DM9 - Pagesperso

Seconde 1
Devoir maison n°9
A remettre le : jeudi 12/05/2011
Résolution de problèmes
« Problem-Solving » in english
L'énoncé du devoir se base sur deux exercices posés à la finale du rallye de mathématiques AntillesGuyane 2011. Les exercices sont d'abord présentés à partir de leur texte d'origine. Vous pouvez les
chercher un temps raisonnable. À noter qu'il y avait 6 exercices à traiter en 1 heure.
Le devoir propose une méthode résolution.
Exercice 2 « l'hexagone : le retour »
Quelle fraction de l'hexagone régulier représente le triangle grisé ?
Réponse :
Exercice 5 « l'octogone »
Dans le carré ci-contre de côté de 12 cm, on a tracé comme
l'indique le dessin, les segments joignant les sommets au milieu des
côtés.
Quelle est la valeur exacte de l'aire de l'octogone ainsi construit?
Réponse :
cm2
Les règles de la méthode sont ainsi présentées par Descartes (1596-1650) dans le Discours de la Méthode (1637) :
L'évidence « Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle ;
c'est-à-dire, d'éviter soigneusement la précipitation et la prévention, et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que
ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute. »
l'analyse : « Le second, de diviser chacune des difficultés que j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se pourrait, et qu'il
serait requis pour les mieux résoudre. »
la synthèse et le raisonnement : « Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus
simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusques à la connaissance des plus
composés, et supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres. »
le dénombrement : « Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse
assuré de ne rien omettre. »
D'après Wikipédia
En résumé, pour résoudre un problème, on le décompose en plusieurs problèmes plus simples....
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….commençons donc par le plus.....difficile!
Exercice 5 : « L'octogone »
On peut commencer par s'approprier le problème. On peut donner des noms à certains points, ce qui
facilite le raisonnement. On va supposer que le carré a une longueur de 1.
Soient le carré ABCD, et E,F,G et H les milieux respectifs des côtés [AB],[BC],[CD] et [DA].
I,J,K,L et P sont les intersections respectives des droites (HB) et (DE), (AF) et (EC), (BG) et (DF) ,
(HC) et (AG), (HB) et (AF). (Voir la figure 1)
Est-ce que l'on sait calculer l'aire d'un octogone ? Non. Quelles sont les aires que l'on sait calculer ?
Celles des triangles, et de certains quadrilatères : les carrés, les rectangles, les trapèzes...
L'idée est donc de ramener le calcul de cette aire à un calcul d'aires que l'on sait calculer. L'aire de
l'octogone est la somme des aires du carré IJKL et des triangles IPJ, JQK, KRL et LSI. Tous ces
triangles ont des aires égales. On doit donc trouver l'aire du carré IJKL et celle du triangle IPJ.
I-Méthode géométrique.
Partie A
1) a) Que représente le point I pour le triangle ABD?
1
En déduire que OI= OA
3
b) Que représente le point J pour le triangle ABC?
1
En déduire que OJ= OB
3
1
1
c) Déduire de a) et b) que IJ ∥AB et IJ = AB et donc que IJ =
3
3
2) Expliquer comment on démontrerait de même que :
1
1
1
JK ∥ BC et JK= , KL ∥CD et KL= et LI∥DA  et LI=
3
3
3
3) Quelle est la nature du quadrilatère IJKL? En déduire son aire.
Partie B
1) En considérant le rectangle ABFH montrer que OP=
2
1
2) Démontrer que EM= EO et donc que EM=
3
3
1
3) Déduire de 1) et 2) que MP=
12
1
4) Montrer que l'aire du triangle IJP est :
72
1
5) Montrer que l'aire de l'octogone est
6
6) Quelle était la bonne réponse à l'exercice du rallye ?
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1
.
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II-Méthode analytique.
On considère le repère orthonormé (A,B,D) (figure 1)
1) Dans ce repère, quelles sont les coordonnées des points A,B,C,D,E,F,G et H ?
(on ne demande pas de justification)
2) Quelle sont les équations des droites (HB) et (DE)?
En déduire les coordonnées du point I.
3) Quelle sont les équations des droites (AF) et (EC)?
En déduire les coordonnées du point J, et la distance IJ.
4) De même trouver les coordonnées du point P, et calculer la distance MP.
5) Quelle est l'aire du carré IJKL ? Et celle du triangle IJP ?
6) En déduire l'aire de l'octogone.
7) Quelle était la bonne réponse à l'exercice du rallye ?
III-Une formule générale
Dans cette partie, on cherche à calculer l'aire de l'octogone régulier inscriptible dans un cercle
(ce qui n'est pas le cas de l'octogone du problème du rallye)
1) Montrer que l'aire du triangle ABC (figure 2) est donnée par l'expression :
S=

