De la photographie numérique

De la photographie numérique
à la photographie computationnelle
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Quantification et échantillonnage
Signal physique (onde lumineuse, onde sonore) :
variation d’une grandeur physique (éclairement, pression) en
temps et/ou espace
F. Sur - ENSMN
Quantification
Séance 4
Quantification
et échantillonnage
Théorie de
l’échantillonnage
Contraintes de la représentation informatique :
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
le temps d’un processeur est discret ;
les mesures doivent être représentées par un nombre fini
de bits.
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Signal discret : une suite de 0-1.
Conclusion
F. Sur - ENSMN
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Conclusion
Frédéric Sur
Conversion Analogique → Numérique =
échantillonnage + quantification
École des Mines de Nancy
Loria
Problème inverse : conversion N/A (DAC)
Question : perte d’information ?
www.loria.fr/~sur/enseignement/photo/
1/26
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Exemple d’échantillonnage
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numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Exemple de quantification
F. Sur - ENSMN
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
F. Sur - ENSMN
Quantification
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Son numérique
Image numérique
Conclusion
Conclusion
Source : en.wikipedia.org
→ exemple de quantification sur 2 bits.
Remarque : la fréquence d’échantillonnage doit être adaptée
au signal à numériser. . .
Son qualité CD : 16 bits
Niveaux de gris dans une image : 8 bits
(mais “thirty shades of gray”. . .)
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De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
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De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Séance 4
q6
F. Sur - ENSMN
q8
F. Sur - ENSMN
1
q7
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
La quantification
Quantification
q5
Quantification
Quantification
q4
2
Théorie de l’échantillonnage
Spectre d’un signal échantillonné
Théorème d’échantillonnage de Shannon
Cas d’un nombre fini d’échantillons
Théorie de
l’échantillonnage
q2
q1
quantification uniforme
Conséquences
pratiques
3
Son numérique
Image numérique
q4
Conclusion
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
q8
q7
q6
q5
Son numérique
Image numérique
Conséquences pratiques
Son numérique
Image numérique
Théorie de
l’échantillonnage
q3
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conclusion
q3
q2
4
q1
Conclusion
quantification adaptée
6/26
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De la photographie
numérique à la
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computationnelle
Séance 4
Bruit de quantification
Bruit de quantification : e = différence entre signal source
et signal quantifié.
Modélisation dans le cas de la quantification uniforme :
erreur de quantification uniformément distribuée sur
[−δq /2, δq /2]
Z
δq3
Var(e) =
x dx =
12
−δq /2
δq /2
2
Séance 4
F. Sur - ENSMN
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numérique à la
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computationnelle
Séance 4
F. Sur - ENSMN
1
Quantification
Quantification
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
2
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Théorie de l’échantillonnage
Spectre d’un signal échantillonné
Théorème d’échantillonnage de Shannon
Cas d’un nombre fini d’échantillons
Conséquences
pratiques
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
3
Conclusion
Remarque : dans le cas où on connaı̂t la distribution de
probabilité du signal source, le quantifieur (adaptatif)
optimal est donné par l’algorithme de Lloyd-Max.
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→ Intervalles de quantification et niveaux de reconstruction.
4
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Conséquences pratiques
Son numérique
Image numérique
Conclusion
Son numérique
Image numérique
Conclusion
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numérique à la
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Séance 4
Échantillonnage
Bon cadre : espace des distributions tempérées S 0 .
F. Sur - ENSMN
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Échantillonnage de f (distrib. tempérée “assez régulière”)
toutes X
les a “secondes” représenté par la distribution :
e
fa = a
f (na)δna (= f · a∆a )
n∈Z
car a
X
n∈Z
f (na)δna → f (au sens des distributions) si a → 0
Question : Lien entre F(f ) et F(fea ) = a
X
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Conclusion
Signaux à bande limitée et formule de Poisson
f (na)e −2iπnay ?
F. Sur - ENSMN
Définition - Signal à bande limitée
Soit f ∈ S 0 t.q. F(f ) est à support compact ⊂ [−λc , λc ].
