp
=
N + dp
N
1+
N
dp
' N aux hautes fréquences;
les bruits et les changements brusques de consigne seront alors ampli…és au plus de N ;
remarque :
PD …ltrée = AV = 1 +
1+
dp
d
N
=
p
1+a p
avec a = 1 + N > 1 et
1+ p
=
d
N
;
(b) action D sur la mesure seule
PD en rétroaction sur la sortie pour réduire encore plus l’e¤et des changements brusques
de consigne, donc les risques de saturation de l’actionneur;
remarque : laisser par contre toujours PI sur " pour assurer la précision statique.
5. structures série et parallèle
Pr I. Zambettakis
"
-
-
P
-
PI
u
PD
-
PID série
F"!u = Kp 1 +
1
Ti p
(2)
(1 + Td p)
(a) formules de passage du PID série (2) au PID parallèle (1), sans …ltrage de la dérivée :
Td + Ti
Ti
i = Td + Ti
1
1
=
+
Ti Td
k p = Kp
d
1
(b) formules de passage du PID parallèle (1) au PID série (2), sans …ltrage de la dérivée :
possible uniquement si i 4 d
r
kp
Kp =
2
Ti =
Td =
1+ 1 4
r
1+ 1 4
r
1
1 4
i
2
i
2
remarque : Ti et Td sont solutions de T 2
l’action D la plus faible possible .
iT
+
d
i
d
(3)
i
d
i
i d
= 0;le choix (3) permet d’avoir
(c) passage du PID série au PID parallèle et du PID parallèle au PID série, avec dérivées
…ltrées :
PID// : kp
1
1+a p
+
1+ p
ip
PIDsérie : Kp 1 +
1 + a0 p
1+ p
1
Ti p
si N est assez grand, mêmes formules en posant :
d
= N = (a
N0 =
Td
1)
; a0 = N 0 + 1
et la condition i 4 d ' 4a si N
1.
Remarque : sinon la condition de passage // ! serie est ( +
2
i)
> 4a
i:
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6. E¤et du PID sur un lieu de Nyquist
Au point (! 0 ; 1=k0 ) mettre un PID// tel que :
d
kp = 0:6k0
i = 0:5T0 =
!0
0:24
= 0:12T0 =
!0
équivaut à ajouter au point d’intersection (! = ! 0 ), le complexe :
P ID(j! 0 ) = 0:6k0 (1 +
1
0
+ j0:24 ) = 0:65k0 ej22
j
soit en ! = ! 0 une avance de phase de 22 et une ampli…cation de 0:65k
7. Placement de pôles du premier ordre par PI
Transfert d’un 1er ordre bouclé par PI // :
K
1
kp 1 +
1+ p
ip
=
BF
Kkp (1 + i p)
2
i p + p ( i + Kkp i ) + Kkp
(a) FBF désiré : premier ordre
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1) simpli…er le pôle )
2)
0
désiré =
i
Kkp
i
! FBF =
=
) kp =
1
1 + 0p
i
0
K
(b) FBF désiré : deuxième ordre
1 + 2 np
1 + 2 n p + 2n p2
FBF =
1)
2
n
1 + Kkp
=
Kkp
2
n
2)
2 n
=
i
)
2
=
i
=
i
9
>
>
>
=
>
>
>
;
i
Kkp
i
=
2
n
!
kp =
2
= n
K
n
1
: pour le régler il faut plus de paramètres de réglage.
n
2 paramètres réglables par PI : généralement
et
n
du DBF
8. Placement de pôles du deuxième ordre par PID
Le transfert de la boucle ouverte d’un second ordre asservi par PID est un 3ième ordre ( un
4ième si D…ltrée) :
1 + i p + i d p2
K
FBO = kp
1 + 2 n p + 2n p2
ip
(a) FBF désiré : premier ordre (hyp. D non …ltrée nécessairement)
i d
1) simpli…er les deux pôles )
i
=
=2
2
n
n
i
!
2) régler kp pour placer le pôle unique ) kp =
=2
d
=
n
n
2
i
K
0
(b) FBF désiré : deuxième ordre
! simpli…er les deux pôles si le …ltrage de la dérivée est su¢ sant
! si …ltrage de D négligeable : il est possible de simpli…er un seul pôle si le processus est
un second ordre apériodique (pôles réels)
! si …ltrage de D négligeable et processus oscillant : 3ième ordre
3 paramètres réglables par PID : généralement les 3 coe¢ cients de DBF
Pr I. Zambettakis