Recherche du plan médian dans des images de cerveau

Institut Supérieur d’Informatique
de Modélisation
et de leurs Applications
Complexe des Cézeaux
bp 125
63173 Aubière Cedex
Rapport de projet 3e année
Recherche du plan médian
dans des images de cerveau
Présenté par :
Cindy Chauvet et Jean Martinot
Responsable projet : Vincent Barra
Soutenance : Mars 2006
Institut Supérieur d’Informatique
de Modélisation
et de leurs Applications
Complexe des Cézeaux
bp 125
63173 Aubière Cedex
Rapport de projet 3e année
Recherche du plan médian
dans des images de cerveau
Présenté par :
Cindy Chauvet et Jean Martinot
Responsable projet : Vincent Barra
Soutenance : Mars 2006
Remerciements
Nous remercions Vincent Barra pour nous avoir suivis et aidés tout au long de ce projet.
Nous remercions également Philippe Briandet de la société Segami Corporation.
Table des figures
1
2
3
4
5
6
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9
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Hémisphères du cerveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Position du plan K dans une image 3d I . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distance entre deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Appariement de blocs cubiques de voxels . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolation trilinéaire dans un cube unitaire . . . . . . . . . . . . . .
Image 1283 d’un ellipsoïde droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
π
. . . . . . . . . . . . .
Image 1283 d’un ellipsoïde incliné d’un angle 20
Mesure de vraisemblance entre le plan théorique et le plan calculé . . .
Mesure de vraisemblance avec une asymétrie plus importante . . . . . .
Image 643 bruitée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Image 1283 bruitée et contenant des asymétries . . . . . . . . . . . . .
Image 1283 fortement asymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variation du plan en fonction de l’intensité dans un ellipsoïde droit . .
Variation du plan en fonction de l’intensité dans un ellipsoïde incliné de
Variation du plan pour une forte asymétrie dans un ellipsoïde incliné de
Image 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Image 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Image 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Image 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Image 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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π
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π
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20
21
21
22
22
22
I
II
III
IV
IV
V
V
VI
Liste des algorithmes
1
2
3
Algorithme de calcul du plan médian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algorithme de l’appariement de blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode des moindres carrés triés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
14
17
Résumé
Un cerveau humain présente une symétrie bilatérale entre ses deux hémisphères. Ces
deux parties sont délimitées par un sillon planaire, le sillon interhémisphérique.
Notre projet consiste à implanter une méthode permettant de calculer de manière automatique, dans des images tridimensionnelles de cerveau, le plan support de ce sillon. La
méthode repose sur le fait que ce plan doit superposer au mieux les deux hémisphères du
cerveau par réflexion. Elle se décompose en deux étapes. Tout d’abord, un calcul de mesures
de similarité locales entre les deux hémisphères permet de mettre en correspondance les zones
homologues, par un algorithme d’appariement de blocs cubiques. Puis, une estimation des
paramètres du plan est effectuée par la méthode des moindres carrés triés.
Nous avons utilisé pour cela le logiciel Borland C++ Builder 6.0. Par ailleurs, la visualisation des images du cerveau et du plan médian sagittal calculé s’effectue avec le logiciel
IpfuLib, logiciel d’imagerie médicale.
Ce projet va être intégré dans les bibliothèques développées par la société américaine
Segami Corporation, spécialisée dans le développement de matériel et de logiciels pour l’imagerie médicale nucléaire.
Mots-clés : cerveau, symétrie bilatérale, moindres carrés triés, plan médian sagittal
