Algèbre élémentaire II : développement d`expressions

Développement d’expressions algébriques.
Par développement d’une expression algébrique on entend ordinairement la multiplication
de deux expressions suivie d’une simplification par addition.
• Si on cherche à multiplier deux expressions chacune ayant 1 ou 2 termes on applique
normalement le principe de distributivité . (Voir le fichier Distibutivité : le principe)
• Voici quelques exemples:
2(a + b) = 2a + 2b
2a(3 + 4b) = 6a + 8ab
a(a − 3) = a2 − 3a
(x + 4z)a = ax + 4az
• Tentons d’utiliser le principe de distributivité pour simplifier l’expression (a−b)(a+b):
(a − b) · (a + b) = (a − b) · a + (a − b) · b
= (a · a − a · b) + (a · b − b · b)
= (a2 − ab) + (ab − a2 )
= a2 − ab + ab − b2
= a2 − b2
– Donc (a − b)(a + b) = a2 − b2 .
• Tentons d’utiliser le principe de distributivité pour développer l’expression (a + b)2 :
(a + b) · (a + b) = (a + b) · a + (a + b) · b
= (a · a + a · b) + (a · b + b · b)
= a2 + ab) + (ab + a2 )
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
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– Donc (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 .
• De façon semblable on développe l’expression (a − b)2 :
(a − b) · (a − b) = (a + −b) · (a + −b)
= a2 + 2a(−b) + (−b)2
= a2 − 2ab + b2
– Donc (a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2 .
• Nous pouvons également développer le cube d’une expression (a + b)3 :
(a + b)3 = (a + b) · (a + b)2
= a(a2 + 2ab + b2 ) + b(a2 + 2ab + b2 )
= a3 + 2a2 b + ab2 + a2 b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
– Donc (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
• De façon semblable:
(a − b)3 = (a + −b)3
= a3 + 3a2 (−b) + 3a(−b)2 + (−b)3
= a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
– Donc (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 .
Pour souligner leur importance, nous résumons les équations ci-dessus dans la boı̂te cidessous.
(a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
(a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
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Lorsqu’il y a plus de 2 termes dans une expression algébrique, il est souvent plus simple de
multiplier deux expressions en utilisant la methode de “multiplication des entiers“.
Faisons l’expansion de (a + b + c)2 .
• Pour les multiplier il suffit de placer les expressions comme si nous allions les additionner:
a + b + c
× [a + b + c]
• Ensuite nous multiplions l’expression du dessus par c:
a + b + c
× [a + b + c]
ca + cb + c2
• Ensuite nous multiplions l’expression du dessus par b tout en s’assurant de bien aligner
les colonnes comme indiqué :
a + b + c
× [a + b + c]
ca + cb + c2
ba + b2 + bc
• Nous multiplions ensuite l’expression du dessus par a tout en s’assurant de bien aligner
les colonnes comme indiqué :
a + b + c
× [a + b + c]
a2
ca + cb + c2
ba + b2 + bc
+ ab + ac
• Finalement nous faisons la somme des termes semblables.
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a + b + c
× [a + b + c]
a2
ca + cb + c2
ba + b2 + bc
+ ab + ac
a2 + 2ab + (2ac + b2 ) + 2bc + c2
Donc
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + +2bc
.
c Club Pythagore, 2007
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