Mécanique générale

Cours de Physique Générale I, Prof. Georges Meylan
EPFL
Section de mathématiques 1ère année
Examen du semestre d’automne
23.01.2009
Mécanique générale
Énoncé de l’examen
Problème 1 (statique et dynamique) :
On considère le système montré sur la figure.
Calculer la force exercée par le fil AP sur la
masse m
1. avant d’avoir coupé le fil BP
2. immédiatement après avoir coupé le fil BP
3. lorsque le point matériel P arrive au point
C (faire abstraction de la paroi AC)
Problème 2 (balistique) :
Un archer (situé au sol, et de taille négligeable) vise un écureuil sur une branche, situé
à 11 m du sol et à 60 m de distance horizontale. L’archer est inexpérimenté et n’a
pas étudié la physique, il s’imagine que la flèche va suivre une trajectoire rectiligne.
A l’instant où la flèche part, l’écureuil se laisse tomber. Montrer que l’écureuil sera
néanmoins atteint par la flèche si la vitesse v0 de la flèche est supérieure à une vitesse
minimale. Que vaut cette vitesse minimale ?
Problème 3 (dynamique) :
Un point matériel se déplace sans frottement sur la paroi interne d’un cône immobile, sous l’effet de la pesanteur (voir figure). L’axe du cône est vertical et l’angle au
sommet du cône est 2α. On considère un mouvement avec la condition initiale ϕ̇ 6= 0
(coordonnées sphériques).
1. Ecrire les équations du mouvement (il n’est pas
nécessaire de les résoudre ici).
2. Déterminer la période T du mouvement circulaire
uniforme de rayon R, où R est le rayon du cône à
une certaine hauteur.
Problème 4 (forces centrales) :
Pour placer un satellite en orbite géostationnaire, on procède en quatre étapes (voir
figure de gauche). Chaque fois que les moteurs-fusées sont allumés, on admet que la
durée de fonctionnement est négligeable vis-à-vis de la durée de la trajectoire entamée.
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1. On effectue un premier tir vertical de vitesse initiale v0r ≡ ṙ minimale pour
atteindre une altitude h1 = r1 − RT .
2. En allumant les moteurs-fusées une deuxième fois, la vitesse du satellite atteint
la valeur v1 nécessaire pour le maintenir sur une orbite circulaire à cette altitude
h1 .
3. On procède alors à un troisième allumage des moteurs pour donner au satellite
la vitesse v2 minimale, tangente à l’orbite circulaire, nécessaire pour atteindre
l’altitude correspondant à l’orbite géostationnaire.
4. Le satellite ayant atteint l’altitude correspondant à r2 ≡ Rgeostat avec une vitesse
v3 , il faut allumer une dernière fois les fusées pour que le satellite ait la vitesse
v4 nécessaire pour rester sur l’orbite géostationnaire.
On demande donc les vitesses v0r , v1 , v2 , v3 et v4 , ainsi que le temps nécessaire pour
changer d’orbite (de l’orbite basse à l’orbite géostationnaire), en prenant h1 = 200 km.
On suppose que le lancement a lieu à l’équateur par un tir vertical, et que la mise
sur orbite se fait en direction Est (sens contraire des aiguilles d’une montre sur la
figure). On tient compte de la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même (période
T = 86164 s).
Indications : Utiliser les constantes du mouvement de Kepler. On a χT ≡ G MT =
3.98 × 1014 m3 s−2 . Prendre RT = 6380 km.
Problème 5 (moment cinétique) :
On considère le système représenté sur la figure. Les tiges sont de masse négligeable, et
chacune des deux masses est considérée comme ponctuelle. L’axe vertical passant par
A et B tourne à une vitesse de 30 rad s−1 . On considère le moment cinétique total par
rapport au point A situé à mi-distance des deux masses.
1. (a) Calculer la composante du moment cinétique selon l’axe de rotation.
(b) Quel est l’angle entre le vecteur moment cinétique et axe de rotation ?
2. Mêmes questions pour le moment cinétique calculé par rapport au point B.
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