Abstract
An healthy brain presents a bilateral symmetry between its two hemipsheres. These
two sides are delimited by a planar fissure, the inter-hemispheric fissure.
Our project consists in implementing a method allowing to compute automatically, in
3D brain images, the mid-sagittal plane. The method is based on the assumption that it
is the plane best superposing both hemispheres of the brain by a reflective symmetry and
is composed of two steps. First of all, the computation of local similarity mesures between
the two sides allows to match homologous areas by way of a block matching procedure.
Then, a parameter estimation caracterizing the plane is made by a least trimmed squares
optimization scheme.
To achieve it, we use Borland C++ Builder 6.0. Furthermore, a medical imaging software,
IpfuLib, is used in order to display brain images and the computed mid-sagittal plane.
This project would be integrated into programs libraries carried out by the american
company Segami Corporation, specialized in software and hardware development for nuclear
medical imaging.
Keywords : brain, bilateral symmetry, mid-sagittal plane, least trimmed square
Table des matières
Remerciements
Table des figures
Liste des algorithmes
Résumé, Abstract
Table des matières
Introduction
8
1 Introduction de l’étude
1.1 Contexte de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sujet de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
2 Méthode et Matériel
2.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Méthode de l’appariement de blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Critère de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Méthode des moindres carrés triés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Recherche du vecteur propre associé à la plus petite valeur propre . .
2.3.3 Utilisation des moindres carrés pour le calcul du plan médian sagittal
2.4 Alignement du plan médian sagittal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Interpolation trilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
12
15
15
15
16
16
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17
18
3 Résultats et discussion
3.1 Réalisation et résultats . . .
3.1.1 Données de synthèse
3.1.2 Données réelles . . .
3.2 Discussion et limites . . . .
20
20
20
22
23
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Conclusion
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24
Références bibliographiques
Annexes
A Validation sur des données de synthèse
B Exemples de résultats sur des données réelles
I
IV
Introduction
Dans le cadre de notre troisième année d’étude à l’isima, nous avons réalisé un projet de
cent vingt heures réparties sur cinq mois pour une société américaine Segami Corporation,
société spécialisée dans le développement de matériel et de logiciels pour l’imagerie médicale
nucléaire.
Notre projet consiste à rechercher, de manière automatique, le plan médian dans des
images tridimensionnelles de cerveau.
Le cerveau présente une symétrie bilatérale. Il se compose de deux hémisphères dans
lesquels chaque structure possède un homologue du côté opposé. Ces deux hémisphères sont
séparés par un sillon planaire, appelé plan médian sagittal.
Cependant, certaines zones sont systématiquement asymétriques. L’étude de ces asymétries joue un rôle important pour comprendre certaines maladies telles que la schizophrénie.
Par ailleurs, ce plan est rarement situé au centre des images médicales tridimensionnelles
anatomiques ou fonctionnelles. Sa détermination doit permettre de recentrer et réorienter le
cerveau dans les images afin de faciliter les diagnostics et d’étudier certaines pathologies.
Tout d’abord, nous allons présenter le contexte de l’étude et les différentes approches
possibles. Puis, nous décrirons la conception de notre solution et les techniques utilisées.
Enfin, nous nous intéresserons aux résultats obtenus ainsi qu’aux tests de validation et nous
apporterons nos conclusions sur le projet.
8
Introduction de l’étude
1
1.1
Introduction de l’étude
Contexte de l’étude
