Chap VI - forces centrales.

Chapitre -VI : Mouvement dans un champ de force centrale
conservative
I. Force Centrale
1) Définition
On appelle force centrale, ou champ de force central, une force agissant sur un point matériel
dans (R) galiléen possédant les propriétés suivantes :
a) Elle toujours portée par la droite joignant le point matériel à un point fixe O.
b) Son module (sa norme) ne dépend que de la distance r =‖
‖au point O.
Le point O s’appelle le centre de force.
Autrement dit :
est une force centrale si :
Si
,
est dirigée vers le centre O, c’est une force centrale d’attraction.
Si
,
est dirigée dans le sens de
, c’est une force centrale de répulsion.
M
M
Attraction
Répulsion
2) Exemples
 La force gravitationnelle (de Newton) est une force centrale
conservative (Soleil – planète, Terre – satellite). Elle varie
en
. Elle est toujours attractive.
=
< 0 , G  6,67.10 -11 kg 1m 3s 2
Avec K
 La force électrostatique (de Coulomb) est une force centrale conservative. Elle varie en
.
=
Avec K =
K < 0 si
K > 0 si
,
et
et
sont de signes opposés pour une force attractive.
sont de même signe pour une force répulsive.
76
K< 0
3) Quelques propriétés des forces centrales
Quand un point matériel se déplace dans un champ de force central, on a les propriétés
suivantes :

La trajectoire (ou orbite) du point matériel est plane c’est-à-dire que le point se
déplace dans un plan (xOy par exemple).
Le moment cinétique du point se conserve :

=
Le vecteur-position du point matériel ou rayon vecteur balaye des aires
proportionnelles au temps pour les balayer (loi des aires) :

4) Conservation du moment cinétique
a) Intégrale première du moment cinétique
Le moment cinétique du point M par rapport à un point O dans le référentiel R est défini par :
m
=
D’après le théorème du moment cinétique appliqué à M en O fixe dans (R) galiléen,
on a :

Donc

est indépendant du temps
=m
et
avec

=
, (
C
est la vitesse aréolaire)
2
sont donc indépendants du temps
b) Mouvement plan
Comme

=
et
,
est orthogonal au plan formé par
restent constamment perpendiculaire à
(ou
).
et
est fixe car

est une constante.
Autrement dit le point M décrit un mouvement plan : il appartient au
plan contenant O de normale
(à tout instant).
Le plan
Donc, la trajectoire d'une planète dans un cadre idéal (en
négligeant les interactions avec les autres corps célestes) est
plane.
Dans le plan de la trajectoire de M en coordonnées polaires (r(t),(t)) :
,
=

=

77
et
.

Appelée intégrale première du mouvement
Remarque :
Il est évident que, lorsque r varie, varie puisque
mouvement est bien plan et non rectiligne.
et donc
varie aussi. Le
c) Loi des aires
En coordonnées polaires (r(t),(t)), la surface élémentaire est :
Comme

=
,
d’où
=
est la vitesse aréolaire.
Le rayon vecteur balaye des aires égales pendant des temps égaux.
Les surfaces balayées pendant le même
intervalle de temps t sont égales :
A1 = A2
Les aires balayées pendant des durées égales sont égales, ce qui explique l’accélération de M
lorsqu’il se rapproche du centre de force et son ralentissement lorsqu’il s’en éloigne.
La vitesse angulaire de rotation est d’autant plus forte que le mobile est proche du centre.
La surface totale balayée :

=
=
donc
T étant la période du mouvement
5) Formules de Binet
a) Première formule de Binet
C’est une formule qui relie le module de la vitesse du point matériel à l’équation de la
trajectoire.
,

or
On pose
Et
Donc
=

alors
et
=
=
=
78
d’où
)²+ (
Qui a pour module : v² =‖ ‖=
=
²[
)²+
C’est la 1ère formule de Binet, ou formule de Binet relative au module de la vitesse.
On peut ainsi accéder à v² directement en connaissant la trajectoire.
b) Deuxième formule de Binet
C’est une formule qui relie l’accélération du point matériel à l’équation de la trajectoire.
D’après le PFD on a:
=(
Comme
=
=
est une force centrale, sa composante selon
=0
Donc
est nulle.
=(
2
dr d dr  d
du
d 2u
C 2 d 2u
2 2 d u


