BTS Cours - Fonctions F1
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Cours FONCTIONS USUELLES Fonctions affines, polynômes F1 I – FONCTIONS AFFINES – Fonctions affines par morceaux 1°) Fonction affine Déf a et b sont deux réels donnés. La fonction f définie sur R par f (x) = ax + b est appelée …………………………………… La représentation graphique d’une telle fonction est ………………………………………… • Le réel a est ………………………………………………………………………………… • Le réel b est ………………………………………………………………………………… Cas particuliers : Si b = 0, la fonction est dite ……………… Si a = 0, la fonction est dite ………………… Droite passant par l’origine Droite parallèle a l’axe des abscisses Proportionnalité des accroissements : Une fonction f est une fonction affine si et seulement si pour tous réels distincts x1 et x2 , on a : f ( x 2 ) − f ( x1 ) =a x 2 − x1 Ce qui revient à dire que l'accroissement ∆y de l'image est proportionnel à l'accroissement ∆x de la variable et que le coefficient de proportionnalité est a. Dérivabilité : Une fonction affine est dérivable sur R et f ’(x) = ……………… Cours BTS - F1 - Page 1 sur 10 Sens de variation d’une fonction affine : Soit f une fonction affine définie par f ( x ) = a x + b Si a < 0 alors f est décroissante Si a > 0 alors f est croissante Si a = 0 alors f est constante Exemple : Représenter la fonction f définie par f (x) = − 3 x + 2 Signe d’une fonction affine : Cas où a > 0 : Cas où a < 0 : − −∞ x Signe de a x+b − b a 0 +∞ + x Signe de a x+b −∞ − + b a 0 +∞ − Exemple : Déterminer le signe des fonctions f et g définies par f (x) = − 3 x + 2 et g(x) = 2 x − 5. Cours BTS - F1 - Page 2 sur 10 2°) Fonction en escalier Déf Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles Exemple : Représenter la fonction f définie f ( x) = 1 si − 3 ≤ x < −1 f ( x) = −1 si − 1 < x < 2 par f (2) = 1 f ( x) = 2 si 2 < x ≤ 3 3°) Fonction affine par morceaux Déf Une fonction affine par morceaux est telle que, sur chaque intervalle, f (x) est de la forme f (x) = a x + b Exemple 1 : Représenter la fonction f définie par : f ( x) = − x + 1 sur [−2;0[ f ( x) = 2 x + 1 sur [0;1[ f ( x) = 1 sur [1; 2] Exemple 2 : Impôt sur le revenu Cours BTS - F1 - Page 3 sur 10 3°) Des fonctions puissances … Déf f ( x ) = xα Exemples Exemples : Ex 1 : f ( x ) = x 2 fonction carré Ex 3 : f ( x ) = x 3 fonction cube Ex 2 : f ( x ) = x −1 = 1 2 Ex 4 : f ( x ) = x = 1 x fonction inverse x fonction racine carrée Cours BTS - F1 - Page 4 sur 10 II – FONCTIONS POLYNOMES DE DEGRE 2 Déf Vocabulaire : a, b et c sont trois réels donnés, avec a non nul. La fonction f définie sur R par f (x) = a x² + b x + c est appelée fonction polynôme du second degré. La représentation graphique d’une telle fonction est : a x² + b x + c est appelé trinôme. …………………………………………… Cas particulier : La fonction carrée f ( x) = x 2 a = ………… b = ………… c = ………… Exemples Exemples : - La fonction f définie par f (x) = − 4 x² − 3 x + 2. ( forme développée ) a = ………… b = ………… c = ………… - La fonction g définie par g (x) = ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 3 ). ( forme factorisée ) a = ………… b = ………… c = ………… - La fonction h définie par h (x) = 4 ( x + 1 ) ² − 9. ( forme canonique ) a = ………… b = ………… c = ………… Cours BTS - F1 - Page 5 sur 10 Dérivabilité : Une fonction polynôme du second degré est dérivable sur R et f ’(x) = ……………… Sens de variation Cas où a > 0 : x Cas où a < 0 : −∞ f − b 2a +∞ x −∞ − b 2a +∞ f Exemple : Dresser le tableau de variation de la fonction k définie par k (x) = 2 x² − 12 x + 1. Cours BTS - F1 - Page 6 sur 10 III – EQUATIONS 1°) Equations du 1er degré Déf On appelle équation du premier degré une équation du type : ax+b =0 où a et b sont deux réels donnés, avec a non nul. Exemple : Résoudre les équations : 3x−1=0 −2x+3=4x-5 2°) Equations du 2e degré Déf On appelle équation du second degré une équation du type : a x² + b x + c = 0 où a, b et c sont trois réels donnés, avec a non nul. Résolution de a x² + b x + c = 0 Vocabulaire : Les solutions sont aussi appelées racines du trinôme a x² + b x + c. : On calcule le discriminant ∆ = b² - 4 a c. 1° cas : ∆ > 0 il y a deux solutions x1 = 2° cas : ∆ = 0 il y a une solution x0 = 3° cas : ∆ < 0 il n' y a pas de solution. −b+ ∆ −b − ∆ et x = . 2 2a 2a −b . 2a Cours BTS - F1 - Page 7 sur 10 Exemple 1 : Résoudre les équations : 4 x² + 3 x − 1 = 0 x² − 2 x + 3 = 0 Exemple 2 : Résoudre les équations : − 4 x² − 3 x + 2 = 0 Factorisation de (3x–1)(2x+3)=0 a x² + b x + c 4(x+1)²−9=0 : 1° cas : ∆ > 0 : a x² + b x + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) 2° cas : ∆ = 0 : a x² + b x + c = a ( x − x0 ) ² 3° cas : ∆ > 0 : pas de factorisation dans R. Exemple : Déterminer la factorisation de f (x) = 2 x² + 5 x − 3. Cours BTS - F1 - Page 8 sur 10 Signe de a x² + b x + c : 1° cas : ∆ > 0 - supposons x1 < x2 -∞ x ax²+bx+c x1 signe de a signe de – a signe de a a>0 2° cas : ∆ = 0 a<0 -∞ x +∞ x0 signe de a ax²+bx+c signe de a a>0 3° cas : ∆ < 0 a<0 -∞ x ax²+bx+c +∞ x2 +∞ signe de a a>0 a<0 Exemple : Déterminer le signe de f (x) = 2 x² + 5 x − 3. Cours BTS - F1 - Page 9 sur 10 IV – CALCULATRICE Exemple : Déterminer un tableau de valeurs de f (x) = − 4 x² − 3 x + 2. x f (x) -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 TI 1. On définit la fonction dans le menu f(x) : Y1 = − 4 X² − 3X + 2 2. On définit les valeurs du tableau dans le menu déf table : DébTable = − 2 (puisque le tableau débute à la valeur − 2) PasTable = 0. 5 (puisque dans le tableau on augmente « de 0.5 en 0.5 ») 3. On va consulter le tableau de valeurs dans le menu table. CASIO 1. On définit la fonction dans le menu Table : Y1 = -4 X² - 3X + 2 2. On définit les valeurs du tableau en utilisant SET ( touche F5 ) : Start : − 2 (puisque le tableau débute à la valeur − 2) End : 1 Step : 0. 5 3. TABL ( touche F5 ) TI PROGRAM : DEGRE2 Prompt A, B, C EffEcr B − 4A*C D Disp "DELTA",D If D>0 Then Disp "2 SOLUTIONS:" (-B − (D))/(2A) U (-B + (D))/(2A) V Disp U Frac Disp V Frac Else If D=0 Then Disp "1 SOLUTION:" Disp -B/(2A) Frac Else Disp "PAS DE SOLUTION" End Tests : x² + x − 2 = 0 2 x² − 4 x +2 = 0 3 x² + x + 2 = 0 Casio PROGRAM : DEGRE2 “A” ? → A “B” ? → B “C” ? → C “DELTA =” B²-4AC → D D If D<0 Then “PAS DE SOLUTION” Else If D=0 Then “1 SOLUTION” “X0=”: -B ÷ (2A) Else “2 SOLUTIONS” “X1=” : (-B- D ) ÷ (2A) “X2=” : (-B+ D ) ÷ (2A) on trouve 2 solutions : 1 et -2 on trouve 1 solution : 1 pas de solution. Cours BTS - F1 - Page 10 sur 10