Exemples de lois à densité I Loi uniforme II Loi exponentielle

Exemples de lois à densité
Nous allons dans ce chapitre faire connaissance avec un certain nombre de lois à densité fondamentales de la
théorie des probabilités.
I
Loi uniforme
Définition 1 Soient a < b deux réels. On dit que la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a, b] si elle
admet la densité
1
1I (x).
b − a [a,b]
On notera X ∼ U([a, b]).
Proposition 1 Si X ∼ U([a, b]), on a
E(X) =
a+b
2
et
(b − a)2
.
12
Une propriété intéressante de la loi uniforme est qu’elle permet de fabriquer des variables aléatoires suivant
d’autres lois. On a par exemple le résultat suivant
Var(X) =
Proposition 2 Soit F la fonction de répartition d’une loi de probabilités. On suppose que F est continue et
strictement croissante (elle définit donc une bijection de IR sur [0, 1]. Posons G = F −1 .
Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. On considère la variable aléatoire X = G(U ). Alors
X suit la loi dont F est la fonction de répartition.
II
Loi exponentielle
Considérons le problème suivant : soit X une variable aléatoire positive vérifiant la propriété
∀x > 0, ∀h ≥ 0, P (X > x + h/X > x) = P (X > h).
Cette propriété modélise le fait que X ne possède pas de mémoire. Cherchons quelles sont les lois qui satisfont
à cette propriété. Pour cela on pose G(x) = P (X > x). On a alors
(∗)
G(x + h) = G(x)G(h), ∀x > 0, ∀h > 0.
Lemme 1 Si G vérifie (*), il existe λ > 0 tel que
G(x) = e−λx , ∀x > 0.
On a alors la définition suivante
Définition 2 On appelle loi exponentielle de paramètre λ > 0 la loi de densité
λe−λx 1Ix>0 .
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ, on note X ∼ E(λ).
1
1
et Var(X) = 2 .
λ
λ
Une proposition intéressante est la suivante
Proposition 3 Si X ∼ E(λ), on a E(X) =
Proposition 4 Soient X ∼ E(λ) et Y ∼ E(µ) indépendantes. On pose Z = min(X, Y ). Alors Z ∼ E(λ + µ).
1
III
Loi normale ou gaussienne
Définition 3 On dit qu’une variable aléatoire réelle suit la loi gaussienne ou normale centrée réduite si X
admet la densité sur IR
x2
1
√ e− 2
2π
On note alors X ∼ N (0, 1).
Nous verrons lors du prochain cours comment la loi normale apparaît de façon naturelle comme satisfaisant
à certaines propriétés structurelles.
Proposition 5 Si X ∼ N (0, 1), on a E(X) = 0 et Var(X) = 1.
On étend alors la définition de la façon suivante
Définition 4 On dit que Y suit la loi normale d’espérance m et de variance σ 2 > 0 si
X=
Y −m
∼ N (0, 1).
σ
On note alors Y ∼ N (m, σ 2 ). On a évidemment alors E(Y ) = m et Var(Y ) = σ 2 .
On a
Proposition 6 Si X ∼ N (m, σ 2 ) et Y ∼ N (m0 , σ 02 ) sont indépendantes, alors
X + Y ∼ N (m + m0 , σ 2 + σ 02 ).
2