La société Segami Corporation développe des bibliothèques logicielles permettant d’effectuer du traitement ou de la visualisation des images médicales dans les domaines de
l’oncologie, de la cardiologie ou de la neurologie. Ses clients sont les départements d’imagerie, les cliniques ou les hôpitaux. Pour satisfaire leurs besoins et leur permettre d’étudier
les fonctions et l’anatomie du cerveau humain, elle souhaite intégrer dans ses produits une
méthode permettant de déterminer le plan médian sagittal.
Un cerveau humain sain présente une symétrie bilatérale, à la manière de la symétrie observée sur les structures extérieures (yeux, oreilles, nez). Il se compose de deux hémisphères,
connectés par des faisceaux de fibres (le corps calleux) et séparés par un sillon grossièrement
planaire, le sillon interhémisphérique. Bien que similaires en apparence, ces deux parties du
cerveau possèdent des fonctions différentes et présentent des asymétries structurelles (figure
1).
Fig. 1 – Hémisphères du cerveau
Les techniques d’imagerie médicale permettent d’étudier le cerveau, et plus particulièrement, ses asymétries fonctionnelles ou anatomiques. Les mesures de ces asymétries dans
les images médicales peuvent être utilisées pour effectuer des diagnostics comme les lésions
ou les tumeurs dans les images irm. Par ailleurs, certaines pathologies neurodégénératives
telles que la schizophrénie peuvent être liées à une anomalie d’asymétrie.
La comparaison des deux hémisphères nécessite la connaissance du plan médian sagittal,
plan support de la fissure interhémisphérique. Toutefois, en raison du positionnement arbitraire de la tête du patient dans l’appareil d’acquisition, le plan médian se trouve rarement
au centre des images médicales tridimensionnelles.
L’implantation d’une méthode permettant de calculer, recentrer et réorienter le plan médian, de manière automatique, dans des images médicales tridimensionnelles anatomiques
ou fonctionnelles, présente donc un intérêt majeur.
9
1.2 Sujet de l’étude
1.2
Sujet de l’étude
Deux définitions de ce plan sont utilisées dans la littérature. La première définition considère ce plan comme celui passant au mieux le long de la fissure interhémisphérique alors que
la deuxième repose sur des considérations de symétrie et présente ce plan comme celui permettant de superposer au mieux les deux hémisphères du cerveau par réflexion.
Notre travail consiste alors à créer un programme robuste de détection automatique du
plan médian à partir de diverses images médicales tridimensionnelles du cerveau. Pour cela,
la méthode utilisée se base sur la deuxième définition du plan médian. L’objectif est de
parvenir à obtenir l’équation de ce plan dans le repère de l’image.
Le développement est réalisé avec le logiciel Borland C++ Builder. Par ailleurs, le logiciel
IpfuLib, logiciel d’imagerie médicale développée par l’erim (Equipe de Recherche en Imagerie
Médicale) de Clermont-Ferrand, facilite la visualisation des images tridimensionnelles et du
plan obtenu.
10
Méthode et Matériel
2
2.1
Méthode et Matériel
Principe de la méthode
La méthode utilisée a été développée par une équipe de recherche de l’inria [2]. Il s’agit
d’une méthode itérative basée sur un critère de symétrie. Elle est composée de deux étapes.
Tout d’abord, le calcul de mesures de similarité locales entre les deux hémisphères permet
de mettre en correspondance les zones homologues, aussi bien dans des images fonctionnelles
qu’anatomiques. Cette procédure fournit un ensemble de couples de points, noté {ai , SP (bi )},
où ai est un voxel du cerveau, bi son homologue dans l’autre hémisphère et SP la symétrie
par rapport au plan P.
Les points ai et bi sont obtenus en utilisant le principe suivant. Nous construisons l’image
SK (I), image symétrique de I par rapport à un plan vertical K passant par le centre de
l’image, comme schématisé sur la figure 2. Ces deux images ont une taille de wx × wy × wz .
Fig. 2 – Position du plan K dans une image 3d I
Une mise en correspondance des deux images permet de trouver les points ai de I et leurs
homologues dans l’image SK (I), notés b0i . Les points bi sont alors les symétriques des points
b0i par rapport au plan K.
Cet ensemble {ai , SP (bi )} est utilisé pour déterminer le plan médian sagittal, défini comme
