Couples aléatoires

Licence MATH et MASS 3e année
MATH504 : Probabilités et Statistiques
Couples aléatoires
Au chapitre précédent, nous avons étudié les variables aléatoires réelles c’est à dire les variables aléatoires prenant leurs valeurs dans R. Dans cette partie du cours, on va considérer
le cas de vecteurs aléatoires c’est à dire des variables aléatoires à valeurs dans Rd où d ∈ N∗ .
Pour simplifier l’exposé, nous considérerons seulement le cas de la dimension d = 2. Une
vecteur aléatoire Z de R2 sera décrit dans la suite par son abscisse X et son ordonnée Y
i.e. Z = (X, Y ). On utilise aussi le terme « couple aléatoire » pour un vecteur aléatoire de
dimension 2.
1. Loi d’un couple aléatoire.
On va s’intéresser à la loi PZ d’un couple de v.a.r. Z = (X, Y ). On pourrait penser que
si l’on connaît la loi de chacune des v.a.r. X et Y alors on connaît la loi du couple ; mais la
situation est plus complexe.
1.1. Un exemple.
Considérons un couple aléatoire Z ne prenant que quatre valeurs (0, 0), (0, 1), (1, 0) et
(1, 1). On a, alors,
P(X = 0) = P [Z = (0, 0)] + P [Z = (0, 1)] ,
P(X = 1) = 1 − P(X = 0),
P(Y = 0) = P [Z = (0, 0)] + P [Z = (1, 0)] ,
P(Y = 1) = 1 − P(Y = 0).
Supposons tout d’abord que Z suit la loi uniforme c’est à dire
P [Z = (0, 0)] = P [Z = (0, 1)] = P [Z = (1, 0)] = P [Z = (1, 1)] = 1/4.
On a, dans ce cas
P(X = 0) = P(X = 1) = 1/2,
P(Y = 0) = P(Y = 1) = 1/2.
Si à présent, on suppose que
P [Z = (0, 0)] = 1/8,
P [Z = (0, 1)] = 3/8,
P [Z = (1, 0)] = 3/8,
P [Z = (1, 1)] = 1/8,
on obtient toujours
P(X = 0) = P(X = 1) = 1/2,
P(Y = 0) = P(Y = 1) = 1/2.
Dans les deux cas que l’on vient de considérer, la loi de X et Y est la loi uniforme sur
{0, 1} et pourtant la loi de Z = (X, Y ) n’est pas la même dans le premier et dans le second
cas.
Deux enseignements semblent se dégager de cet exemple : tout d’abord si on connaît la loi
du vecteur Z = (X, Y ), on peut déterminer celle des v.a. X et Y . Par contre la connaissance
de la loi de X et de la loi de Y ne permet pas de déterminer la loi du vecteur Z = (X, Y )
en général.
Ph. Briand
1
Université de Savoie
1.2. Vocabulaire.
Donnons à présent les définitions précises relatives aux couples aléatoires ; ces définitions
généralisent celles concernant les variables aléatoires réelles.
Définition. On appelle couple aléatoire – ou vecteur aléatoire de dimension deux – toute
paire Z = (X, Y ) de variables aléatoires réelles. On a donc :
Z : (Ω, F, P) −→ R2 ,
ω 7−→ Z(ω) = (X(ω), Y (ω)) .
Sur R, nous avons considéré la plus petite tribu engendrée par les intervalles i.e. la tribu
borélienne. Pour travailler dans R2 , on introduit la tribu borélienne de R2 , B(R2 ), qui est
« la plus petite tribu » sur R2 contenant tous les pavés I × J où I et J sont deux intervalles
de R. Cette tribu contient tous les pavés du type A × B où A et B sont deux boréliens de
R mais elle contient également des ensembles beaucoup plus complexes qui ne sont pas des
produits cartésiens.
Si Z est un couple aléatoire, on montre que pour tout borélien C de R2 , l’image réciproque
de C par Z, Z −1 (C) = {ω ∈ Ω, Z(ω) ∈ C}, est un élément de F. Ceci donne un sens à la
définition suivante.
Définition. Soit Z : Ω −→ R2 un couple aléatoire. L’application PZ définie par
PZ : B(R2 ) −→ [0, 1],
C 7−→ PZ (C) = P Z −1 (C)
est une mesure de probabilité appelée loi de Z.
Remarque(s). Si C est un borélien de R2 et Z = (X, Y ) un couple aléatoire, l’ensemble
Z −1 (C), noté {Z ∈ C} par les probabilistes, n’est pas toujours très facile à déterminer.