 
(C )  C 2   2


C
u
dt dt d
d
d
d
r d 2
d 2
r 4 2 (r 2) 2
r 2  3 
 C 2u 3
3
r
r
r 
Donc
= (C 2u 2
=(
=  C 2u 2 (u 
Ou
d 2u
 C 2u 3 )
d 2
d 2u
)
d 2
C’est la 2ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l’accélération)
6) Energie potentielle
On considère une force centrale
,
Pour un déplacement infinitésimal :
d

est une force centrale, elle est conservative, donc dérive d’un potentiel.

et
=
est l’énergie potentielle dont dérive .
Remarque :
Comme
d =
W(
=

 k 
ur
Exemple : interaction newtonienne : F 
r²
=
79
=
d
 k  k
=  2   2
 r  r
k
k
 cte 
Donc Ep(r) =
avec Ep() = 0 ( comme référence des potentiels)
r
r
Ep est définie par
Gm1m2
r
qq
Dans le cas coulombien, Ep(r) = 1 2
4 0 r
Dans le cas gravitationnel, Ep(r) = 
7) Conservation de l’énergie mécanique
D’après ce qui précède, l’énergie mécanique
se conserve, on peut écrire :
=
+
=
= Cte
En utilisant la 1ière formule de Binet v² =
On a
²[
)²+
)²+
:
avec u =
8) Détermination de l’orbite à partir de la force centrale
Si on connaît le champ de force, c’est-à-dire
est donné, on peut déterminer l’orbite de la
trajectoire donnée par l’équation r() ou r(t) et (t) qui sont les équation paramétriques en
fonction du temps.
En effet d’après le PFD :
=(
=
=
on a
(I)
( II )
L’équation ( I ) n’est que
, en utilisant la 2ième formule de Binet
d 2u
)
=  C u (u 
d 2
2
2
 C 2u 2 (u 
En fonction de r :
et en posant r = 1/u , l’équation ( I ) devient
d 2u
)=
d 2
ou
d 2u
u 
d 2
d 2 r 2 dr
 ( )²  r 
d 2 r d
Autre relation :
Quand on connaît r(t), on peut accéder à
à partir de la relation
qu’on intègre entre to et t
80
donc
9) Détermination du champ de force à de l’orbite
Réciproquement si on connaît la trajectoire du point matériel, on peut déterminer le champ de
force correspondant.
Donc suppose connues l’orbite donnée en coordonnées polaires par r() ou par r(t) et (t).
d 2 r 2 dr
 ( )²  r 
d 2 r d
A partir de la relation
mC ² d 2 r 2 dr
[
 ( )²  r ]
r 4 d 2 r d
f(r)=
ou
on tire l’expression de f( r)
f (1 /u ) =
 mC ²u ² [
d 2u
 u]
d 2
Remarque : Pour une orbite donnée, il peut exister une infinité de champ de force. Cependant
quand un champ de force existe, il est unique.
II. Etude énergétique
1) Energie potentielle effective
Dans le système de coordonnées polaires, l’énergie cinétique se découpe en deux parties :
=
+r
)
, permet d’écrire :
La loi des aires
La vitesse angulaire de rotation est d’autant plus forte que le mobile est proche du centre.
En faisant disparaître la vitesse angulaire de l’´equation de l’´energie cinétique, on obtient :
=
+
)=
+
Le premier terme est l’´energie cinétique d’´eloignement ou de rapprochement, le second
terme est l’´energie cinétique de rotation. Il suffit maintenant d’ajouter l’´energie potentielle
pour obtenir l’énergie mécanique :
+
+
L’´energie cinétique de rotation se rajoute `a l’´energie potentielle pour former l’´energie
potentielle effective :
+
 un seul paramètre r (1dimension)
L’´etude qualitative se ramène à celle d’un mouvement à un degré de liberté :
81
+
( r)
2) Mouvements liés et mouvements de diffusion
Une fois connues les conditions initiales à to par exemple, on a :
C  r 2  r020
Eméca 
1 2
mr  Eeff (r )  Eméca (0)
2
1 2
mr  Eméca  Eeff (r )  0
2
Donc Eeff (r )  Eméca
Donc
Il y a donc des contraintes sur le mouvement de M.
Cas particulier :
On suppose la force centrale newtonienne f (r )  
k
k
. Donc E (r )  
2
r
r
mC 2 k