celui permettant de superposer au mieux les points ai et SP (bi ) par une simple réflexion.
La deuxième étape consiste à estimer les paramètres du plan
X P par la méthode des
moindres carrés triés. Ainsi, le plan P est obtenu en minimisant
kai − SP (bi )k2 .
i
Le calcul de mesures de similarité locales et l’utilisation d’une estimation robuste du plan
permettent de discriminer les zones asymétriques des autres. La détermination du plan P est
alors fondée sur les aires fortement symétriques. La méthode est itérée de manière à affiner
les paramètres de l’équation du plan. De plus, à chaque itération, le plan calculé P doit être
aligné avec le plan K.
Deux critères d’arrêt sont utilisés pour mettre fin au calcul du plan. Tout d’abord, nous
pouvons fixer un nombre d’itérations maximal. Pour l’ensemble des tests effectués, nous
11
2.2 Méthode de l’appariement de blocs
avons choisi cinq comme valeur maximale, qui permet une convergence de la méthode vers
le plan optimal en un temps d’exécution raisonnable.
Ensuite, le programme peut s’arrêter lorsque les plans P et K sont suffisamment proches.
La distance entre deux plans Q1 et Q2 , qui intersectent les quatre bords de l’image, est
définie comme le maximum des distances d1 , d2 , d3 et d4 , représentées sur la figure 3.
Fig. 3 – Distance entre deux plans
Nous obtenons donc l’algorithme suivant :
n←1
Répéter
Calcul de l’image symétrique SK (I)
Appariement de blocs
Calcul des paramètres du plan P par la méthode des moindres carrés triés
Calcul de la transformation qui aligne le plan P avec le plan K
n←n+1
jusqu’à ce que ((n = 5) ou d(P, K) < 0.1))
Algorithme 1: Algorithme de calcul du plan médian
Nous distinguons deux étapes principales, à savoir l’appariement de blocs et l’estimation
des paramètres du plan P. Nous allons alors nous intéresser à la description de ces deux
parties.
2.2
2.2.1
Méthode de l’appariement de blocs
Principe de la méthode
L’image I est découpée en blocs de taille Nx × Ny × Nz . L’appariement de blocs consiste
à trouver, dans l’image SK (I), le bloc correspondant à un bloc de I et maximisant un critère
de similarité basé sur les niveaux de gris. La tête du patient étant peu inclinée, la recherche
d’un bloc de SK (I) est limitée au voisinage du bloc de I. Cette méthode fournit les paires
{ai , b0i }, où les ai et b0i correspondent au centre de chaque bloc.
12
2.2 Méthode de l’appariement de blocs
Les blocs B de I sont définis tous les ∆x , ∆y , ∆z voxels dans les directions respectives x,
y et z. Ainsi, ce paramètre ∆ = (∆x , ∆y , ∆z ) traduit le déplacement dans l’image I pour la
définition des blocs.
Pour chaque bloc B, nous définissons une sous-image dans SK (I) centrée sur le bloc B
et située dans un voisinage de recherche. Ce voisinage est paramétré par Ω = (Ωx , Ωy , Ωz ).
Ainsi, si le bloc B de I est défini par le voxel (i, j, k), la recherche du bloc homologue dans
l’image SK (I) s’effectue dans l’intervalle [i − Ωx , i + Ωx ], respectivement [j − Ωy , j + Ωy ],
[k − Ωz , k + Ωz ], dans la direction x, respectivement y et z.
Dans cette sous-image, le vecteur de déplacement est caractérisé par Σ = (Σx , Σy , Σz ),
c’est-à-dire que les blocs de SK (I) sont examinés tous les Σx , Σy , Σz voxels dans les directions
x, y et z.
La figure 4 montre les différents paramètres ∆, Ω et Σ sur une image du cerveau.
Considérons le bloc centré sur le point ai dans l’image I, représenté en bleu. Dans l’image
SK (I), nous définissons un voisinage de recherche, centré sur le bloc de centre ai , représenté
en bleu et pointillé dans l’image SK (I). La grille verte délimite le voisinage de recherche
(paramètre Ω) ainsi que le déplacement qui permet de trouver le bloc maximisant le critère
de similarité, soit le paramètre Σ.
Le point b0i de SK (I) est le point correspondant au point ai dans I. Puis, le point bi est
obtenu en prenant le symétrique du point b0i par rapport au plan K.
Le quadrillage jaune représente le déplacement ∆ dans I pour le découpage de l’image
en blocs.
Fig. 4 – Appariement de blocs cubiques de voxels [2]
L’algorithme 2 résume la méthode d’appariement de blocs.
13
2.2 Méthode de l’appariement de blocs