Néanmoins, si C est le pavé A × B la situation est plus favorable ; en effet, on a dans ce cas
Z −1 (C) = {ω ∈ Ω, (X(ω), Y (ω)) ∈ A × B} = X −1 (A) ∩ Y −1 (B),
soit encore {Z ∈ A × B} = {X ∈ A, Y ∈ B}.
La tribu des boréliens de R2 contient des parties complexes ; toutefois, elle est engendrée
par la classe des produits d’intervalles réels, ce qui conduit au résultat suivant :
Proposition 1. Soit Z = (X, Y ) un couple aléatoire. La loi PZ est caractérisée par
PZ (I × J) = P(X ∈ I, Y ∈ J),
pour tout couple (I, J) d’intervalles réels.
Lois marginales du couple. Si Z = (X, Y ) est un couple aléatoire, les lois marginales de
Z sont les lois des v.a.r. X et Y . Il est important de noter que si on connaît la loi du couple
PZ on connaît les lois marginales. En effet, si A est un intervalle, une réunion d’intervalles
ou un borélien de R,
PX (A) = P(X ∈ A) = P(X ∈ A, Y ∈ R) = PZ (A × R),
de même, pour la v.a.r. Y ,
PY (B) = P(Y ∈ B) = P(X ∈ R, Y ∈ B) = PZ (R × B).
2
2. Le cas discret.
Nous examinons à présent le cas où Z est une couple aléatoire discret : X et Y sont
donc deux v.a.r. discrètes prenant respectivement les valeurs {xi , i ∈ N} et {yn , n ∈ N}.
Remarquons que Z prend les valeurs {(xi , yn ), (i, n) ∈ N2 } et que l’on note, si i et n sont
deux entiers, pi,n = P [Z = (xi , yn )].
On peut faire, dans le cas d’un couple Z, le même raisonnement que dans le cas d’une
variable aléatoire réelle, et montrer que la loi de Z est entièrement déterminée par les valeurs
pi,n pour i et n entiers naturels. En fait, si C est un borélien de R2 , on a :
X
P(Z ∈ C) =
P [Z = (xi , yn )] 1C (xi , yn ) =
i,n≥0
X
pi,n 1C (xi , yn ).
i,n≥0
Ceci signifie que la probabilité que Z appartienne à C s’obtient en sommant les pi,n sur les
indices i et n pour lesquels (xi , yn ) appartient à C.
Pour déterminer les lois marginales de Z, il suffit de calculer P(X = xi ) pour tout entier
i et P(Y = yn ) pour tout entier n. Mais on a, pour tout i ∈ N,
P(X = xi ) = P(X = xi , Y ∈ R) =
X
P(X = xi , Y = yn ) =
n≥0
X
pi,n ,
n≥0
et pour tout n ∈ N,
P(Y = yn ) = P(X ∈ R, Y = yn ) =
X
P(X = xi , Y = yn ) =
X
pi,n .
i≥0
i≥0
Donnons un exemple de calcul de marginales à partir de la loi du couple.
Exemple. Soient λ > 0, µ > 0, p, q ∈]0, 1[ tels que p + q = 1. Soit Z = (X, Y ) le vecteur
aléatoire à valeurs dans N × N∗ de loi donnée par :
∀(i, n) ∈ N × N∗ ,
P(X = i, Y = n) =











λi 2
e
p (1 − p)k si n = 2k + 1,
i!
µi
e−µ q 2 (1 − q)k si n = 2k + 2.
i!
−λ
Déterminons les marginales de Z. Commençons par la loi de Y ; pour k ∈ N, on a
P(Y = 2k + 1) =
X
P(X = i, Y = 2k + 1) =
i≥0
P(Y = 2k + 2) =
X
X
e−λ
λi 2
p (1 − p)k = p2 (1 − p)k ,
i!
e−µ
µi 2
q (1 − q)k = q 2 (1 − q)k .
i!
i≥0
P(X = i, Y = 2k + 2) =
i≥0
X
i≥0
Pour la loi de X, soit i ∈ N,
P(X = i) =
X
X
P(X = i, Y = n) =
n≥1
et l’on a, utilisant le fait que
P(X = i, Y = 2k + 1) +
k≥0
P
k≥0 (1
X
k≥0
− x)k = 1/x si 0 < x < 1,
P(X = i) = p e−λ
3
µi
λi
+ q e−µ .
i!
i!