2r
r
 si k  0 (attractif)
lim Eeff (r )   ; lim Eeff (r )  0
Donc Eeff (r ) 
r 0
r 
1er cas : Eméca  E2  0
Eeff (r )  E2  r  r2
On a donc un mouvement de diffusion : M peut s’éloigner à l’infini du point force.
O +
M
r2
2ème cas : Eméca  E1  E0 ;0
O
r1
+
Eeff (r )  E1  r1  r  r '1
On a donc un mouvement borné (ou lié)
r’1
3ème cas : Eméca  E0
Eeff (r )  E0  r  r0
2
2
On a donc un mouvement circulaire et C  r   r0 0    cte  0
82
Le mouvement est donc circulaire uniforme.
Si k  0 (répulsif)

1 C2 k
Eeff (r )  m
 0
2 r
r
Donc Eméca  0 et on a un mouvement de diffusion quelle que soit cette énergie mécanique.
q
q1
r
III. Lois de Kepler
En astronomie, les trois lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du
Soleil, sans l’expliquer. Elles ont été découvertes par Johannes Kepler (en 1608 puis 1619)
à partir des observations et mesures de la position des planètes faites par Tycho Brahe,
mesures extrêmement précises pour l'époque.
1) Référentiels héliocentrique et géocentrique
Le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du Soleil. Les axes d’un repère sont
dirigés vers trois étoiles lointaines (c'est à dire pratiquement fixes).
Le référentiel géocentrique est animé d'un mouvement de translation curviligne par rapport au
référentiel héliocentrique. Les axes d’un repère sont dirigés vers trois étoiles lointaines.
2) Première loi de Kepler (la loi des trajectoires (1609)
La trajectoire de chaque planète, de position M, est une ellipse, dont le soleil occupe l'un des
foyers F.
Rappels
On note « a » le demi-grand axe de l’ellipse, et « b » le demi-petit axe de l’ellipse.
83
- Le péricentre est le point de l’orbite le plus proche de l’astre central. Si l’astre central est le
Soleil on parle de périhélie. Pour la Terre, c’est le périgée.
L’apocentre est le point de l’orbite le plus éloigné de l’astre central. Si l’astre central est le
Soleil on parle d’aphélie. Pour la Terre, c’est l’apogée.
3) Deuxième loi de Kepler
Les aires balayées par le rayon vecteur
sont proportionnelles au temps "
Le temps nécessaire pour effectuer un tour complet est nommé
période de révolution T.
=
4) Troisième loi de Kepler (1618)
Les carrés des périodes T sont proportionnels aux cubes des grands axes a :
T²  a3

IV. Mouvement des Satellites
1) Mouvement circulaire et uniforme des astres
Dans toute la suite, on fait l’approximation que les orbites des planètes autour du
Soleil, et celle des satellites autour de la Terre sont quasi-circulaires, c’est-à-dire très
faiblement elliptiques.
2) Nature du mouvement
Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil :
Système étudié : Terre de masse MT
Référentiel d’étude : héliocentrique (galiléen)
Inventaire des forces extérieures :
Force de gravitation exercée par le Soleil sur la Terre. F
Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de Newton :
Or la force de gravité exercée par le soleil de masse Ms sur la Terre a pour expression :
84

D’où
+


0
et
Or

la vitesse est constante
Ainsi si la trajectoire d’un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son
mouvement est circulaire et uniforme.
Donc
Exemples :
La Terre ayant une orbite quasi-circulaire, sa vitesse reste toujours voisine de 30 km.s-1
3) Détermination de la vitesse
D’après

et comme
=

4) Période de révolution
La période de révolution T est le temps nécessaire à l’objet (ici la Terre) pour faire un tour sur
son orbite.
La longueur L d’une orbite est égale au périmètre du cercle, soit : L = 2R
D’où
=
=
T=
car
5) Application :
On considère un satellite géostationnaire en orbite circulaire autour de la Terre.
Question n°1 :
- A partir de la dernière formule encadrée, retrouver la 3ème loi de Kepler.
Question n°2 :
- Rechercher l’altitude h à laquelle sont placés les satellites géostationnaires. (Un satellite est
géostationnaire si sa période de révolution autour de la Terre est égale à la période de rotation
de la Terre, soit T = 24h).
Question n°3 :
Calculer la vitesse v du satellite géostationnaire
Réponse n°1 :
Pour la Terre : T
 T² =

Réponse n°2 :
85
Le satellite est à une distance RT + h , comme

alors

D’où
RT = 6370.10 3 m, G = 6,67.10-11S.I, MT =5,98.1024 kg, T = 24H = 3600s
On trouve h  36.106 m = 36000 km
Réponse n°3 :
Comme
m/s
86