Calcul de l’image SK (I), image symétrique de I par rapport au plan K
Pour (i = 0 ; i ≤ wx − Nx ; i = i + ∆x ) faire
Pour (j = 0 ; j ≤ wy − Ny ; j = j + ∆y ) faire
Pour (k = 0 ; k ≤ wz − Nz ; k = k + ∆z ) faire
On considère le bloc Bijk de I
maxCC ← 0 // maxCC contient la valeur maximale du critère de similarité
// On recherche le bloc homologue dans SK (I) situé dans le voisinage
de Bijk
Pour (l = i - ∆x ; l ≤ i + ∆x ; l = l + Σx ) faire
Pour (m = j - ∆y ; m ≤ j + ∆y ; m = m + Σy ) faire
Pour (n = k - ∆z ; n ≤ k + ∆z ; n = n + Σz ) faire
// Seuls les blocs entièrement contenus dans SK (I)
sont traités
On considère le bloc Blmn
CC ← Mesure de similarité avec le bloc Bijk
Si (CC > maxCC) Alors
// Mémoriser le centre du bloc Blmn
Ny
Nz
Nx
,m +
,n +
)
maxBloc ← (l +
2
2
2
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
Fin Pour
// Mise à jour des correspondances ai et b0i
Nx
Ny
Nz
ai ← (i +
,j +
,k +
)
2
2
2
b0i ← maxBloc
Fin Pour
Fin Pour
Fin Pour
// Calcul du symétrique de b0i par rapport au plan K
bi ← Symétrique de b0i
Algorithme 2: Algorithme de l’appariement de blocs
Le cerveau étant situé globalement au centre de l’image, nous avons modifié l’algorithme
pour prendre en compte les blocs du contour contenant uniquement des voxels dont le niveau
de gris est noir. Cette technique permet de diminuer le temps de calcul.
Par exemple, pour un bloc, entièrement noir, de centre ai dans l’image I, nous traitons
tout d’abord le bloc de centre ai dans l’image SK (I). Si ce bloc est entièrement noir, nous
effectuons l’appariement, sinon nous recherchons le bloc homologue dans le voisinage en
utilisant un critère de similitude.
14
2.3 Méthode des moindres carrés triés
2.2.2
Critère de similitude
Le critère de similitude utilisé est le coefficient de corrélation cc. Chaque bloc Bijk de
l’image I et Blmn de l’image SK (I) contient N = Nx × Ny × Nz voxels, dont les niveaux de
gris sont notés respectivement xi et yi ∀i = 1, . . . , N . En utilisant ces notations, le coefficient
de corrélation est donné par la formule 1.
N
1 X
(xi − x)(yi − y)
N i=1
CC =
v
uN
N
X
X
1u
t (x − x)2
(yi − y)2
i
N
(1)
i=1
i=1
Ce coefficient est compris dans l’intervalle [−1; 1]. La maximisation de |CC| dans la
méthode permet de mettre en correspondance les zones homologues.
L’élimination des zones asymétriques est réalisée avec la méthode des moindres carrés
triés.
2.3
2.3.1
Méthode des moindres carrés triés
Méthode des moindres carrés
L’équation du plan médian est définie par quatre paramètres a, b, c et d tels que
a.x + b.y + c.z + d = 0. Le vecteur (a b c)T est perpendiculaire à ce plan.
La méthode des moindres carrés permet, à partir d’un ensemble de points (ai , bi )i=1,...,N ,
d’estimer ce vecteur pour calculer l’équation du plan P superposant au mieux ces points.
Les paramètres du plan P sont obtenus en minimisant :
N
X
kai − SP (bi )k2
(2)
i=1
Le symétrique SP (bi ) est défini par : SP (bi ) = bi − 2((bi − M )T ~n)~n où ~n est le vecteur
unitaire normal au plan P et M un point du plan.
N
ai + b i
1 X
, appartient au plan de symétrie et
Le barycentre G des points ai et bi , G =
N i=1 2
peut alors être choisi comme point M.
L’expression à minimiser s’exprime donc sous la forme :
N
X
~nT ((ai − G)(bi − G)T )~n
(3)
i=1
En utilisant cette formulation, le problème de minimisation à résoudre (équation (2)) est
équivalent à un problème aux valeurs propres. La normale au plan P est le vecteur propre
associé à la plus petite valeur propre.
Ainsi, en notant A la matrice
N
X
(ai − G)(bi − G)T , matrice de taille 3 × 3 construite à
i=1
partir des points ai et bi , nous cherchons le vecteur ~n, ~n 6= 0, vérifiant A~n = λ~n.
En effet, notons λmin la plus petite valeur propre et ρ la fonction telle que :
~n → ρ(~n) = ~nT A~n avec k~nk = 1 (Coefficient de Rayleigh). Alors λmin = min ρ(~n).
15
2.3 Méthode des moindres carrés triés
2.3.2
Recherche du vecteur propre associé à la plus petite valeur propre
Le problème aux valeurs propres A~n = λ~n s’écrit également (A − λI)~n = 0. Il existe
des solutions non nulles si det(A − λI) = 0, c’est-à-dire si P (λ) = 0 où P est le polynôme
caractéristique de
 la matriceA − λI.
a d g