(f n’a pas de fréquence supérieure à une fréquence limite λc )
On dit que f est à bande limitée.
Proposition - Formule sommatoire de Poisson
Soit f ∈ S 0 à bande limitée.
X
X
n
F(fea )(y ) = a
f (na)e −2iπnay =
F(f ) y −
a
n∈Z
De la photographie
numérique à la
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computationnelle
Séance 4
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Conclusion
n∈Z
n∈Z
(et la TFD si nombre fini d’échantillons ?)
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Conséquence de la formule de Poisson
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numérique à la
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Séance 4
Illustration
F. Sur - ENSMN
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numérique à la
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computationnelle
Séance 4
F. Sur - ENSMN
Soit f signal à bande limitée, échantillonné au pas de a.
Quantification
Quantification
Formule de Poisson :
Théorie de
l’échantillonnage
Théorie de
l’échantillonnage
F(fea )(y ) =
X
n∈Z
n
F(f ) y −
a
Conséquences :
→ Spectre de fea périodique de période 1/a.
→ Spectre obtenu en faisant la somme des translatés
de F(f ) au pas n/a.
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Son numérique
Image numérique
Conclusion
Conclusion
Source : C. Gasquet & P. Witomski, Analyse de Fourier et applications, Masson 1990.
Définition - Fréquence de Nyquist
2λc est la fréquence de Nyquist.
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Vers le théorème de Shannon
Soit f un signal à bande limitée t.q. 1/a > 2λc .
De la photographie
numérique à la
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computationnelle
Séance 4
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Théorème de Shannon
F. Sur - ENSMN
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Formule de Poisson :
X
X
n
F(fea )(λ) = a
f (na)e −2iπnaλ =
F(f ) λ −
a
n∈Z
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
F. Sur - ENSMN
Théorème d’échantillonnage de Shannon (-Nyquist)
f ∈ L2 (R), supp(F(f )) ⊂ [−λc , λc ], et
Alors
f (x) =
X
f (na) sinc
n∈Z
(dans L2 )
Conséquences
pratiques
Conclusion
0.8
0.6
0.4
Rappel : sinc(x) =
(sinus cardinal)
sin(πx)
πx
0.2
0
-0.2
-0.4
-10
13/26
-5
0
5
10
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De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
F. Sur - ENSMN
Question : que se passe-t-il si le signal contient des
fréquences supérieures à 1/2a ?
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
1
n∈Z
Problème pratique : pas réalisable
(décroissance lente du sinus cardinal).
x − na
a
Théorie de
l’échantillonnage
Conclusion
Soit χa l’indicatrice du segment [−1/2a, 1/2a] :
X
F(f )(λ) = a
f (na)χa (λ)e −2iπnaλ .
Interprétation :
si on échantillonne un signal (à bande limitée) à une
fréquence supérieure au double de sa plus grande fréquence,
alors on peut le reconstruire de manière exacte !
> 2λc
Son numérique
Image numérique
n∈Z
Considérations pratiques
1
a
Quantification
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Recouvrement de spectre ou aliasing
Remarque : reconstruction ⇔ multiplication par χa dans le
domaine de Fourier
Si
1
a
< 2λc . . .
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Son numérique
Image numérique
→ Phénomène de recouvrement / repliement de spectre
dans les hautes fréquences, ou aliasing (alias = à un autre
endroit), ou aliasage.
→ Reconstruction très perturbée (exemples en TP).
Solution technologique : filtrage du signal analogique
avant échantillonnage pour éliminer les fréquences > 1/2a.
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F. Sur - ENSMN
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Conclusion
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
16/26
Conclusion
Retour sur la Transformée de Fourier Discrète
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numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Aliasing discret
1
a
F. Sur - ENSMN
Nombre fini d’échantillons, xn = f (na) (∼ f périodique),
(Xn ) TFD de (xn )
(a= intervalle d’échantillonnage ; période de f : Na).