P(X = i, Y = 2k + 2),
Indépendance. Comme on l’a vu dans l’exemple introductif, on ne peut pas en général,
trouver la loi du couple si on connaît seulement les lois marginales. Toutefois, il y a un cas
très particulier pour lequel on peut reconstruire la loi de Z = (X, Y ) à partir des lois de
X et Y : celui de l’indépendance. Rappelons que deux variables aléatoires discrètes X et Y
sont indépendantes si et seulement si
∀(i, n) ∈ N2 ,
P(X = xi , Y = yn ) = P(X = xi ) P(Y = yn ).
La formule précédente peut se lire de la façon suivante : X et Y sont deux v.a.r. discrètes
indépendantes si et seulement si la loi du couple Z = (X, Y ) est donnée par
∀(i, n) ∈ N2 ,
pi,n = P (Z = (xi , yn )) = P(X = xi ) P(Y = yn ).
Remarque(s). En pratique, on connaît la loi du couple Z au travers des pi,n et on se demande
si les v.a. X et Y sont indépendantes. Pour cela, il suffit de vérifier que l’on peut séparer
les variables dans pi,n c’est à dire écrire pi,n = ui vn pour tout (i, n) ; on n’a pas besoin de
déterminer les marginales.
La dernière chose à mentionner pour les couples discrets est la manière de calculer l’espérance de variables réelles construites à partir du couple Z.
Proposition 2. Soient Z = (X, Y ) un couple discret et f : R2 −→ R une fonction. Si la
P
somme double i,n≥0 |f (xi , yn )| pi,n est finie alors la v.a.r. f (X, Y ) est intégrable et
X
E [f (X, Y )] =
f (xi , yn ) P (Z = (xi , yn )) =
i,n≥0
X
f (xi , yn ) pi,n .
i,n≥0
3. Couple possédant une densité.
Dans ce paragraphe, on se concentre sur le cas d’un vecteur aléatoire Z = (X, Y ) possédant une densité. Avant de définir ce qu’est une densité de probabilité dans le cas d’un
couple, on présente deux résultats sur les intégrales doubles.
3.1. Intégrales sur R2 .
Soit f : R2 −→ R une fonction. On aimerait répondre aux questions suivantes : à
quelles conditions peut on dire que f est intégrable sur R2 ? Comment calculer dans ce cas
l’intégrale ? Les intégrales itérées sont-elles égales ? Plus précisément, comment calculer
ZZ
R2
f (x, y) dxdy,
Z
R
Z
f (x, y)dy dx =
R
Z
R
Z
f (x, y)dx dy ?
R
Nous verrons au paragraphe suivant que – comme dans le cas des séries doubles – la situation
la plus favorable est celle où f est positive.
Comme dans le cas de fonctions réelles, l’intégrabilité de f sous-entend que, pour tout
réel a, l’ensemble {x ∈ R2 , f (x) ≤ a} appartient à la tribu borélienne de R2 : on dit que
f est borélienne. En pratique, on ne s’attarde pas trop sur ce point et on utilise souvent le
fait que si la fonction f est continue sauf sur un ensemble au plus dénombrable ou même
en dehors d’un ensemble tel que le bord d’un cercle, une droite c’est à dire en dehors d’un
ensemble « d’aire nulle »– on dit négligeable – alors f est borélienne.
4
Exemple. La fonction définie par f (x, y) = 1 si x2 + y 2 < 1 et 0 sinon est continue sur R2
privé du cercle unité qui est négligeable. f est donc borélienne.
Passons à présent au théorème de Tonelli qui concerne les fonctions positives.
Théorème 3. Soit f : R2 −→ R+ une fonction borélienne et positive. Notons I1 et I2 les
intégrales itérées i.e.
I1 =
Z
Z
f (x, y) dx dy
R
I2 =
et
R
Z
Z
f (x, y) dy dx.
R
R
On a l’alternative suivante :
– ou bien I1 et I2 valent toutes les deux +∞,
– ou bien I1 et I2 sont toutes les deux finies et égales.
On retient ce résultat sous la forme suivante : si f est une fonction positive alors on a
toujours, en tolérant la valeur +∞,
Z
Z
R
f (x, y) dy dx.
R
R
R
Z
Z
f (x, y) dx dy =
Le théorème de Tonelli conduit à la définition suivante :
Définition. Soit f : R2 −→ R une fonction. f est intégrable sur R2 si f est borélienne et
Z
Z
R
|f (x, y)| dy dx =
Z
Z
R
R
|f (x, y)| dx dy < +∞.
