DM 1, ensembles et applications : `a propos de l`infini

DM 1, ensembles et applications : à propos de l’infini
1. Soient E et F deux ensembles. On dit que E et F sont équipotents ssi il existe une bijection
f : E → F . On note alors E ≈ F .
(a) Montrer qu’on a toujours E ≈ E.
(b) Montrer que si E ≈ F alors F ≈ E.
(c) Montrer que si E ≈ F et F ≈ G alors E ≈ G.
2. Dans cette partie on montre que E et P(E) ne sont jamais équipotents. Il en résulte
qu’à partir d’un ensemble infini, on peut toujours fabriquer un ensemble infini encore plus
grand en prenant l’ensemble de ses parties. Il y a donc toute une hiérarchie d’infinis, une
découverte due à Georg Cantor.
Soit E un ensemble (fini ou infini) et soit P(E) l’ensemble de ses parties. Soit enfin une
application f : E → P(E).
(a) Donner un exemple de f injective.
(b) Si E est fini, pourquoi aucune f : E → P(E) ne peut être surjective ?
(c) On revient au cas général où E est quelconque. On suppose que f est surjective. Soit
A = {x ∈ E|x ∈
/ f (x)}. Montrer qu’on a une contradiction.
3. S’il existe une injection de E dans F alors E est équipotent à un sous-ensemble de F , et
donc E est « plus petit » que F . Lorsqu’un ensemble est équipotent à N, on dit qu’il est
dénombrable. Nous allons démontrer que cette notion correspond au « plus petit infini ».
(a) Soit E un ensemble infini. En raisonnant par récurrence, montrer qu’on peut définir
une injection f de N dans E.
4. Le but de cette partie est de montrer que Nk est dénombrable, quel que soit k ≥ 1. On
pose F = {2k1 3k2 |k1 , k2 ∈ N}.
On admettra le théorème suivant (Cantor-Bernstein) : s’il existe une injection de E dans
F et une injection de F dans E alors E et F sont équipotents.
(a) Montrer que F est dénombrable (on pourra utiliser une preuve directe ou le théorème
de Cantor-Bernstein).
(b) Définir une bijection entre N × N et F (on démontrera précisément qu’il s’agit d’une
bijection), et en déduire que N × N est dénombrable.
(c) Démontrer que pour tout k ∈ N∗ , Nk est dénombrable.
5. Dans cette partie on s’intéresse aux ensembles de nombres Z, Q.
(a) Montrer que Z est dénombrable.
(b) Montrer que Q est dénombrable.
6. Cantor a montré que R n’est pas dénombrable. On dit d’un ensemble équipotent à R qu’il a
« la puissance du continu ». Nous allons montrer qu’en fait un tel ensemble est équipotent
à P(N).
(a) Soient a, b ∈ R avec a < b. Montrer que ]0; 1[ et ]a; b[ sont équipotents.
(b) Montrer que R et ] − π2 ; π2 [ sont équipotents (on pensera à une fonction usuelle). En
déduire que R et ]0; 1[ sont équipotents.
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(c) Soit f : P(N) →]0; 1[ définie par f (A) = y où y a pour développement décimal :
y = 0, a0 a1 a2 . . .
avec a0 = 1 si 0 ∈ A, a0 = 0 sinon, a1 = 1 si 1 ∈ A, a1 = 0 sinon, et plus généralement,
an = 1 si n ∈ A, an = 0 sinon. Montrer que f est injective. En quoi ceci montre-t-il
que la puissance du continu est strictement plus grande que le dénombrable ?
(d) (question facultative) Montrer que R et P(N) sont équipotents. Indication : on pourra
utiliser le développement en base 2 des réels de l’intervalle ]0; 1[, en prenant garde
au fait que ce développement n’est pas toujours unique. (par exemple en base 10 :
0, 89999 . . . = 0, 9. De même tout nombre décimal admet deux développements : un
qui se termine par une infinité de 0 et un qui se termine par une infinité de 9).
Remarque finale : Dans ce devoir nous avons rencontré deux types d’ensembles infinis : les
ensembles dénombrables, comme N, et ceux qui ont la puissance du continu comme R ou
P(N). Il est facile de construire des ensembles encore plus grands, mais une question qui
peut se poser est : y a-t-il des ensembles de cardinal intermédiaire entre le dénombrable
et le continu ? On peut poser la question en ces termes : un sous-ensemble infini de R
est-il nécessairement équipotent à N ou à R ou y a-t-il d’autres possibilités ? L’hypothèse
qu’il n’existe aucune autre possibilité est appelée « hypothèse du continu ». On dit que
Cantor s’est rendu fou en essayant de la démontrer. On sait depuis les travaux de Kurt
Gödel et Paul Cohen que cette hypothèse est indémontrable dans la théorie usuelle des
ensembles. On peut soit l’ajouter à la liste des axiomes, soit ajouter une hypothèse contradictoire comme par exemple qu’il existe exactement 18 sortes d’infinis intermédiaires entre
le dénombrable et le continu (le nombre 18 étant choisi arbitrairement). À ma connaissance
aucun résultat important en mathématique ne dépend de cette question.
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