Notons A =  b e h  , le polynôme caractéristique P (λ) s’écrit :
c f i
P (λ) = −λ3 + (a + e + i)λ2 + (gc + hf + db − ae − ai − ie)λ + aei + bf g + cdh − cge − hf a − idb
Nous calculons alors les racines du polynôme P (λ) par la méthode de Laguerre [1]. Cette
méthode permet de déterminer les racines réelles et complexes, ainsi que les racines simples et
multiples. Les racines correspondent aux trois valeurs propres. En considérant la plus petite
valeur propre, le vecteur propre associé estobtenu
 en résolvant un système d’équations
nx

linéaires homogène, (A − λI)~n = 0 avec ~n = 
 ny  .
nz


 (a − λ) nx


b nx
c nx
+ d ny
+ g nz
+ (e − λ) ny + h nz
+ f ny
+ (i − λ) nz
=0
=0
=0
(4)
Pour résoudre le système (4), fixons une valeur à nx . ny et nz sont donc obtenus par les
formules suivantes :




 ny



 nz
(i − λ)b − ch
nx
hf − (e − λ)(i − λ)
c(e − λ) − bf
=
nx
hf − (e − λ)(i − λ)
=
(5)
Le vecteur normal ainsi calculé permet d’obtenir une estimation de l’équation du plan.
Cette estimation est ensuite améliorée par la méthode des moindres carrés triés.
2.3.3
Utilisation des moindres carrés pour le calcul du plan médian sagittal
Si le cerveau contient des zones asymétriques ou si l’image est bruitée, les données correspondant aux centres des blocs peuvent biaiser le critère des moindres carrés et, ainsi,
l’estimation des paramètres du plan. Pour résoudre ce problème, nous utilisons un nouvel
estimateur qui consiste à minimiser
h
X
ri2 où ri2 = kai − SP (bi )k2 sont les résidus triés dans
i=1
N
l’ordre croissant et h un entier proche de
. Ce critère permet d’éliminer les centres des
2
blocs possédant les résidus les plus importants, les zones asymétriques.
Le calcul des paramètres du plan médian par la méthode des moindres carrés triés s’effectue selon l’algorithme 3.
16
2.4 Alignement du plan médian sagittal
• Calcul des paramètres du plan P minimisant
moindres carrés sur l’ensemble des blocs
P
i
kai − SP (bi )k2 au sens des
• Calcul des résidus ri = kai − SP (bi )k
• Tri des résidus ri
• Calcul des nouveaux paramètres du plan P à partir des blocs qui ont les h résidus
les plus faibles
Algorithme 3: Méthode des moindres carrés triés
Pour améliorer la précision des résultats, la méthode de calcul du plan médian est réitérée.
A chaque itération, nous devons alors définir une transformation, composée de rotations et
de translations, qui aligne le plan P, dont les paramètres sont déterminés par les moindres
carrés triés, avec le plan K, plan vertical.
2.4
2.4.1
Alignement du plan médian sagittal
Changement de repère
Nous devons définir une transformation qui aligne le plan calculé P de vecteur normal
~n = (nx , ny , nz )T et passant par le point G de coordonnées homogènes (Gx , Gy , Gz , 1)T avec
le plan K. Pour cela, nous utilisons trois transformations géométriques T, Rz et Ry .
La transformation est réalisée par rapport au barycentre G. La première transformation
consiste alors à ramener le barycentre G à l’origine par une translation T.


T =


1
0
0
0
0
1
0
0
0 -Gx
0 -Gy 


1 -Gz 
0 1

Puis, nous effectuons une rotation d’angle θ autour de l’axe Oz et une rotation d’angle
ϕ par rapport à l’axe Oy. Les matrices de rotation, respectivement Rz et Ry , sont décrites
ci-après :


Rz = 


cos θ sin θ 0 0
-sin θ cos θ 0 0
0
0
1 0
0
0
0 1






et

Ry = 


cos ϕ
0
-sin ϕ
0
0 sin ϕ 0
1
0
0
0 cos ϕ 0
0
0
1





Le calcul de la matrice de changement de repère M est obtenu en effectuant le produit
matriciel des trois matrices T, Rz et Ry .




M = Ry Rz T = 
cos ϕ cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ -Gx cos ϕ cos θ − Gy cos ϕ sin θ − Gz sin ϕ
-sin θ
cos θ
0
Gx sin θ − Gy cos θ
-sin ϕ cos θ -sin ϕ sin θ cos ϕ Gx sin ϕ cos θ + Gy sin ϕ sin θ − Gz cos ϕ
0
0
0
1
17





2.4 Alignement du plan médian sagittal


cos θ cos ϕ


En écrivant les coordonnées de ~n sous forme de coordonnées sphériques ~n =  sin θ cos ϕ  ,
sin ϕ
nous pouvons exprimer cos θ, sin θ, cos ϕ et sin ϕ en fonction des coordonnées de ~n.


cos θ









sin θ






cos ϕ




nx
= q
1 − n2z
ny
= q
1 − n2z
q
=
1 − n2z
sin ϕ = |nz |
Ainsi, nous calculons la matrice de changement de repère M en fonction des coordonnées
du barycentre G et du vecteur normal ~n à partir de la formule (6).

nx
ny

 -q


1 − n2z

M =
 - qnx nz


1 − n2z

0
ny
nx
nz
0
q
1 − n2z
ny nz
-q
q
1 − n2z
0
1 − n2z
0
-Gx nx − Gy ny − Gz nz
ny
nx
Gx q
− Gy q
1 − n2z
1 − n2z
q
nx nz
ny nz
q
q
Gx
+ Gy
− Gz 1 − n2z
1 − n2z
1 − n2z
1