R
Nous passons à présent au théorème de Fubini, analogue du théorème de Tonelli pour les
fonctions qui ne sont pas de signe constant.
Théorème 4. Si f : R2 −→ R est une fonction intégrable alors
Z
Z
f (x, y) dy dx =
R
Z
R
Z
f (x, y) dx dy.
R
R
Dans ce cas, on appelle intégrale de f sur R2 (ou intégrale double) la quantité
ZZ
R2
f (x, y) dxdy =
Z
R
Z
f (x, y) dy dx =
R
Z
Z
f (x, y) dx dy.
R
R
Si D est un borélien de R2 et f une fonction intégrable, on pose
ZZ
f (x, y) dxdy =
ZZ
R2
D
1D (x, y) f (x, y) dxdy.
Exemple. Donnons un premier exemple. Soit D un borélien borné de R2 et f : R2 −→ R
une fonction borélienne bornée sur D. Alors g(x, y) = 1D (x, y) f (x, y) est intégrable sur R2 .
En effet, il existe a > 0, M > 0 tels que D ⊂ [−a, a]2 et |f (x)| ≤ M si x ∈ D et on a
Z
R
Z
R
g(x, y) dy dx
≤
Z a Z a
−a
M dy dx = 4a2 M,
−a
qui est finie ; donc g est intégrable. Ce calcul s’applique en particulier au cas d’une fonction
continue sur R2 .
5
3.2. Densité d’un couple aléatoire.
Donnons maintenant la définition d’un couple aléatoire possédant une densité. Tout
d’abord, comme dans le cas réel, on a la définition suivante.
Définition. Soit p : R2 −→ R une fonction. p est une densité de probabilité sur R2 si
(i) p est positive ;
2
(ii) p est intégrable sur R et
ZZ
R2
p(x, y) dxdy = 1.
Définition. Soient Z = (X, Y ) un couple aléatoire et p une densité de probabilité sur R2 .
Z a pour densité p si, pour tout couple (I, J) d’intervalles de R,
PZ (I × J) = P(X ∈ I, Y ∈ J) =
ZZ
p(x, y) dxdy =
ZZ
I×J
R2
1I (x)1J (y) p(x, y) dxdy.
Remarquons que cette définition caractérise bien la loi du couple Z puisque d’après la
Proposition 1 il suffit de spécifier P(Z ∈ I × J) pour le faire.
Exemple. Soit p la fonction définie par
p(x, y) = c e−x 1|y|≤x .
(∗)
Calculons c de sorte que p soit une densité de probabilité. p est positive dès que c est positive ;
on se place dans ce cas. On a de plus
ZZ
R2
p(x, y) dxdy = c
Z
Z
y∈R
x∈R
−x
e 1|y|≤x dx dy = c
Z +∞
Z
y∈R
e
−x
dx dy = c
|y|
Z
e−|y| dy = 2c.
R
Il faut donc prendre c = 1/2 pour que p soit une densité de probabilité.
Nous conserverons cet exemple tout au long de ce paragraphe.
Théorème 5. Soient Z = (X, Y ) un couple aléatoire de densité
p, f : R2 −→ R une
RR
fonction borélienne. Si la fonction f p est intégrable sur R2 i.e. R2 |f (x, y)| p(x, y) dxdy <
+∞ alors la v.a. réelle f (X, Y ) est intégrable et dans ce cas,
E [f (X, Y )] =
ZZ
f (x, y) p(x, y) dxdy.
R2
En particulier, pour tout borélien D de R2 ,
P [(X, Y ) ∈ D] = E [1D ((X, Y ))] =
ZZ
p(x, y) dxdy.
D
Exemple. Reprenons l’exemple (∗) et calculons l’espérance de Y .
E[Y ] =
ZZ
R2
y p(x, y) dxdy = c
Z
y
Z
y∈R
x∈R
puisque la fonction est intégrable et impaire.
6
e−x 1|y|≤x dx dy = c
Z
R
ye−|y| dy = 0
Lois marginales. Soit Z = (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité p. On veut déterminer
les lois marginales de Z, PX et PY . On va montrer pour cela que X (respectivement Y )
possède une densité pX (respectivement pY ) que l’on va calculer en fonction de p. Utilisons
la méthode vue pour les variables aléatoires réelles. Soit donc f : R −→ R une fonction
continue par morceaux et bornée. Calculons E[f (X)]. D’après le Théorème 5 et le théorème
de Fubini, on a
ZZ
E[f (X)] =
R2
f (x) p(x, y) dxdy =
Z
Z
f (x)
p(x, y) dy dx.
