un+1=√un

Correction du DS8
Exercice 1: Indiquer si les affirmations sont vraies ou fausses en justifiant :
1.
10
11
1−2 11
=
=2 11−1
Cette affirmation est vraie.
∑ 2 k = 1−2
1−2
−1
k =0
1−n 2
ℕ
2. La suite ( un ) définie sur
par un =
est arithmétique.
3
1
u0 =
u1 = 0
u2 = -1
3
u1 – u0 ≠ u2 – u1 donc la suite n'est pas arithmétique.
Cette affirmation est fausse.
3.
101×102
1 + 2 + 3 + 4 +...................+ 101 =
= 5151 donc 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + …...........+ 101 =5151 – 3 = 5148
2
Cette affirmation est vraie.
4. Si un, un+1 et un+2 sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique alors un xun+2 est égal au carré de un+1.
Soit q la raison de cette suite géométrique.
On a ∀ n ∈ℕ un+2 = q un+1 = q xq un = q2 un
donc un xun+2 = q2 un2 = ( q un )2 = ( un+1)2
Cette affirmation est vraie.
Exercice 2 :
1. La valeur approchée affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur N = 3 est 0,7499.
2.
N
5
10
20
U
0,9306
0,9978
1
3. Cet algorithme calcule les termes successifs d’une suite (un) définie sur ℕ par u0 = 0,1 et pour tout n de ℕ
u n+1 = √ u n
−6
4. Un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier n 0 tel que 1−u n ⩽10 est
0
Variables :
N est un entier naturel
U est un réel
Initialisation : U prend la valeur 0,1
N prend la valeur 0
Traitement :
Tant que 1 – U > 10 -6
N prend la valeur N+1
U prend la valeur √ U
FinTantque
Sortie :
Afficher N
On trouve n0 = 22
Exercice 3 :
Pierre opère un placement bancaire dans sa banque en versant sur un compte 200 euros, chaque premier janvier à partir du
01/01/2010. La banque rémunère ce compte au taux de 4% annuel. On note u0 le montant initial donc u0 = 200 et un le
montant au 1er janvier de l'année 2010 + n, n étant un entier naturel.
1. u1 = 200x 1,04 + 200 = 408
u2 = 408x 1,04 + 200 = 624,32
2. Pour tout entier naturel n, un+1 est égal au montant de l'année précédente augmenté de 4% soit 1,04un auquel on
ajoute 200. On a bien un+1 = 1,04un + 200.
3. On définit une nouvelle suite (vn) en posant pour tout entier naturel n , vn = un+ 5 000.
a. v0 = 200 + 5000 = 5200
v1= 408 + 5000 = 5408
v2 = 624,32 + 5000 = 5624,32
b. ∀ n ∈ℕ vn+1 = un+1+ 5 000
= 1,04un + 200 + 5000
= 1,04un + 5200
= 1,04 ( un + 5000 )
= 1,04 vn
La suite (vn) est géométrique de raison 1,04 et de premier terme v0 = 5200.
c. ∀ n ∈ℕ vn = 5200 x 1,04n.
d. ∀ n ∈ℕ vn = un+ 5 000 donc un = vn – 5 000 = 5200 x1,04n – 5000.
4. On a u11 ≈ 2697 et u11 ≈ 3005, Pierre devra attendre 11 années pour disposer d'au moins 3000 euros sur son
compte .
Exercice 4 :
1) L’aire du poulailler est 392=AB×x donc AB=
392
x
392
2 .
x
2 ( x2 −196 )
2 x 2−392
f
’
(
x
)
=
f ’ ( x )=
donc
.
2
x
x2
b. Comme x2 > 0, f ’ ( x ) est alors du signe de x 2 −196 .
x→ x 2−196 est une fonction polynôme du second degré qui admet deux racines
positif sauf entre ses racines.
2) a. f ’ ( x )=2−
x
signe de f ' ( x )
0
−
14
0
+
√ 196 et −√196 . Son signe est
+∞
f
56
392
= f ( x) .
3) La longueur de la clôture est x+AB+x soit 2 x+
x
Ainsi la longueur est minimale pour x=14 m ce qui correspond à une longueur de clôture de 56 m .
392
Les dimensions du poulailler sont 14m et
= 28 m.
14