On calcule :
X
1 X
F fea = a
f (na)e −2iπnaλ =
Xk δk/(Na)
N
n∈Z
> 2λc
Quantification
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
a
− 1a
< 2λc
Conclusion
− 1a
− 21a
1
2a
1
a
18/26
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Quantification
Quantification
Théorie de l’échantillonnage
Spectre d’un signal échantillonné
Théorème d’échantillonnage de Shannon
Cas d’un nombre fini d’échantillons
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Numérisation Compact Disc
Oreille humaine sensible aux fréquences < 20000 Hz
Donc, pour la numérisation du son :
1 filtrage passe-bas, coupure à 20000 Hz.
2 numérisation par échantillonnage à 2 × 20000 Hz
−→ 44.1 kHz
Pourquoi 44.1 kHz ? (et pas 40 kHz ?)
source : en.wikipedia.org/wiki/Compact_disc
Conséquences
pratiques
19/26
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Son numérique
Image numérique
Conclusion
F. Sur - ENSMN
4
1
a
k∈Z
Séance 4
3
1
2a
Conséquences
pratiques
1
a
Son numérique
Image numérique
17/26
2
− 21a
Conséquences
pratiques
a
1
F. Sur - ENSMN
Conséquences pratiques
Son numérique
Image numérique
1
Son numérique
Image numérique
Conclusion
Conclusion
2
20/26
conversion numérique → analogique par fonction à
décroissance plus rapide que le sinus cardinal, d’où des
fonctions de coupure moins raides que le créneau.
(d’autant moins que CNA/DAC bon marché)
Donc fréq. échantillonnage > 40 kHz.
initialement, enregistrement sur cassette vidéo.
6 échantillons par ligne x 294 lignes (PAL) x 50
demi-images/sec → 88 200 éch. par seconde (stéréo)
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
F. Sur - ENSMN
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Conclusion
Photographie numérique
Capteur appareil photo numérique :
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Exemple d’aliasing (réel) (1)
F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Quantification
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Échantillonnage, donc aliasing sur les zones de l’image
présentant des détails de haute fréquence.
→ nécessité de placer un filtre passe-bas devant le capteur
(ou une optique peu “piquée”)
→ . . .ou “course aux mégapixels” : capteur de résolution
supérieure à la meilleure optique (limitée de toute façon par
la diffraction).
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Son numérique
Image numérique
Conclusion
Conclusion
Canon EOS 1Ds
Compromis filtre passe-bas / aliasing.
21/26
Exemple d’aliasing (réel) (2)
22/26
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Exemple d’aliasing (réel) (3)
F. Sur - ENSMN
Quantification
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Son numérique
Image numérique
Conclusion
http://dpanswers.com/content/tech defects.php
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De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
F. Sur - ENSMN
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Canon EOS 5D
cf Moiré
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Conclusion
Sigma SD10 (capteur Foveon)
http://dpanswers.com/content/tech defects.php
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Séance 4
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Conclusion
F. Sur - ENSMN
1
Théorie de l’échantillonnage
Spectre d’un signal échantillonné
Théorème d’échantillonnage de Shannon
Cas d’un nombre fini d’échantillons
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
3
4
25/26
F. Sur - ENSMN
Quantification
Quantification
2
De la photographie
numérique à la
photographie
computationnelle
Séance 4
Conséquences pratiques
Son numérique
Image numérique
Son numérique
Image numérique
Conclusion
Propriété fondamentale
du traitement des signaux numériques :
→ un signal à bande limitée peut être représenté par un
signal discret sans perte d’information s’il est
échantillonné à une fréquence supérieure au double de sa
plus haute fréquence.
→ sinon apparition de perturbations dues à l’aliasing /
repliement de spectre.
Conclusion
26/26
Quantification
Théorie de
l’échantillonnage
Spectre d’un signal
échantillonné
Théorème
d’échantillonnage de
Shannon
Cas d’un nombre fini
d’échantillons
Conséquences
pratiques
Son numérique
Image numérique
Conclusion