Entrainement personnel en probabilités

Entrainement personnel en probabilités
Dans le manuel : 60 page 371 – 70 page 373
Exercice 1
Sur une route départementale, il y a un panneau « stop » à l’intersection avec la route nationale.
On a remarqué que 5 % des automobilistes ne respectent pas ce stop.
Un test précis est fait le 20 décembre, où 30 voitures se sont présentées à cette intersection.
1) Quelle est la probabilité, ce jour-là :
a) qu’aucun automobiliste ne « grille » le stop ?
b) que 28 automobilistes s’arrêtent au stop ?
c)
que moins de 10% des automobilistes ne respectent pas le stop ?
2) En moyenne, on peut s’attendre à ce que combien d’automobilistes grillent le stop ce jour-là ?
Exercice 2
La scène se passe en haut d’une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes
ne peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une à l’Est et l’autre à l’Ouest.
Partie A
Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l’une des
deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu’il choisisse une direction opposée à celle prise la
veille vaut 0,8.
Pour i = 1 ou i = 2, on note
• Ei l’événement « le touriste se dirige vers l’Est le i-ième jour » ;
• Oi l’événement « le touriste se dirige vers l’Ouest le i-ième jour ».
1) Dresser un arbre de probabilité décrivant la situation.
2) Déterminer les probabilités suivantes : P(E1) , P (O2) et P(E1∩E2).
E1
3) Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux jours consécutifs.
Partie B
On suppose maintenant que n touristes (n à 3) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces n touristes veulent
tous se baigner et chacun d’eux choisit au hasard et indépendamment des autres l’une des deux directions.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l’Est.
1) Déterminer la probabilité que k touristes (0  k  n) partent en direction de l’Est.
2) On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu’un touriste est heureux s’il
se retrouve seul sur une plage.
a) Peut-il y avoir deux touristes heureux ?
b) Démontrer que la probabilité (notée p) qu’il y ait un touriste heureux parmi ces n touristes vaut : p =
c)
n
2n −1
.
Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, arrondie au centième, qu’il y ait un
touriste heureux parmi les 10.
Exercice 3
Exercice 4
A partir de 2009, une association d’aide à la recherche médicale envoie chaque année à Monsieur Givusmoney un
courrier pour l’inviter à l’aider financièrement par un don. Monsieur Givusmoney a répondu favorablement en 2009
en envoyant un don. On admet que, chaque année à partir de 2010, la probabilité que Monsieur Givusmoney
fasse un don est égale à 0,9 s’il a fait un don l’année précédente et à 0,4 s’il na rien donné l’année précédente.
On note, pour tout entier naturel n :
• En l’événement : « Monsieur Givusmoney est donateur en 2009 + n » ;
• pn la probabilité de En ;
1) Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités conditionnelles concernant les événements En +1 ,
En et En . On construira un arbre de probabilité sur lequel on reportera ces valeurs.
2) Les premières années
a) Préciser la valeur de p0.
b) Calculer P(E1 V E 0) et P(E 1 V E0 ).
En déduire la valeur de p1.
3) Etude des années successives
a) Exprimer P( E n +1 V E n ) et P(E n +1 V En ) en fonction de pn.
b) En déduire que pn+1 = 0,5pn + 0,4 pour tout entier naturel n.
c)
Résoudre l’équation p = 0,5p + 0,4.
4) On définit une suite (un) en posant pour tout entier naturel n : un = pn − p, où p est la solution de l’équation
résolue à la question 3c.
a) Exprimer un+1 en fonction de pn+1 puis de un.
b) En déduire que la suite (un) est géométrique ; on précisera sa raison et son premier terme.
c)
n
En déduire que pn = 0,2 × 0,5 + 0,8 pour tout entier naturel n.
d) Etudier la convergence de la suite (pn) et interpréter ce résultat.
Entrainement personnel en analyse
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R − {−2 ; 2} par f ( x ) =
3 x 2+2 x −13
x 2−4
, et B la courbe représentative de f.
1) Etudier les limites de f en −o et en + õ.
2) En déduire que B admet une asymptote horizontale D et étudier la position relative de B et de D.
3) Etudier les limites de f en 2 et -2. Que peut-on en déduire graphiquement ?
Exercice 2
1) On considère la fonction g définie sur R par g ( x ) = x 2+cos x .
a) Etablir un encadrement de g ( x ).
b) Déterminer les limites de g en –õ et + õ.
2) On considère la fonction h définie sur ]0 ; + õ[ par h ( x ) =
a) Montrer que pour tout réel x > 0,
1− x
x +1
2
< h( x) <
x cos x +1
.
x 2+1
1+ x
x 2+1
.
b) Déterminer la limite de h en + õ.
3) Calculer les limites suivantes : lim cos
x −>+ õ
πx
 et lim
 6 x −5 
cos x
x −>- õ
x
.
Exercice 3
1) Soit g ( x ) = x 3−3 x −3 définie sur R. Dresser le tableau de variations de g puis montrer que l’équation g ( x ) = 0
admet une unique solution α dont on donnera une valeur approchée à 10-2 près. Dresser alors le tableau de
signes de g.
2) Soit f ( x ) =
2 x 3+3
x 2−1
sur
a) Etudier les limites de ƒ aux bornes de son intervalle de définition.
b) Dresser le tableau de variations de ƒ.
c)
Montrer que ƒ( α ) = 3 α .
d) Etablir l’équation de la tangente à la courbe C de ƒ au point d’abscisse 2.