R
R
Mais si X a pour densité pX ,
E[f (X)] =
Z
R
f (x) pX (x)dx,
et par identification on obtient
pX (x) =
Z
respectivement,
p(x, y) dy,
pY (y) =
R
Z
p(x, y) dx.
R
Notons que pX et pY sont bien des densités puisqu’elles sont intégrables, positives et, par
définition
Z
Z Z
ZZ
pX (x)dx =
p(x, y) dy dx =
p(x, y) dxdy = 1 ;
R
R
R2
R
idem pour pY .
Nous venons de montrer le résultat suivant :
Proposition 6. Soit Z = (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité p. Alors les lois marginales
PX et PY admettent pour densités respectives
Z
pX (x) =
p(x, y) dy,
pY (y) =
et,
R
Z
p(x, y) dx.
R
Exemple. Calculons les lois marginales de l’exemple (∗). Il vient immédiatement, pour
x ∈ R,
−x
pX (x) = ce
Z
−x
R
1|y|≤x dy = ce 1x≥0
Z x
−x
dy = 2cxe−x 1x≥0 = xe−x 1x≥0 .
Le calcul de pY est plus simple. On a directement
pY (y) = c
Z
R
−x
e 1|y|≤x dx = c
Z +∞
|y|
1
e−x dx = ce−|y| = e−|y| .
2
Indépendance. Soit Z = (X, Y ) de densité p. À quelle condition sur p X et Y sont-elles
indépendantes ? Peut-on trouver un critère simple ?
Théorème 7. Soient Z = (X, Y ) un couple aléatoire de densité p, pX et pY les densités
marginales. Alors X et Y sont indépendantes si et seulement si p(x, y) = pX (x)pY (y) pour
tout (x, y) de R2 éventuellement privé d’une partie négligeable.
7
Ce résultat n’est pas très difficile à montrer. Nous avons vu précédemment que X et Y
sont indépendantes si et seulement si pour tout couple (g, h) de fonctions boréliennes bornées
de R dans R, on a E[g(X) h(Y )] = E[g(X)] E[h(Y )]. D’après le Théorème 5, on a prenant
f (x, y) = g(x) h(y),
ZZ
E[g(X) h(Y )] =
R2
g(x) h(y) p(x, y) dxdy.
D’un autre côté,
E[g(X)] E[h(Y )] =
Z
R
g(x) pX (x) dx ×
Z
R
h(y) pY (y) dy =
ZZ
R2
g(x)h(y) pX (x)pY (y) dxdx.
Le résultat s’en suit immédiatement.
Remarque(s). Il faut savoir utiliser le théorème précédent dans les deux sens.
Exemple. Si on reprend l’exemple de la page 6, on voit que X et Y ne sont pas indépendantes
puisque la densité du couple n’est pas égale au produit des densités marginales.
4. Calcul de loi image.
Au chapitre précédent, nous avons considéré le problème suivant : si X est une variable
aléatoire de loi connue et u une fonction réelle disons continue par morceaux quelle est la loi
de la variable u(X) ?
Dans bien des cas, on part d’un couple aléatoire (X, Y ) et on s’intéresse à une variable
aléatoire réelle définie à partir de ce couple : par exemple la somme X + Y , le produit XY
ou encore le quotient X/Y .
Lorsque le couple possède une densité, on peut espérer que la variable construite à l’aide
de celui-ci va également en posséder une. On peut alors essayer de la déterminer en utilisant
la démarche du chapitre précédent qui consiste à calculer, si ξ désigne cette variable réelle,
E[f (ξ)] pour toute fonction f continue par morceaux et bornéee et d’identifier la densité pξ .
Exemple. Donnons quelques exemples illustrant cette technique.
1o Considérons deux variables aléatoires X et Y indépendantes, de loi exponentielle de
paramètre λ pour X et µ pour Y . Cherchons la loi de ξ = X/Y en déterminant sa densité.
Soit f une fonction continue par morceaux et bornée de R dans R, calculons E[f (ξ)]. On a :
E[f (ξ)] =
ZZ
f (x/y) λe−λx µe−µy dxdy = λµ
]0,+∞[2
Z +∞
e−µy
Z +∞
0
f (x/y) e−λx dx dy.
