1 - Rappels mathématiques Ensembles Relations

L3-TL
2008/09
1 - Rappels mathématiques
Ensembles
Définition en
Exemple
Commentaire
extension
Σ = {a, b, c}
Ce sont des ensembles finis dont on peut
énumérer les éléments.
intention
E = {x ∈ Z | ∃y ∈ Z, x = 2y}
Notations :
– Ensemble vide : ∅
– Opérations ensemblistes :
–
–
–
–
–
–
∈
⊆, ∪, ∩
différence : E\E1 = {x ∈ E | x ∈
/ E1 } )
1
=
{x
∈E|x∈
/ E1 }
complémentaire : E1 ou ∁E
E
P(E) : ensemble des parties de E ; P(E) = {E1 | E1 ⊆ E).
produit cartésien : E1 × E2 = {(x1 , x2 ) | x1 ∈ E1 et x2 ∈ E2 }
Questions
– Dire ce qui différencie le complémentaire de la différence.
– Donner une expression équivalente à E1 \E2 . Indication : utiliser l’intersection (E1 \E2 = . . . ∩ . . .)
– Soit Σ = {a, b, c, d}. Donner P(Σ).
Relations
Relation binaire
Relation n-aire
R ∈ P(E1 × E2 ) ; R est un ensemble de couples.
On écrit habituellement x1 Rx2 pour (x1 , x2 ) ∈ R.
R ∈ P(E1 × E2 × . . . × En )
Question
Dire si
– une fonction peut toujours s’écrire sous forme relationnelle. Exemple f : E1 → E2
– une relation n-aire peut s’écrire sous forme de fonction.
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Stabilité, fermeture (clôture)
Stabilité
Un ensemble E1 est fermé ou stable pour une opération (ou relation) si, lorsqu’on applique la relation à
n’importe quel élément de l’ensemble, le résultat est encore dans l’ensemble.
Autre définition :
Soit E un ensemble, R une relation n-aire sur E (R ⊆ E n ) et E1 un sous-ensemble de E.
E1 est dit stable par R ou close par R si
∀ x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn ∈ E
x1 ∈ E1 , x2 ∈ E1 , . . . , xn−1 ∈ E1
et (x1 , . . . , xn ) ∈ R
⇒ xn ∈ E1
Fermeture (ou clôture)
Quand un ensemble E1 n’est pas fermé ou stable par une relation R, il existe un plus petit ensemble F
de E tel que
– E1 ⊂ F ⊆ E et
– F stable par R
On dit que F est la clôture ou la fermeture de E1 par R.
Questions
1. Vérifier que :
– N est stable par addition
– N est non stable pour la soustraction
– Z est stable pour la soustraction
2. Dire si les ensembles suivants sont stables pour l’opération indiquée. Si la réponse est négative,
donner leur clôture.
– l’ensemble des intervalles de N pour ∩.
– l’ensemble des intervalles de N pour ∪.
– l’ensemble des entiers impairs pour la multiplication.
– l’ensemble des entiers négatifs pour la soustraction (dans Z).
– l’ensemble des entiers négatifs pour la multiplication.
3. Comme les relations sont des ensembles, on peut parler de fermeture d’une relation(/ensemble) par
une autre relation(/opération).
– la fermeture réflexive transitive d’une relation R, notée R∗ est la fermeture de R pour les relations
de reflexivité et de transitivité
– la fermeture transitive de R est notée R+
Application : donner la fermeture réflexive transitive de la relation
R = {(a, a), (a, c), (a, d), (d, d), (d, e), (e, b), (e, e)}
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Ensemble dénombrable
– Tout ensemble fini est dénombrable (on peut énumérer, compter ses éléments).
– Un ensemble infini E est dénombrable s’il existe une bijection de E vers N (i.e. E et N sont équipotents
soit card(E)= card(N))
Il existe des ensembles infinis non dénombrables. Exemple : P(N), parfois noté 2N est non dénombrable.
Questions
Vérifier que :
– l’ensemble des entiers impairs est dénombrable.
– l’ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable.
– l’union de deux ensembles dénombrables est dénombrable. Pour simplifier le raisonnement, on supposera
les deux ensembles disjoints.
– un sous-ensemble infini d’un ensemble infini dénombrable est infini dénombrable.
Principes de démonstration
a) Raisonnement par l’absurde
Rappeler les principes du raisonnement par l’absurde (RA).
b) Démonstration par récurrence
– Rappeler les principes de la démonstration par récurrence.
– Montrer par récurrence que n4 − 4n2 est divisible par 3, ∀n ≥ 0.
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