(6)
Cependant, après le changement de repère, les coordonnées des voxels, initialement entières, ne sont plus nécessairement entières. Nous devons échantilloner l’image initiale afin
d’obtenir le niveau de gris du voxel de coordonnées non entières par une interpolation.
2.4.2
Interpolation trilinéaire
L’interpolation trilinéaire permet de calculer le niveau de gris du voxel M (x, y, z) à partir
de ces huit voisins, numérotés de (0, 0, 0) à (1, 1, 1), comme sur la figure 5. Les niveaux de
gris sont notés V000 , . . . , V111 .
Fig. 5 – Interpolation trilinéaire dans un cube unitaire
18
2.4 Alignement du plan médian sagittal
Le niveau de gris Vxyz du voxel M est donné par la formule :
Vxyz =
+
+
+
+
+
+
+
V000
V100
V010
V001
V101
V011
V110
V111
(1 − x) (1 − y) (1 − z)
x (1 − y) (1 − z)
(1 − x) y (1 − z)
(1 − x) (1 − y) z
x (1 − y) z
(1 − x) y z
x y (1 − z)
xyz
La matrice de changement de repère et l’interpolation trilinéaire sont utilisées pour calculer l’image SK (I), image symétrique de I par rapport au plan vertical K. Itérativement
et par l’utilisation des algorithmes décrits précédemment, nous pouvons alors améliorer la
précision des paramètres du plan médian. Cette méthode a pu être testée sur un ensemble
d’images tests. Les résultats sont présentés dans la partie suivante.
19
Résultats et discussion
3
3.1
Résultats et discussion
Réalisation et résultats
L’utilisation du logiciel IpfuLib nous permet de tester notre algorithme sur un ensemble
d’images tests et de superposer le plan calculé sur ces images. Pour ce faire, nous utilisons
deux catégories d’images : des données de synthèse et des données réelles.
3.1.1
Données de synthèse
La première catégorie de données est constituée d’images contenant un ellipsoïde dont
nous connaissons l’axe de révolution. Nous pouvons ainsi apprécier l’écart entre l’équation
du plan médian calculé et l’équation de l’axe principal de l’ellipsoïde.
La paramétrisation cartésienne d’un ellipsoïde suit la forme générale suivante :