AB×AC×sin A
 BAC

avec A=
2
2) Soit ABCDEFGH un octogone régulier de côté a , inscrit dans un cercle de centre O
 ?
et de rayon R (figure 3).Quelle est la valeur de l'angle AOB
2 R2
3) Montrer que l'aire S du triangle AOB est S=
4
a
4) Montrer que R=
π
2 sin  
8
 B=cos




 .
5) On rappelle la formule : cos  A
 A×cos
 B−sin
 A×sin
B
2


En déduire que : cos 2 A=1−2
sin A
π 2 2−  2
6) Montrer que : sin  =
8
4
7) En déduire que : S=
 2× 2 2×a 2
8
8) Montrer que l'aire A de l'octogone régulier de côté a est A=2×1 2×a 2
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Figure 1
Figure 2
Figure 3
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Exercice 2
On considère le repère orthonormé (O,A,J)
ABCDEF est un hexagone régulier de côté 1. M et N sont les milieux respectifs de [BC] et [EF]
1) En s'inspirant des méthodes de l'exercice 2, montrer que l'aire de l'hexagone est
2) Dans le repère (O,A,J) quelles sont les coordonnées des points E,F,M et N?
4) En déduire l'aire du triangle EMF.
5) Quelle était la bonne réponse à l'exercice 2 du rallye ?
6) Peut-on retrouver ce résultat plus simplement ?
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3 3
2
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À vous de jouer.....(facultatif)
« Encore, l'hexagone !»
Quelle fraction de l'hexagone régulier représente l'hexagone grisé ?
Réponse :
Question 23, concours Kangourou 2011.
On range du plus petit au plus grand tous les nombres entiers dont la somme des chiffres est un multiple
de 5. Ainsi le début de la liste est : 5, 14, 19, 23, 28,.....
Quel est le plus petit écart possible entre deux nombres de cette liste ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Le rapt de Jasmine
Le terrible Jafar a enlevé la princesse Jasmine et la retient prisonnière dans l'une des trois cellules de
son palais. Aladin, accouru pour libérer Jasmine se trouve devant les trois portes des cellules, portant
chacune une indication dont une seule est vraie.,
Cellule 1 : Jasmine est dans cette cellule
Cellule 2 : Jasmine n'est pas dans cette cellule
Cellule 3 : Jasmine n'est pas dans la cellule 1
Aladin sait qu'il ne pourra ouvrir qu'une seule cellule avant que les gardes n'arrivent.
Quelle porte Aladin va-t-il ouvrir pour trouver Jasmine ?
Réponse :
D'après rallye mathématiques transalpin
Les chances d'Ali Baba
Le sultan dit à Ali Baba : « Voici deux urnes, treize boules blanches et treize boules noires. Répartis toimême les boules dans les urnes. Je rendrai ensuite celles-ci indiscernables, et tu tireras une seule boule
d'une seule des urnes. Si la boule est blanche, tu seras libéré, sinon tu seras exécuté! »
Ali Baba répartit les boules de façon à maximiser ses chances de survie.
Quel pourcentage de chance a-t-il d'avoir la vie sauve ?
121 rapidos et autre énigmes mathématiques, édition Pole.
Fin du sujet
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