Correction du Devoir Surveillé : no 2

—- Le vendredi 16 octobre 2015
Correction du Devoir Surveillé : no 2
Exercice 1
La fonction f est définie par sa représentation graphique C ci-dessous :
Sans justification ni rédaction, répondre aux questions suivantes :
1 Complétons : f (1) = 3 ; f (3) ≈ −1, 5
2 Donnons un nombre qui a un unique antécédent par f .
-2 a un unique antécédent par f .
3 Donner le nombre de solutions de l’équation f (x) = −1.
L’équation f (x) = −1 a deux solutions.
4 Donner les solutions de l’équation f (x) = 3.
Les solutions de l’équation f (x) = 3 sont les abscisses des points de C d’ordonnée 3 :
on lit S = {−5; 1; 9}.
5 Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) ≥ 3.
Les solutions de l’inéquation f (x) ≥ 3 sont les abscisses des points de C située au-dessus de la droite d’ordonnée
3:
on lit S = [−5; 1] ∪ [9; 11].
Exercice 2
Une fonction h admet le tableau de variations suivant :
x
−4
0
2
2
5
3
Variations de
h
0
−1
1 Que vaut h(2) ? (ne pas justifier)
1. h(2) = 3. (l’image de x = 2 (ligne de « x ») est h(2) = 3 (ligne de « h »)
2 Combien 1 a-t-il d’antécédents par la fonction h ? (ne pas justifier)
2. 1 a trois antécédents par h. (un dans ] − 4; 0[, un autre dans ]0; 2[ et un dernier dans ]2; 5[).
1
3 Quel est le minimum de h ? (ne pas justifier)
3. Le minimum de h est −1. (la plus petite valeur de la ligne de « h »)
4 Indiquer, en justifiant, si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse :
4.a « h(3) < h(4) » est faux car sur [2; 5], h est strictement décroissante, donc h(3) > h(4).
a. h(3) < h(4)
4b. « pour tout x ∈ [−4; 5], h(x) < 3 » est faux car h(2) = 3.
b. pour tout x ∈ [−4; 5], h(x) < 3
c. Si h(x) = 0 alors x = 0
4.c « Si h(x) = 0 alors x = 0 » est faux car pour x ∈ [2; 5], h décroît de 3 à −1 donc il existe un x ∈ [2; 5] tel que
h(x) = 0.
4.c « Si x ∈ [−4; 0] alors h(x) ≤ 2 » est vrai : sur l’intervalle [−4; 0], h décroît et h(−4) = 2.
5 Énoncer la proposition réciproque de (c), et indiquer si elle est vraie ou fausse.
5 « Si x = 0 alors h(x) = 0 » est vrai car l’image de 0 est 0.
Exercice 3
Entrer les signes (+ ou -) qu’il faut pour que l’étude du signe de (1 − 5x)(3 + 2x) soit correcte :
− 23
−∞
x
1
5
sg(1 − 5x)
+
sg(3 + 2x)
−
0
+
sg((1 − 5x)(3 + 2x))
−
0
+
+
0
+∞
−
+
0
−
On utilise ici la règle sur l’étude du signe d’une fonction affine définie sur R par f x) = ax + b ; elle est du signe de a
après le « zéro ».
Exercice 4
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (2x + 3)2 − x2 . On note Cf sa courbe représentative.
1 Factoriser l’expression de f (x).
En utilisant le produit remarquable A2 − B2 = (A − B)(A + B), on obtient :
f (x)
= (x + 3)2 − 4x2
= (2x + 3)2 − x2
= (2x + 3 + x)(2x + 3 − x)
= (3x + 3)(x + 3)
f (x) = (3x + 3)(x + 3) = 3(x + 1)(x + 3)
2 Développer l’expression de f (x).
Pour tout réel x on a
f (x)
= (2x + 3)2 − x2
= 4x2 + 2 × 2x × 3x + 9 − x2
= 3x2 + 12x + 9
f (x) = 3x2 + 12x + 9
1
3
Pour calculer l’image de ces nombres par la fonction f utilisons par exemple l’expression développée de f (x) :
3 Calculer l’image par la fonction f de 1 , de −2, de
2
•
•
•
f
f (1)
= 3(1)2 + 12 × (1) + 9
= 3 + 12 + 9
= 24
f (−2)
= 3(−2)2 + 12 × (−2) + 9
= 12 − 24 + 9
= −3
2
1
1
+ 12 ×
+9
3
3
1
= 3× 9 +4+9
= 31 + 13
= 40
3
1
3
=3
Exercice 5
Partie A. Étude du nombre de clients en fonction du prix.
1. L’entreprise refuse de vendre la figurine à moins de 5 euros car le coût de fabrication est de 5 euros. En vendant
moins cher, elle obtiendrait une perte.
2. f (20) = −15 × 20 + 300 = 0. L’entreprise ne vend pas à plus de 20 euros car personne n’est prêt à acheter la figurine
au prix de 20 euros.
3. On cherche x tel que f (x) = 150 ⇐⇒ −15x + 300 = 150 ⇐⇒ −15x = 150 − 300 ⇐⇒ −15x = −150 ⇐⇒ x = −150
−15 = 10.
Donc 150 milliers d’acheteurs sont prêts à acheter la figurine au prix de 10 euros.
4. pour tous u, v ∈ [5; 20] tels que u < v, −15u > −15v car −15 < 0 donc −15u + 300 > −15v + 300 d’où f (u) > f (v). La
fonction f est donc strictement décroissante, ce qui était prévisible car plus le prix augmente, moins il y a de clients
prêts à acheter la figurine.
Partie B. Étude du bénéfice de l’entreprise
1. Le bénéfice obtenu pour la vente d’une figurine est x − 5 euros (prix de vente moins coût de fabrication). Or au prix
de x euros, −15 x + 300 clients sont prêts à acheter la figurine, donc le bénéfice total est de b(x) = (x − 5) × (−15 x + 300)
milliers d’euros. (bénéfice d’une vente multiplié par le nombre de clients, en milliers).
2. On programme la calculatrice ainsi :
On a donc
x
5
12.5
20
843.75
Variations de
b
0
0
3. On conseille l’entreprise de fixer le prix à 12,5 euros. Le bénéfice dégagé sera ainsi maximal et équivalent à 843 750
euros. (843,75 milliers d’euros)
3