 x
= a cos ϕ cos θ
y = b cos ϕ sin θ


z = c sin θ
où a (le demi grand axe), b (le demi axe moyen) et c (le demi petit axe) sont des paramètres
de l’ellipsoïde.
Le niveau de gris des ellipsoïdes suivent une distribution gaussienne, caractérisée par la
formule :
2
2
2
1
− x +y 2+z
2σ
√
exp
2πσ 2
La validation s’effectue sur un ellipsoïde dont l’axe de révolution est l’axe Oz et sur un
π
ellipsoïde incliné d’un angle
.
20
La figure 6 montre le plan calculé lorsque l’axe de révolution est l’axe Oz.
Fig. 6 – Image 1283 d’un ellipsoïde droit
La figure 7 montre la différence entre le plan théorique, en violet, et le plan calculé, en
π
bleu sur un ellipsoïde incliné d’un angle
.
20
Fig. 7 – Image 1283 d’un ellipsoïde incliné d’un angle
20
π
20
3.1 Réalisation et résultats
Dans le cas d’un ellipsoïde d’axe de révolution Oz, le plan calculé correspond au plan
théorique tandis que pour un axe de révolution incliné, les deux plans ne sont pas superposables.
Par ailleurs, pour tester la robustesse de notre programme, nous avons créé des images
avec des asymétries. Pour cela, nous ajoutons à nos ellipsoïdes un second, plus petit et décalé,
avec une distribution gaussienne des niveaux de gris dont nous faisons varier l’intensité I0 .
Le niveau de gris maximal du premier ellipsoïde est 10000. L’intensité I0 varie entre 0 et
15000. Les figures 8 et 9 représentent la mesure de vraisemblance entre le plan calculé et le
plan théorique, représenté par le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs normaux.
Fig. 8 – Mesure de vraisemblance entre le plan théorique et le plan calculé
La figure 8 a été obtenue en créant une faible asymétrie (peu de voxels modifiés) dans
l’ellipsoïde. Nous avons donc voulu vérifier l’influence de la taille de l’asymétrie avec un
second jeu de tests sur une asymétrie plus importante. Le plan obtenu pour certaines des
valeurs testées est présenté en annexe A.
Fig. 9 – Mesure de vraisemblance avec une asymétrie plus importante
Globalement, l’écart entre les deux plans est faible. La modification du niveau de gris
dans l’ellipsoïde par l’introduction d’un second permet de créer une asymétrie et peut engendrer une variation du cosinus entre les deux plans.
La seconde catégorie d’images est constituée d’images 3D de cerveau.
21
3.1 Réalisation et résultats
3.1.2
Données réelles
La méthode a, ensuite, été testée sur des images réelles afin de valider le plan médian
dans les cas où l’image est bruitée ou lorsque le cerveau présente des asymétries.
Les figures 10, 11 et 12 montrent trois exécutions du programme sur des données réelles
ainsi que le plan obtenu.
Fig. 10 – Image 643 bruitée
Fig. 11 – Image 1283 bruitée et contenant des asymétries
Fig. 12 – Image 1283 fortement asymétrique
A partir de cet ensemble de tests, nous pouvons en déduire plusieurs conclusions.
22
3.2 Discussion et limites
3.2
Discussion et limites
L’ensemble des tests effectués sur les données de synthèse a permis de valider pas à pas
chacune des étapes de la méthode et donne des résultats cohérents. En effet, pour chaque
test, le plan calculé est proche du plan théorique.
Quant aux données réelles, nous avons utilisé un grand nombre d’images sans obtenir
d’écart trop important entre le plan calculé et la fissure interhémisphérique, et ce malgré la
qualité des images. En effet, l’image peut comporter du bruit, dû, par exemple, à la rétroprojection filtrée lors de la reconstruction de l’image.
En ce qui concerne le temps d’exécution, il varie en fonction de la taille de l’image. Ainsi,
pour une image 643 , le temps d’exécution avoisine 1 minute 30 secondes alors que, pour une
image 1283 , il est de l’ordre de 11 minutes.
Pour faciliter le traitement des images de taille importante, nous aurions pu utiliser une
méthode multi-échelle. L’image est décomposée en blocs de taille décroissante au fur et à
mesure des itérations afin de trouver une meilleure estimation du plan. Cette méthode permet
d’assurer un compromis entre précision et complexité.
23
Conclusion
Pour conclure, nous avons implanté une méthode qui permet de calculer de manière automatique le plan médian dans des images tridimensionnelles du cerveau. L’ensemble des
tests réalisés permet de valider le programme dans une large mesure. La méthode intègre, en
effet, tous types d’images et donne de très bons résultats pour des inclinaisons du cerveau
π
comprises entre 0 et
, ce qui est largement suffisant en pratique étant donné les modes
20
d’acquisition.
Les difficultés rencontrées ont principalement été d’ordre technique, et ont été résolues
par des méthodes d’analyse numérique, comme pour le calcul des valeurs et vecteurs propres.
Ce projet nous a permis de concrétiser nos connaissances, majoritairement théoriques, dans
le domaine de l’imagerie. Il nous a également été bénéfique grâce à l’utilisation de logiciels
adaptés au traitement et à la visualisation des images médicales.
Des améliorations peuvent être apportées afin de diminuer le temps d’exécution, notamment pour les images de grande taille, par une approche multi-échelle pour l’appariement de
blocs. Ce projet pourra être intégré dans les bibliothèques de traitement des images médicales
de la société Segami Corporation.
24
Références bibliographiques
[1] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T.
Numerical Recipes in C : The Art of Scientific Computing.
Press, 1988. http ://www.nr.com.
and Flannery B.P.
Cambridge University
[2] Prima S., Ourselin S., and Ayache N. Computation of the mid-sagittal plane in 3d
medical images of the head. Technical Report 3841, inria, December 1999.
Annexes
Validation sur des données de synthèse
A
Validation sur des données de synthèse
Les figures 13, 14 et 15 représentent le plan obtenu lorsqu’un ellipsoïde est placé à l’intérieur du premier pour créer une asymétrie. Les diverses images sont obtenues pour des
niveaux de gris différents.
Fig. 13 – Variation du plan en fonction de l’intensité dans un ellipsoïde droit
I
Validation sur des données de synthèse
Fig. 14 – Variation du plan en fonction de l’intensité dans un ellipsoïde incliné de
π
20
Contrairement aux figures 13 et 14, une asymétrie plus importante est introduite dans
les images de la figure 15.
II
Validation sur des données de synthèse
Fig. 15 – Variation du plan pour une forte asymétrie dans un ellipsoïde incliné de
III
π
20
Exemples de résultats sur des données réelles
B
Exemples de résultats sur des données réelles
Fig. 16 – Image 1283
Fig. 17 – Image 1283
IV
Exemples de résultats sur des données réelles
Pour mieux visualiser l’image de la figure 18, nous avons effectué un zoom.
Fig. 18 – Image 643
Fig. 19 – Image 1283
V
Exemples de résultats sur des données réelles
Fig. 20 – Image 2563
VI