DM6

DM6 – 1ES/L
NOM
PRENOM
CLASSE
Une enquête est réalisée auprès de touristes s'étant rendus à Londres, et l’on découvre que :
- 30% de ces touristes ont utilisé l'avion,
- 50% ont utilisé le train,
- les autres touristes ont pris le bateau.
De plus,
- Parmi ceux ayant utilisé l'avion, 20% sont restés en Angleterre plus d'une semaine.
- Parmi ceux qui ont choisi le train, 60% sont restés en Angleterre plus d'une semaine
- Parmi ceux qui ont utilisé le bateau 20% sont restés en Angleterre plus d'une semaine.
On note :
- A l'événement « Le touriste interrogé à voyagé en avion »
- T l'événement « Le touriste interrogé à voyagé en train »
- B l'événement « Le touriste interrogé à voyagé en bateau »
- S l'événement « Le touriste interrogé est resté en Angleterre plus d'une semaine »

On interroge au hasard un touriste (chaque touriste ayant la même probabilité d'être choisi).
1. Déterminer la probabilité que ce touriste ait voyagé en bateau.
2. Exprimer à l'aide d'une phrase l'événement A ∩ S.
3. Déterminer les probabilités P (A ∩ S) et P (T ∩ S).
4. Montrer que P (S) = 0,40.

On interroge au hasard 3 touristes. (On suppose que le nombre de personnes ayant répondu à
l'enquête est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation à un tirage avec remise).
5. Déterminer la probabilité que parmi ces trois touristes se trouve un seul touriste étant resté en
Angleterre plus d'une semaine.
6. Déterminer la probabilité que parmi ces trois touristes, au moins l'un d'entre eux soit resté en
Angleterre plus d'une semaine.
DM6 – 1ES/L
1 S+
1 STOTAL
Avion Train Bateau TOTAL
6% * 30%
4%
40%
24% 20%
16%
60%
30% 50%
20%
100%
A « avion » :
T « train » :
B « bateau » :
S « plus d'une semaine » :
𝑃(𝐴) = 0,3
𝑃(𝑇) = 0,5
𝑃(𝐵) = 0,2
𝑃(𝑆) = 0,4
* 6% = 30% x 20%
Simple lecture du
tableau
1. Probabilité que ce touriste ait voyagé en bateau : 𝑃(𝐵) = 0,2
2. 𝐴 ∩ 𝑆 : ce sont les touristes qui ont pris l’avion et sont restés plus d’une semaine.
3. 𝑃(𝐴 ∩ 𝑆) = 0,06 (par lecture du tableau). Sachant que 20% de ceux qui ont pris l’avion sont restés
plus d’une semaine, on peut aussi calculer 𝑃(𝐴) × 20% = 0,3 × 0,2 = 0,06
𝑃(𝑇 ∩ 𝑆) = 0,3 (par lecture du tableau). Sachant que 60% de ceux qui ont pris le train sont restés
plus d’une semaine, on peut aussi calculer 𝑃(𝑇) × 60% = 0,5 × 0,6 = 0,3
4. 𝑃(𝑆) = 0,40 : le touriste est venu en train, en bateau ou en avion : Ces 3 possibilités sont disjointes,
on peut donc additionner les probabilités sans risque.
5. On cherche la probabilité qu’un touriste soit resté plus d'une semaine (événement 𝑆) ET que les deux
autres soit repartis avant (ce qui est précisément l’événement contraire de 𝑆) :
S+
S-
0,4
0,6
S+
S-
S+
S-
S+
S-
S+
S-
S+
SS+
S-
Les 3 chemins possibles sont (S+ S- S-)
ou (S- S+ S-) ou (S- S- S+) : soit le
premier touriste interrogé est resté
plus d’une semaine, soit le deuxième,
soit le dernier.
Chaque chemin à une probabilité de
0,4 × 0,6 × 0,6 = 0,144
3 × 0,144 = 0,432
Autre méthode : Il n’y a que deux issues : plus ou moins d’une semaine. En considérant que le succès
est « touriste resté plus d’une semaine », il s’agit d’une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 3, 𝑝 = 0,4 :
3
1
𝑃(1) = ( ) (0,4)1 (0,6)2 = 3 × 0,4 × 0,6 × 0,6 = 0,432
6. « Au moins un » est le contraire de « aucun » : la probabilité recherchée est donc :
3
0
1 − 𝑃(0) = 1 − ( ) (0,4)0 (0,6)3 = 1 − 1 × 1 × 0,216 = 0,784