0
Mais, posant z = x/y, on obtient, pour tout y > 0,
Z +∞
f (x/y) e−λx dx =
0
Z +∞
f (z) ye−λzy dz,
0
ce qui conduit à, via le théorème de Fubini,
E[f (ξ)] = λµ
Z +∞
0
−µy
Z +∞
−λzy
f (z) ye
e
dz dy = λµ
0
Z +∞
0
8
Z +∞
f (z)
−(λz+µ)y
ye
0
dy dz.
Une intégration par parties donne, pour z > 0 fixé,
Z +∞
ye−(λz+µ)y dy =
0
1
;
(λz + µ)2
il s’en suit que
E[f (ξ)] =
Z +∞
f (z)
0
Z
λµ
λµ
dz
=
1z>0 dz.
f
(z)
(λz + µ)2
(λz + µ)2
R
ξ a donc pour densité la fonction z 7−→ λµ(λz + µ)−2 1z>0 .
2o Soient X et Y deux v.a. indépendantes ; X de densité 3x2 1[0,1] (x), Y de loi uniforme
sur [0, 1]. Déterminons la loi du produit ξ = XY .
Si f est une fonction continue par morceaux et bornée sur R, on a :
ZZ
E[f (ξ)] =
2
[0,1]2
f (xy) 3x dxdy = 3
Z 1
x
2
Z 1
f (xy) dy dx.
0
0
Pour x ∈]0, 1[ fixé, le changement de variables z = xy donne
Z 1
f (xy) dy =
0
1 Z1
1 Zx
f (z) dz =
f (z)1z<x dz.
x 0
x 0
Par suite, il vient, d’après le théorème de Fubini,
E[f (ξ)] = 3
Z 1
Z 1
x
0
0
f (z)1z<x dz dx = 3
Z 1
Z 1
f (z)
0
0
x1z<x dx dz,
et on obtient finalement,
E[f (ξ)] =
Z
3 Z1
3
f (z) 1 − z 2 dz =
f (z)
1 − z 2 1[0,1] (z) dz.
2 0
2
R
ξ a pour densité la fonction z 7−→ 32 (1 − z 2 ) 1[0,1] (z).
3o Pour finir considérons deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Laplace
i.e. de densité e−|x| /2 et déterminons la loi de ξ = 2X + Y . Si f est continue par morceaux
et bornée, on a, via le théorème de Fubini,
Z
1 ZZ
1 Z −|x|
−|y|
−|x| −|y|
E[f (ξ)] =
f (2x + y)e e
dxdy =
e
f (2x + y)e
dy dx;
4 R2
4 R
R
le changement de variables z = y + 2x donne, pour tout x,
Z
f (2x + y)e−|y| dy =
R
Z
f (z)e−|z−2x| dz.
R
Par conséquent, appliquant encore le théorème de Fubini, on obtient
Z
Z
1 Z −|x|
1 Z
−|z−2x|
−|x| −|z−2x|
E[f (ξ)] =
e
f (z)e
dz dx =
f (z)
e e
dx dz.
4 R
4 R
R
R
9
Pour z > 0, on a
Z
−|x| −|z−2x|
e
e
dx =
Z 0
x −(z−2x)
e e
dx +
Z z/2
−∞
R
= e−z
−x −(z−2x)
e e
dx +
e3x dx + e−z
Z z/2
−∞
e−x ez−2x dx,
z/2
0
Z 0
Z +∞
ex dx + ez
Z +∞
e−3x dx
z/2
0
1 −z
1
=
e + e−z ez/2 − 1 + ez e−3z/2
3
3
4 −z/2 2 −z
=
e
− e .
3
3
De manière analogue, on a pour z < 0,
Z
e−|x| e−|z−2x| dx =
Z z/2
ex e−(z−2x) dx +
−∞
R
= e−z
Z z/2
e3x dx + ez
−∞
Z 0
z/2
Z 0
ex ez−2x dx +
e−x dx + ez
z/2
Z +∞
Z
0
+∞
0
1
1 −z 3z/2
e e
+ ez e−z/2 − 1 + ez
3
3
4 z/2 2 z
=
e − e.
3
3
=
Par suite,
∀z ∈ R,
2
4
e−|x| e−|z−2x| dx = e−|z|/2 − e−|z| .
3
3
R
Z
Il vient alors
E[f (ξ)] =
ξ a pour densité z 7−→
1
6
1Z
f (z) 2e−|z|/2 − e−|z| dz ;
6 R
2e−|z|/2 − e−|z| .
10
e−x ez−2x dx,
e−3x dx