SYSTEMES LINEAIRES DU SECOND ORDRE

SYSTEMES LINEAIRES DU SECOND ORDRE
1. DEFINITION
e(t)
SYSTEME
s(t)
Un système est dit linéaire invariant du second ordre si la réponse s(t) est liée à l’excitation e(t) par
une équation différentielle linéaire à coefficients constants du second ordre :
1 d 2 s 2m ds
+
+ s( t ) = A 0 . e( t)
ω 20 dt 2 ω 0 dt
ω0 : pulsation propre du système
m : coefficient d’amortissement
2. REPONSE INDICIELLE
Pour t < 0, e(t) = 0
Pour t ≥ 0, e(t) = E
L’équation différentielle ci-dessus admet pour solution s(t) la somme de deux termes s1(t) et s2(t) qui
sont respectivement la solution générale de l’équation sans second membre et une solution
particulière avec second membre :
2.1 Solution générale de l’équation sans second membre
Equation caractéristique
r 2 + 2mω0 r + ω20 = 0
∆' = (m 2 − 1). ω20
• m > 1 : 2 racines réelles :
r1 = ω0 .(−m − m 2 − 1)
r2 = ω0 .(−m + m 2 − 1)
le régime est apériodique :
s 1 ( t) = A 1. e r1t + A 2 . e r2 t
• m = 1 : 1 racine double :
r0 = −ω0
le régime est critique :
s 1 ( t) = ( A + B. t). e r0 t
• m < 1 : 2 racines complexes conjuguées :
r1 = ω0 .(−m − j 1 − m 2 )
r2 = ω0 .(−m + j 1 − m 2 )
le régime est oscillatoire amorti :
s 1 ( t) = A 3 . e −mω0 t .cos(ωt + ϕ)
ω : pseudo pulsation
ω = ω0 . 1 − m 2
Ces solutions correspondent au régime transitoire.
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
1
2.2 Solution particulière avec second membre
La solution est évidente :
s 2 ( t) = A 0 . E
Elle correspond au régime permanent.
2.3 Solution globale
s( t) = s 1 ( t) + s 2 ( t)
Les différentes constantes sont déterminées à partir de la connaissance des valeurs de s(t) et de sa
dérivée à l’instant t = 0 .
Dans le cas où ces valeurs sont nulles :
• si m > 1 :
A 1 = + A 0E
A 2 = − A 0E
m − m2 − 1
2 m2 − 1
m + m2 − 1
• si m = 1 :
2 m2 − 1
A = − A 0E
B = − A 0 Eω 0
• si m < 1
tan ϕ =
−m
1− m2
− A 0E
− A 0E
A3 =
=
cos ϕ
1− m2
2.4 Représentation
Avec les conditions initiales ci-dessus, on obtient :
Réponse indicielle
s(t)
10
m=1
9
8
7
6
m=2
5
m=3
4
3
2
1
0
/τ
t/τ
0
2
4
6
8
10
Pour m ≥ 1, on remarque que les temps de montée et de réponse augmentent avec m.
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
2
Réponse indicielle pour m < 1
s(t)
18
16
m = 0,1
14
m = 0,3
12
m = 0,5
10
8
m = 0,7
6
4
2
t/ττ
0
0
2
4
6
8
10
Pour les valeurs faibles de m (m < 0,7), le temps de réponse augmente lorsque m diminue car
l'amplitude des oscillations augmente et le régime transitoire est de plus en plus long.
2.5 Temps de réponse à 5%
On peut remarquer que le temps de réponse est minimum pour m ≈ 0,7 , car c'est au delà de cette
valeur que le premier dépassement est inférieur à 5%.
Temps de réponse réduit fonction de m
ω o.tr 100
10
m
1
0,1
1
10
On peut montrer ou remarquer sur la courbe ci-dessus que :
• si m >> 1 : ω0.tr = 6m
• si m << 1 : ω0.tr = 3/m
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
3
2.6 Dépassement
Lorsque m < 1, s(t) parvient à sa valeur finale après un ou plusieurs dépassements.
La dérivée de s(t) s’annule lorsque s(t) passe par des extremums.
Avec les conditions initiales précédentes on obtient :
tan(ωt+ϕ) = -mω0 /ω = tan(ϕ)
soit
ωt = kπ
ou encore
t = kT/2
s( T / 2) − s(∞) s 1 ( T / 2)
=
=e
Le premier dépassement aura donc pour valeur : D1 =
s(∞)
A 0E
− mπ
1− m 2
Premier dépassement fonction de m
D1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
m
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Premier dépassement fonction de m
D1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,01
m
0,1
1
On définit le logarithme du rapport de deux dépassements successifs de même sens :
δ = Ln
s 1 (kT / 2)
2mπ
=
s 1 (kT / 2 + T )
1− m2
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
δ est appelé décrément logarithmique
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
4
3. REPONSE HARMONIQUE
3.1 Fonction de transfert
L’excitation e(t) est alors sinusoïdale : e(t) = E.sin(ωt)
En passant à la notation complexe et en supposant A0 positif, on obtient :
T=
A0
S
=
E 1 − ω2 / ω20 + 2 jmω / ω 0
qui a pour module :
T =
A0
(1 − ω2 / ω20 ) 2 + (2mω / ω 0 ) 2
et pour argument :
ϕ = -arctan(
2mω / ω 0
)
1 − ω2 / ω20
3.2 Diagrammes de Bode et de Nyquist
On doit considérer trois cas : m > 1, m = 1 et m < 1.
3.2.1 m > 1
On peut mettre T sous la forme :
T=
A0
(1 + jω / ω1 ).(1 + jω / ω2 )
avec : ω1 = ω0 (m − m 2 − 1)
ω2 = ω0 (m + m 2 − 1)
Puisque ω0 = ω1.ω2, la pulsation ω0 se trouve au milieu des deux autres sur une échelle logarithmique
2
car : log(ω0 ) = log(ω1.ω2) donc :
2
log ω 1 + log ω 2
1
log ω 0 = log ω 1 + log ω 2 ⇒ log ω 0 =
2
2
On obtient les diagrammes de Bode et de Nyquist ci-dessous :
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
5
G
20log(Ao)
-20 dB/déc
-40 dB/déc
ω1
ϕ
ωo
ω1
log(ω)
ω2
ω2
log(ω)
-90°
-180°
Diagrammes de Bode
m=2
-0,2
Im 0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Re
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
Diagramme de Nyquist pour m = 2
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
6
3.2.2 m = 1
Il n’existe alors qu’une pulsation ω0 qui est également la pulsation de coupure à - 6dB.
En effet dans ce cas :
T=
A0

