Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2014/2015 MPSI 4

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2014/2015
Programme des colles de la semaine 11 (05/01 – 10/01)
I. Structures algébriques
1. Lois de composition
• Loi de composition interne, externe.
• Associativité, commutativité.
• Usage : + est réservé à des lois commutatives.
• Neutre à droite, neutre à gauche, neutre. L’existence d’un neutre à droite et à gauche entraîne l’existence d’un
neutre, et unicité du neutre, du neutre à gauche et du neutre à droite.
• Usage : 0E pour un neutre additif, 1E ou e pour un neutre multiplicatif.
• Symétrique à gauche, à droite. Symétrique. En cas d’associativité, unicité du symétrique. Symétrique de x ⋆ y.
• usage : inverse x−1 pour une loi multiplicative, opposé −x pour une loi additive.
• Élément absorbant.
• Élément régulier (ou simplifiable). Régularité des éléments symétrisables. La réciproque est fausse.
• Distributivité. Pseudo-associativité pour une loi externe (λ ⋆ µ) · x = λ · (µ · x)
• Sous-ensemble stable par une loi. Loi induite.
2. Notion de structure algébrique
• Qu’est-ce qu’une structure algébrique ? Ensemble muni d’une structure.
• Exemples évoqués : magma, monoïde, groupe.
• Structure induite sur un sous-ensemble. Elle peut être moins riche que la structure initiale.
• Sous-truc d’un truc.
• Notion de morphisme (ou homomorphisme) de truc : respect des lois et des neutres.
• Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
• La composée de deux applications respectant une loi (interne ou externe) ou un neutre respectent encore cette
loi ou ce neutre. Ainsi, la composée de deux homomrophismes est un homomorphisme (on ne le redémontrera
plus dans les situations particulières évoquées plus tard).
• Si f est bijective et respecte une loi (interne ou externe) ou un neutre, alors f −1 respecte également la loi ou
le neutre. Ainsi, la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme ; nous ne le redémontrerons pas par la
suite dans les situations particulières.
II. Groupes
1. Structure de groupe
• Axiomatique de la structure de groupe. Unicité du neutre et des symétriques. Régularité des éléments.
• Groupe abélien.
• Notation multiplicative, additive. Notations pour l’itération de la loi : xn , nx.
• Homomorphisme de groupe. Le respect du neutre découle du respect des lois.
• Exemples de groupes : les ensembles de nombres usuels, avec + ou × (en enlevant 0) ; U, Un , Z/nZ, (Z/pZ \
{0}, ×), SX et en particulier Sn (aucune étude approfondie de Sn n’est faite à ce stade, cela fera l’objet d’un
chapitre ultérieur)
• Exemples de morphismes : exp, ln, Z → Un , Z → Z/nZ, Z/nZ → Un ...
2. Sous-groupes
• Sous-groupe. Appartenance du neutre à un sous-groupe.
• Caractérisation des sous-groupes en 3 points (en séparant stabilité par la loi et par la prise de symétrique) et
en 2 points.
• Notion de sous-groupe propre
• Transitivité de la notion de sous-groupe. Cela définit une relation d’ordre.
• Intersection de sous-groupes
• Notion de (sous)-groupe monogène, de (sous)-groupe cyclique.
• Sous-groupes de Z. Sous-groupes de (R, +).
3. Congruences modulo un sous-groupe (hors-programme)
Rester raisonnable sur l’utilisation de ces notions en colles (à réserver en 2e ou 3e exercice pour les élèves semblant
à l’aise, sauf le théorème de Lagrange qu’on pourra éventuellement utiliser de façon un peu plus large)
• Notion de congruence à gauche, à droite modulo H. Ce sont des relations d’équivalence
• Description des classes à gauche et à droite
• Égalité des cardinaux des classes
• Théorème de Lagrange pour l’ordre des sous-groupes
• Théorème de Lagrange pour l’ordre des éléments. Démonstration simplifiée dans le cas d’un groupe abélien.
• Petit théorème de Fermat.
• Notion de sous-groupe distingué et de groupe quotient (très hors-programme)
III. Anneaux et corps
1. Anneaux et corps
• Définition d’un anneau (un anneau est par définition unifère)
• Définition d’un corps (un corps est par définition commutatif, et non réduit à {0})
• 1 6= 0 dans tout anneau ayant au moins 2 éléments, en particulier dans tout corps.
• Homomorphisme d’anneaux (respect des lois et de 1)
• Homomorphisme de corps.
• Injectivité des morphismes de corps.
• Caractéristique d’un corps. Propriété : la caractéristique est 0 ou un nombre premier.
2. Sous-anneaux, sous-corps
• Définition, caractérisations, exemples.
• Image d’un sous-anneau par un homomorphisme d’anneau ; image d’un sous-corps.
• (HP) Tout corps contient un sous-corps isomorphe à Fp ou Q, suivant sa caractéristique.
3. Calculs dans un anneau
• Factorisation de an − bn lorsque a et b commutent
• Formule du binôme
4. Éléments inversibles, régularité
• Groupe des inversibles d’un anneau
• (HP) Diviseurs de 0
• (HP) Dans un anneau, les diviseurs de 0 sont les éléments non réguliers non nuls.
• Avertissement : il peut exister des éléments réguliers non inversibles (cf Z)
• (HP) Anneau intègre.
5. Idéaux (HP)
• (HP) Définition. Exemples.
• (HP) Notion d’idéal principal. Anneau principal.