Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2014/2015 MPSI 4 – Mathématiques A

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2014/2015
Programme des colles de la semaine 9 (08/11 – 13/12)
I. Suites numériques (révisions semaine 9)
II. Pivot de Gauss
• Traduction matricielle d’un système linéaire
• Structure affine de l’ensemble des solutions
• Opérations élémentaires sur les lignes (échange, dilatation, transvection)
• Des opérations élémentaires sur les lignes faites sur un système (donc sur sa matrice et simultanément sur la colonne
du second membre) fournissent un système équivalent.
• Matrice échelonnée. Algorithme du pivot de Gauss pour échelonner une matrice.
• Comment trouver une solution particulière en annulant toutes les inconnues secondaires.
• Comment trouver une base des solutions de l’équation homogène en partant d’une base canonique de l’espace des
inconnues secondaires (la notion de base a été introduite à l’occasion, mais on ne peut pas exiger à ce stade une
compréhension approfondie de la notion).
III. Groupes
1. Lois de composition
• Loi de composition interne, externe.
• Associativité, commutativité.
• Usage : + est réservé à des lois commutatives.
• Neutre à droite, neutre à gauche, neutre. L’existence d’un neutre à droite et à gauche entraîne l’existence d’un
neutre, et unicité du neutre, du neutre à gauche et du neutre à droite.
• Usage : 0E pour un neutre additif, 1E ou e pour un neutre multiplicatif.
• Symétrique à gauche, à droite. Symétrique. En cas d’associativité, unicité du symétrique. Symétrique de x ⋆ y.
• usage : inverse x−1 pour une loi multiplicative, opposé −x pour une loi additive.
• Élément absorbant.
• Élément régulier (ou simplifiable). Régularité des éléments symétrisables. La réciproque est fausse.
• Distributivité. Pseudo-associativité pour une loi externe (λ ⋆ µ) · x = λ · (µ · x)
• Sous-ensemble stable par une loi. Loi induite.
2. Notion de structure algébrique
• Qu’est-ce qu’une structure algébrique ? Ensemble muni d’une structure.
• Exemples évoqués : magma, monoïde, groupe.
• Structure induite sur un sous-ensemble. Elle peut être moins riche que la structure initiale.
• Sous-truc d’un truc.
• Notion de morphisme (ou homomorphisme) de truc : respect des lois et des neutres.
• Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
• La composée de deux applications respectant une loi (interne ou externe) ou un neutre respectent encore cette
loi ou ce neutre. Ainsi, la composée de deux homomrophismes est un homomorphisme (on ne le redémontrera
plus dans les situations particulières évoquées plus tard).
• Si f est bijective et respecte une loi (interne ou externe) ou un neutre, alors f −1 respecte également la loi ou
le neutre. Ainsi, la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme ; nous ne le redémontrerons pas par la
suite dans les situations particulières.
3. Structure de groupe
• Axiomatique de la structure de groupe. Unicité du neutre et des symétriques. Régularité des éléments.
• Groupe abélien.
• Notation multiplicative, additive. Notations pour l’itération de la loi : xn , nx.
• Homomorphisme de groupe. Le respect du neutre découle du respect des lois.
• Exemples de groupes : les ensembles de nombres usuels, avec + ou × (en enlevant 0) ; U, Un , Z/nZ, (Z/pZ \
{0}, ×), SX et en particulier Sn (aucune étude approfondie de Sn n’est faite à ce stade, cela fera l’objet d’un
chapitre ultérieur)
• Exemples de morphismes : exp, ln, Z → Un , Z → Z/nZ, Z/nZ → Un ...
4. Sous-groupes
• Sous-groupe. Appartenance du neutre à un sous-groupe.
• Caractérisation des sous-groupes en 3 points (en séparant stabilité par la loi et par la prise de symétrique) et
en 2 points.
• Notion de sous-groupe propre
• Transitivité de la notion de sous-groupe. Cela définit une relation d’ordre.
• Intersection de sous-groupes
• Notion de (sous)-groupe monogène, de (sous)-groupe cyclique.
• Sous-groupes de Z. Sous-groupes de (R, +).
5. Congruences modulo un sous-groupe (hors-programme)
Rester raisonnable sur l’utilisation de ces notions en colles (à réserver en 2e ou 3e exercice pour les élèves semblant
à l’aise, sauf le théorème de Lagrange qu’on pourra éventuellement utiliser de façon un peu plus large)
• Notion de congruence à gauche, à droite modulo H. Ce sont des relations d’équivalence
• Description des classes à gauche et à droite
• Égalité des cardinaux des classes
• Théorème de Lagrange pour l’ordre des sous-groupes
• Théorème de Lagrange pour l’ordre des éléments. Démonstration simplifiée dans le cas d’un groupe abélien.
• Petit théorème de Fermat.
• Notion de sous-groupe distingué et de groupe quotient (très hors-programme)