ω
1 + j 
ω0 

2
et
T(ω) =
A0
ω2
1+ 2
ω0
donc :
T(ω0 ) =
A0
2
et G = 20log
A0
= 20 log A 0 − 6dB
2
G
20log(Ao)
20log(Ao)-6dB
-40 dB/déc
log(ω)
ωo
ϕ
ωo
log(ω)
-90°
-180°
Diagrammes de Bode
3.2.3 m < 1
Les racines sont complexes :
ω1 = ω 0 ( m − j 1 − m 2 )
ω 2 = ω 0 (m + j 1 − m 2 )
Montrons que la réponse présente une surtension :
la dérivée par rapport à la pulsation du module de T s’annule pour :
ω = ωR = ω 0 1 − 2m 2
la résonance n’existe donc que si m < 1/
2
ωR est la pulsation de résonance. A cette pulsation, le module de T est maximum et vaut :
A0
T(ωR ) = TMax =
2m 1 − m 2
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
7
Le facteur de surtension est défini par :
Q=
T ( ωR )
T( 0 )
=
1
2m 1 − m 2
m = 1 / 2 , la courbe est dite maximalement plate et la pulsation de coupure à - 3dB est égale à
la pulsation propre ω0 du système.
Si
Q
Facteur de surtension fonction de m
12
10
8
6
4
2
m
0
0
Q
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Facteur de surtension fonction de m
100
10
m
1
0,01
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
0,1
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
1
8
Dans le cas général, la fréquence de coupure à - 3dB dépend de la pulsation propre et du coefficient
d'amortissement du système.
A0
T =
(1 − ω 2 / ω 20 ) 2 + (2mω / ω 0 ) 2
En posant x
A0
2
= ω/ω0 , on résout :
(1 − x ) + ( 2. m. x)
x + 2. ( 2. m − 1). x
2 2
2
4
2
Posons X
=
2
=2
− 1= 0
équation bicarrée
2
=x :
(
)
X 2 + 2. 2. m 2 − 1 . X − 1 = 0
Calculons le discriminant réduit :
(
)
2
∆' = 2. m 2 − 1 + 1
(
) ( 2. m
X = − 2. m 2 − 1 ±
2
)
2
−1 +1
Une seule solution est positive, c'est celle-ci que nous retiendrons, donc :
ωc = ω0
(2.m
2
)
2
(
)
− 1 + 1 − 2. m 2 − 1
Diagramme de Nyquist pour m = 0,1 0,7 et 2
Im
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
Re
-1
-2
-3
-4
-5
-6
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
9
G(dB)
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
0,01
0,1
1
10
100
f/f0
Les courbes de gain et d’argument sont tracées pour :
m = 0,1 m = 0,3 m = 0,5 m = 0,7 m = 1 m = 2
Lorsque m diminue, la surtension augmente et la variation de phase est plus rapide au
voisinage de ω = ω0.
ϕ(degrés)
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
0,01
0,1
1
10
100
f/f0
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
S
S
m
Syyyssstttèèèm
meee ddduuu ssseeecccooonnnddd ooorrrdddrrreee
10