Développement et racines carrées Exemples

Développement et racines carrées
3e
Exemples
no 1 (Développement simple). Développer et réduire A =
√ √ 6 3+2 6 .
Avec la distributivité, chaque terme contenu entre parenthèses est multiplié par
A=
√
6:
√ √
√
√
√
√
√ √
6 3 + 2 6 = 6 × 3 + 6 × 2 6 = 3 6 + 2( 6)2 = 3 6 + 12 .
√ √ no 2 (Double développement). Développer et réduire B = 1 + 2 2 3 − 2 .
Chaque terme de la deuxième parenthèse est multiplié par chaque terme de la première :
√
√
√
√
√
√ √ B = 1 + 2 2 3 − 2 = 3 − 2 + 6 2 − 2( 2)2 = 3 + 5 2 − 4 = 5 2 − 1 .
√
√ 2
no 3 (Identité (a + b)2 ). Développer et réduire C = 2 5 + 2 .
√
√ √
√ On peut bien entendu écrire C = 2 5 + 2 2 5 + 2 et appliquer la méthode précédente. On pourra plutôt utiliser l’identité (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 :
√
√ 2
√
√
√
√
√
√
C = 2 5 + 2 = (2 5)2 + 2 × 2 5 × 2 + ( 2)2 = 4 × 5 + 4 10 + 2 = 22 + 4 10 .
√ 2
√
Remarque : on a bien (2 5)2 = 22 × 5 = 4 × 5 = 20.
√
√
no 4 (Identité (a − b)(a + b)). Développer et réduire D = 3 6 − 5 3 6 + 5 .
Ici aussi, on utilise plutôt l’identité (a − b)(a + b) = a2 − b2 même si on peut toujours
développer comme à l’exemple 2 :
√
√
√
D = 3 6 − 5 3 6 + 5 = (3 6)2 − (5)2 = 9 × 6 − 25 = 29 .
Exercices
√
no 1. Développer A = (1 −
√
5)(3 5 + 1).
√
√
no 2. Développer B = (3 − 2 2)(2 + 2 2).
√
√
no 3. Développer C = (2 3 − 1)(5 − 3).
√
√
no 4. Développer D = ( 2 − 1)( 3 + 1).
√
√
no 5. Développer E = (5 5 + 2)(5 − 5).
no 6. Développer F = (2 +
√
√
3)(1 − 5 3).
no 7. Développer G = (2 +
√
13)(2 −
√
13).
√
√
no 8. Développer H = (2 3 − 5)(2 3 + 5).
√ √
√
√
no 9. Développer I = ( 5 − 7)( 5 + 7).
no 10. Développer J = (3 −
√
5)2 .
√
no 11. Développer K = (2 3 − 1)2 .
√
√
no 12. Développer L = ( 2 − 3)2 .
√
no 13. Développer M = (3 5 + 2)2 .
√
A = 2 5 − 14
Réponse :
√
B =2 2−2
Réponse :
Réponse :
Réponse :
D=
√
C = 11 3 − 11
√
√
√
6+ 2− 3−1
Réponse :
Réponse :
√
E = 23 5 − 15
√
F = −13 − 9 3
Réponse :
Réponse :
Réponse :
H = −13
I = −2
√
J = 14 − 6 5
Réponse :
√
K = 13 − 4 3
Réponse :
Réponse :
Réponse :
G = −9
√
L =5−2 6
√
M = 49 + 12 5
√
√
√
no 14. Développer N = (4 + 5 2)2 − (2 2 − 3)(3 2 + 7).
Réponse :
N = ···
√
√
√
no 15. Développer O = (3 − 2 7)2 − (4 7 − 3)(5 7 + 7).
Réponse :
O = ···
Réponse :
P = ···
no 16. Développer P =
q
√
√ 2
7+3 5− 7−3 5 .
q