5.1.6 Principe de calcul des réserves mathématiques

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CHAPITRE 5: PRIMES ET RESERVES MATHEMATIQUES
à 40 ans:
PR 40 =
A1
40 :1
A1
⋅20 E 40 ⋅10000 = 117,7
40 :20
à 59 ans:
PR59 =
A1
59 :1
A1
⋅20 E 40 ⋅10000 = 817,9
40 :20
Comme on peut s’y attendre, la prime nivelée représente une ‘moyenne’ des
primes annuellement recalculées.
Cette démarche pourrait par ailleurs trouver une application pour la réassurance
des rentes viagères...
5.1.6 Principe de calcul des réserves mathématiques
Parmi les différentes méthodes de calcul des réserves mathématiques, nous avons choisi de
présenter la suivante dite ‘ PROSPECTIVE’ et qui s’exprime par la différence:
RESERVE MATHEMATIQUE=VALEUR ACTUELLE DES PRESTATIONS FUTURES
-VALEUR ACTUELLE DES PRIMES FUTURES
En reprenant l’exemple très simple du paragraphe 5.1.3, on peut calculer les réserves
mathématiques juste avant le paiement de la 3ème prime:
Modèle 1:
‘Valeur actuelle’ des prestations futures = 1000
‘Valeur actuelle’ des primes futures= 200+200+200
⇒ réserve mathématique = 1000-600 = 400
Modèle 2:
‘Valeur actuelle’ des prestations futures = 1000 ⋅v 7
‘Valeur actuelle’ des primes futures= PA ⋅ ä3
⇒ réserve mathématique = 1000 ⋅v 7 - PA ⋅ ä3
Modèle 3:
‘Valeur actuelle’ des prestations futures = 1000⋅8 E x + 2
‘Valeur actuelle’ des primes futures= PA ⋅ ä x +2:3
⇒ réserve mathématique = 1000⋅8 E x + 2 - PA ⋅ ä x + 2:3
TECHNIQUES MATHEMATIQUES DE L’ASSURANCE VIE
Remarques:
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La définition du calcul des réserves mathématiques conduit aux constatations
suivantes:
Au début du contrat, la réserve mathématique est nulle, car il y a identité parfaite
entre les risques futurs et les primes futures.
Les contrats à primes uniques ont une réserve mathématique qui s’exprime
uniquement par la valeur actuelle des prestations futures, car il n’y a plus de
primes payées à l’avenir.
Les contrats à primes annuellement recalculées n’ont pas de réserves
mathématiques, car chaque année il y a un recalcul d’une prime unique pour
l’année.
5.2 Assurances de capitaux
5.2.1 La temporaire
C’est une combinaison par laquelle l’assureur s’engage à verser un capital au décès de l’assuré,
s’il survient pendant les n années prévues au contrat. Rien est versé en cas de vie à l’échéance.
a) une tête assurée
Les primes, si elles sont périodiques, sont payables tant que l’assuré est en vie mais au
maximum pour une période k ≤ n
PU x = A1
x :n
PAx =
PU x
ä x(m:k)
V = A1
(5.2)
(5.4)
t x
x +t :n −t
(5.3)
V = PU x +t − PAx ⋅ ä x(m+t):k −t
t x
(5.5)
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CHAPITRE 5: PRIMES ET RESERVES MATHEMATIQUES
b) 2 têtes assurées. La prestation est payable au premier décès
Les primes, si elles sont périodiques, sont payables jusqu’au premier décès mais au
maximum pour une période k ≤ n
PU x ; y = A 1
PAx ; y =
V
t x ;y
(5.6)
x ; y :n
PU x ; y
ä
V
(5.8)
(m )
x ; y :k
t x ;y
=A
1
x +t ; y +t :n −t
(5.7)
= PU x +t ; y +t − PAx ; y ⋅ ä x(m+t); y +t :k −t
(5.9)
c) 2 têtes assurées. La prestation est payable au dernier décès
Les primes, si elles sont périodiques, sont payables jusqu’au premier décès mais au
maximum pour une période k ≤ n
PU x ; y = A 1
V
(5.10)
t x ;y
x ; y :n
PAx ; y =
PU x ; y
ä
(m )
x ; y :k
(5.12)
V
t x ;y
1
x +t ; y +t :n − t
(5.11)
= PU x +t ; y +t − PAx ; y ⋅ ä x(m+t); y +t :k −t ( x et y en vie)
t x
V = PU x +t (x seul en vie)
(5.14)
V = PU y +t (y seul en vie)
(5.15)
t y
5.2.2 La temporaire croissant
géométriquement
=A
(5.13)